重庆市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知随机变量 服从正态分布 ,则
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.2
【答案】C
【解析】由正态分布的性质有 .
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合 ,则 .
3.已知集合 ,若命题 是 上的增函数,则 为
A. 不是 上的增函数
B. 是 上的增函数
C. 是 上的减函数
D. 不是 上的增函数
【答案】A
【解析】由全称量词的否定可知 为 不是 上的增函数.
4.某科考小组推算出某种树的高度 (单位: ) 关于树的胸径 (树的主干在地面以上 处的直径) (单位:cm)的经验回归方程为 ，已知某棵树的胸径为 ，高度为 ，则该样本点的残差为
A. -0.6 B. -0.4 C. -0.2 D. 0
【答案】B
【解析】残差=观测值一预测值.
5.某种玩具有 A，B 两种款式，厂商将玩具放入盲盒，已知盲盒开出 A 款的概率是开出 B 款概率的 168 倍， 用随机变量 表示 1 次抽盲盒开出 B 款的次数，则
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可设开出 款的概率为 ,则开出 款的概率为 ,则 的分布列为
则 ,解得 ,所以 .
6.设函数 ,若 ,则 的值为
A. B. 2C. D. e
【答案】C
【解析】由题意有 ,所有 , 则 .
7.若 ,则
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
【答案】A
【解析】令 ,
,
令 ,所以有
8.若函数 对任意的 ,有 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知当 是增函数,
,由题意则有
在 恒成立,所以 ,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.现有 5 位同学集合站队, 以下说法正确的是
A. 若站成一行，则有 种不同的方法
B. 若站成两行，则有 种不同的方法
C. 若站成一行且甲乙相邻,则有 种不同的方法
D. 若站成一行且甲乙不相邻,则有 种不同的方法
【答案】AC
【解析】若站成一行,则有 种不同方法, A 正确,若站成两行,则要分多种情况,不可能是 种不同的方法, B 错误;
若站成一行且甲乙相邻, 则可以将甲乙固定在一起有 2 种排法, 甲乙一起与剩下的 3 人一起排队,有 种排法,由分步乘法计数原理,共有 正确,若站成一行,甲乙不相邻,用插空法,先另外三人排队 种排法,再甲乙在三个人形成的四个空位中选两个位置则有 种方法.
10.已知 为正实数， ，则
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】 ,当且仅当 时等号成立, 错误; ,当且仅当 等号成立, 正确;
,当且仅当 时等号成立,
正确；
,当且仅当 时等号成立, 正确.
11.某外卖平台从 三个商家随机接单,接到 商家订单的概率为 0.5,接到 商家订单的概率为 0.25, 接到 商家订单的概率为 0.25,其中 商家超时的概率为 0.1, 商家超时的概率为 0.2, 商家超时的概率为 0.4 , 则下列选项正确的是
A. 外卖超时的概率为 0.2
B. 如果外卖超时, 则该外卖来自 A 商家的概率为 0.25
C. 如果外卖超时, 则该外卖来自 B 商家的概率为 0.3
D. 如果外卖超时, 则该外卖来自 C 商家的概率为 0.5
【答案】ABD
【解析】记事件 为外卖超时,所以 , A 正确;
外卖超时,来自 商家的概率 正确:
外卖超时，来自 B 商家的概率 错误;
外卖超时,来自 商家的概率 , D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若 ( ) 的解集为 ，则 ________.
【答案】5
【解析】由一元二次不等式的解集可知,1,2为 的解,则有 .
13.若函数 在点 处的切线方程为 ，则实数 的值为_______.
【答案】
【解析】 ,则 在点 处的切线方程为 , 由题意则有 ,解得 .
14.某乒乓球训练馆有两台发球机:机器 A 发上旋球和下旋球的概率分别为 和 ；机器 B 发上旋球和下旋球的概率分别为 和 . 为提高运动员的训练水平,设定发球规则如下: 每次由一台发球机发球,若发出上旋球,则下一次从机器 发球; 若发出下旋球,则下一次从机器 发球. 若第一次从机器 发球,记第 次发出下旋球的概率为 ,则 ________.
【答案】
【解析】有 ,可得 ,所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.为调研学生选科的情况, 某学校随机调查了 100 名学生的高一数学期末成绩的及格情况和他们的选科情况, 调查结果如下表.
(1)估计数学成绩及格的学生选择物理的概率;
(2)根据小概率值 的 独立性检验,分析数学成绩及格与否与选科是否有关联.
附:
【解析】(1) 设数学成绩及格的学生中选择物理为事件 ,根据表格中的数据,
则有事件 发生的概率为 .
(2)零假设为 : 数学成绩及格与否与选科之间无关联,
根据 列联表中的数据,计算可得 ,
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,数学成绩及格与否与选科有关联 .
16.已知函数 .
(1)求函数 的极大值与极小值；
(2)证明:当 时， .
【解析】(1) ,
当 或 ,当 ,
所以当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,当 单调递增,
则 .
(2)即要证当 时， ，即 ，
又 ， 则要求 在 上恒成立即可,
, 当 时, 单调递减,当 时, 单调递增, ,所以 ,得证 .
17.某农学研究所开发了一种可在沙化严重的土壤上种植的粮食作物，在大规模推广之前，需要进行育种试验. 若每一颗试验种子的成苗率为 ,且种子是否成苗相互独立.
(1)若有 10 颗试验种子，且成苗率 ，求:
(i) 恰有 7 颗成苗的概率;
(ii) 成苗种子数量的平均值和方差.
(2)每100颗试验种子为一个实验组，若有一个实验组恰有 70 颗成苗的概率最大，求 的取值范围.
【解析】
(1) 设事件 “一颗试验种子成苗”,则 ,用 表示事件 发生的次数,则 ,
(i) ;
(ii) ;
(2) ，记 ，
则 ，
由题意 最大,所以有 ,解得 .
18.已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若 .
(i) 求 ;
(ii) 求证: 对于任意整数 .
【解析】(1) 函数 ,求导得 ,
当 时, 对任意 恒成立,所以 在 单调递减,
当 时, 单调递减,
单调递增;
(2)(i)当 时，不满足 恒成立，舍去:
当 时，由(1)可知， ，若 恒成立，
则 ,设 ,
则 单调递增,
单调递减. 故 ,所以 ;
(ii) 由 (i) 知,当 时, ,函数 ,
所以 ,当 时,等号成立.
当 时,令 ,则 ,
于是 ,
则 ,
而 ,所以 ,得证.
19.在展销会上,某企业的展示台将 件使用环保材料的新产品, 件使用非环保材料的旧产品放置在同一排,从左至右依次编号为 1 号展柜,2 号展柜, 号展柜.
(1) 若 .
(i) 求 5 号展柜内放的是新产品的概率;
(ii) 用 表示最右边的新产品所在展柜编号,求 的数学期望 .
(2)若 表示最右边的新产品所在展柜编号的倒数，证明: .
【解析】(1)(i)当 ， 时，5 号展柜内放的是新产品的概率为 .
(ii) 新产品最右边的新产品所在展柜编号 只可能为 4 和 5,
所以 .
( 2 )由题意随机变量 的取值为 ，且 ，
则 的期望为 ,
所以
.0
1
168p
选择物理
选择历史
合计
数学成绩及格
48
20
68
数学成绩未及格
16
16
32
合计
64
36
100
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828