上海市同济大学第二附属中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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（完成时间：120分钟 满分，150分）
一､填空题（本题满分54分，共12小题，第1—6题每题4分，7—12题每题5分）
1.已知向量，满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算公式进行计算即可.
【详解】因为向量，满足，
所以，解得.
故答案为：
2.，则__.
【答案】##
【解析】
【分析】弦化切求解.
【详解】.
故答案为：
3.已知复数满足，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的模的性质进行计算.
【详解】由.
故答案为：
4.函数的单调递减区间是_________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的减区间，求得函数的单调递减区间.
【详解】根据函数的减区间得，，解得，所以的单调递减区间是.
故填：.
【点睛】本小题主要考查余弦型函数的单调递减区间的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
5.已知，，则在上的投影向量为________．
【答案】
【解析】
【分析】由投影向量的定义求结果即可.
【详解】由题意，在上的投影向量为.
故答案为：
6.已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据简单复合函数求导法则计算可得.
【详解】因为，则.
故答案为：
7.已知，是第三象限角，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】先利用两角和的正弦公式将条件变形得到，根据角所在象限可得，再利用两角差的正弦公式将展开计算即可.
【详解】由已知，
，又是第三象限角，
，
.
故答案为：.
8.若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的定义求解即得.
【详解】依题意，.
故答案为：
9.已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有__________.
①有2个极值点
②在处取得极小值
③有极大值，没有极小值
④在上单调递增
【答案】③④
【解析】
【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调区间，进而确定极值情况即可得解.
【详解】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值，
因此①②错误；③④正确.
故答案为：③④
10.△ABC中，D为AB的中点，，则___．
【答案】0
【解析】
【分析】取为基底，表示出即可求解.
【详解】在中，D为AB的中点，，取为基底，如图，
所以,
.
所以.
因为，，所以.
即.
故答案为：
11.已知，则满足的实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为定义域为，
且，即为奇函数，
因为，
所以在上单调递减，
不等式可化为，
所以，解得，即实数的取值范围为．
故答案为：．
12.莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】因为点为莱洛三角形曲边上的一动点，所以需要讨论点在哪一条弧上.每一种情况将原式中的向量利用向量的运算转化为共起点且已知长度和角度的向量，再设出唯一变化的角或，进而利用数量积运算表示成该角的三角函数，借助辅助角公式求出最值.
【详解】当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，
设，，
原式
其中，，
又，，
原式取最小值
当点落在圆弧上时，根据对称性同理可得原式取最小值.
当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，
设，，
原式
又
，∴当时，原式取最小值.
，故原式取最小值.
故答案为：.
二､选择题（本题满分18分，共4小题，13､14每题4分，15､16每题5分）
13.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，因为不共线， 且都是非零向量，所以A符合题意；
对于B，因为，所以与共线，故B不符合题意；
对于C，因为为零向量，所以C不符合题意；
对于D，因为，所以与共线，所以D不符合题意；
故选：A
14.都是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A.若，则
B.
C.
D.则
【答案】C
【解析】
【分析】举反例即可判断A，设，计算出和即可判断B，设，，分别计算和即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D
【详解】对于A，当时，，但，故A错误，
对于B，设，显然，，故B错误，
对于C，设，
所以，
所以
，
又
所以，故C正确
对于D选项，若，则虚数不能比较大小，故D错误，
故选：C
15.已知非零向量，满足，且，则为（ ）
A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案.
详解】，
，
，
，
为等腰三角形，
又，
，
，又，所以，
为等边三角形，
故选：D.
16.已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）
A.当时，可作两条切线，则b的值为
B.当，时，可作两条切线
C.当，时，有且仅有一条切线
D.当时，可作三条切线，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合函数单调性的判断方法，对参数值进行分类讨论，即可判断和选择.
【详解】设过点的切线与曲线的切点为，又，故过点的切线方程为：
，则，整理得：；
令，则，且当时，，当时，；
对A：当时，显然在单调递减，在单调递增，在单调递减，又，
若过点可作两条切线，则或，故错误；
对：当，恒成立且不恒为零，故在上单调递减，
则当时，有且仅有一条切线，故错误；
对：时，，在单调递减，在单调递增，在单调递减，且，
故当时，有两个根，可做两条切线，故错误；
对：当时，由可知，若要做三条切线，则有三个根，则，
即，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数单调性；处理问题的关键是构造函数，并利用导数研究其单调性，属综合困难题.
三､解答题（本大题满分78分，共5小题）
17.实系数一元二次方程有虚根，另一根为.
（1）求实数的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入方程中得，即，根据复数相等可得解得答案；
（2）由（1）利用一元二次方程韦达定理求解．利用复数代数形式的乘除运算化简得到答案；
【小问1详解】
根据题意得，化简，
根据复数相等可得，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，
18.已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简解析式，即可求得周期.
（2）由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质可得结果.
【小问1详解】
依题意，，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
由，得，
则当，即时，，
所以在区间上的最小值是.
19.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）；（2）极小值为，极大值为.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，计算的值，求出函数的切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间，求出函数的极值即可.
【详解】（1）函数定义域为R，
且
，
∵曲线在点处的切线斜率，
又，则切点为，
∴所求切线方程为即.
（2）∵又，
由得或，
当和时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数，
由的单调性知函数的极小值为，极大值为.
【点睛】本题考查函数的切线方程、极值的问题，关键点是由导数的几何意义可求出切线方程，第二问求出导函数利用单调性求出函数的极值，考查了学生的基础知识、计算能力．
20.如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.

（1）用，表示，；
（2）如果，海里，且，求岛屿到补给站距离以及岛屿到的距离.
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解；
（2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解.
【小问1详解】
依题意，得，点为中点，，
又，，
所以，
.
【小问2详解】
依题意，得，，
所以，即，
所以，则，
又，所以，
所以
，
而，
所以.
21.已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为.
（1）若，，，求的值；
（2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、；
（3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明.
【答案】（1）、、；（2）的最大值为，可取，；（3）充分不必要条件，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据的定义可得出关于的不等式，解出的取值范围，结合可得结果；
（2）设、，利用绝对值三角不等式可求得的最大值，结合已知条件可取符合条件的一组向量、的坐标；
（3）判断出“存在，使”是“”的充分不必要条件，利用题中定义、绝对值的运算性质以及特殊值法、充分条件和必要条件的定义证明即可.
【详解】（1）因为，，则，即，
解得，因为，所以，的值为、、；
（2）设、，
，，
所以，
，
可取，；
（3）“存在，使”是“”的充分不必要条件，证明如下：
取，.
充分性：若存在，使，即，
则，，
所以，
，充分性成立；
必要性：因为，可取，，，
则，
，则满足，
但，，
，则、不共线，必要性不成立.
综上所述，“存在，使”是“”充分不必要条件.
【点睛】关键点点睛：本题考查距离的新定义，在求的最大值，充分利用绝对三角不等式结合定值条件可求得，同时在证明时，要充分利用绝对值的运算性质化简求解.