2025-2026学年上海市长宁区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市长宁区高一（下）期末数学试卷（含解析），共5页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积是 ．
2．已知向量，，若，则 ．
3．已知为第三象限角，，则 ．
4．在△，已知，，，则 ．
5．已，则 ．
6．函数的定义域是 ．
7．若复数满足，则 ．
8．已知，且，则在方向上的投影是 ．
9．设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是 ．
10．已知，则的取值范围是 ．
11．如图，已知塔坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点处测得仰角，，在延长线上的点处测得仰角，并测得米，则塔的高大约是 米．（精确到0.01米）
12．已知平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，DC的中点，且AF＝1，∠EAF＝，则的最大值为 ．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．下列函数中，最小正周期是的是（ ）
A．B．C．D．
14．若在中，“ “是“ “的 条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
15．已知，，函数的部分图像如图所示，则该函数的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
16．如图，设Ox，Oy是两条射线，，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，称O和，一起构成了“α﹣仿射坐标系”；在α﹣仿射坐标系中，若，则称（m，n）为的坐标，表示为；现有以下几个命题：
①在仿射坐标系中，若，则；
②在α﹣仿射坐标系中，与平行的充要条件是x1y2＝x2y1；
③在α﹣仿射坐标系中，若，且，且；
其中，真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
三、解答题（共52分）
17．已知，求和的值．
18．已知．
（1）若点，，三点共线，求的值；
（2）若是钝角，求的取值范围．
19．复数和分别对应复平面上的向量和，点在第一象限；已知，的虚部是6．
（1）求；
（2）若点为复平面内一点，且四边形为平行四边形，求所对应的复数．
20．已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案：
方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上；
方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上；
（1）若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小；
（2）若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度（用表示）．
21．已知函数，实数．
（1）若该函数的最小正周期为，函数图像经过点，求该函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，若时，该函数与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．
参考答案
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积是 ．
解：因为扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，
则该扇形的面积．
故答案为：．
2．已知向量，，若，则 3 ．
解：向量，，若，
则
解得．
故答案为：3．
3．已知为第三象限角，，则 ．
解：因为为第三象限角，，
所以，
则．
故答案为：．
4．在△，已知，，，则 1或2 ．
解：根据正弦定理得，即，可得，
结合，可得或，
当时，，可得△是直角三角形，；
当时，，可得，故．
综上所述，或2．
故答案为：1或2．
5．已，则 ．
解：，
，即，
则．
故答案为：
6．函数的定义域是 ， ．
解：由的定义域为，，
令，则，
则定义域为，，
故答案为：，．
7．若复数满足，则 ．
解：复数满足，
则，
故．
故答案为：．
8．已知，且，则在方向上的投影是 ．
解：已知，且，
则在方向上的投影是．
故答案为：．
9．设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是， ．
解：初始位置对应的角为，，
则，，，
由可得，，
因为的横坐标是，则，
则，
则的坐标是，
所以
，
故
．
故答案为：，．
10．已知，则的取值范围是， ．
解：由，可得，，解得，，
根据，可得，
由二次函数的性质，可知时，取得最小值，
当或1时，取得最大值0，
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
11．如图，已知塔坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点处测得仰角，，在延长线上的点处测得仰角，并测得米，则塔的高大约是 11.79 米．（精确到0.01米）
解：由题意，易知，，，
在△中，由正弦定理得，
即，
在△中，，
所以米．
故答案为：11.79．
12．已知平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，DC的中点，且AF＝1，∠EAF＝，则的最大值为 ．
解：建立以A为原点，直线AF为x轴的直角坐标系，
设AE＝t，由，
则，
设B（xB，yB），D（xD，yD），则C（xB+xD，yB+yD），
又E，F分别是边BC，DC的中点，
则，
解得，
则，
所以，
故的最大值为．
故答案为：．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．下列函数中，最小正周期是的是（ ）
A．B．C．D．
解：对于，，不满足题意；
对于，，不满足题意；
对于，，不满足题意；
对于，因为的最小正周期为，
作出函数的部分图象，如图所示：
所以的最小正周期为．
故选：．
14．若在中，“ “是“ “的 条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，
由正弦定理，得，
若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知，
所以“”是“”的充要条件．
故选：．
15．已知，，函数的部分图像如图所示，则该函数的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
解：由题意可得，，，
则，，
由五点作图法可得，，，，
所以，．
故选：．
16．如图，设Ox，Oy是两条射线，，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，称O和，一起构成了“α﹣仿射坐标系”；在α﹣仿射坐标系中，若，则称（m，n）为的坐标，表示为；现有以下几个命题：
①在仿射坐标系中，若，则；
②在α﹣仿射坐标系中，与平行的充要条件是x1y2＝x2y1；
③在α﹣仿射坐标系中，若，且，且；
其中，真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：对于①，在仿射坐标系中，可知，即，则，
若，则，
所以，故①错误；
对于②，若时，显然有与平行，可得x1y2＝x2y1成立，反之显然成立；
当，与平行的充要条件是存在λ，使得，
所以，所以，所以x1y2＝x2y1，
综上，在α﹣仿射坐标系中，与平行的充要条件是x1y2＝x2y1，故②正确；
对于③，在α﹣仿射坐标系中，若，，则，
所，
，
，
又因为，所以，
所以，解得，又因为0＜α＜π，所以，故③正确．
故真命题有2个．
故选：C．
三、解答题（共52分）
17．已知，求和的值．
解：因为，则；
又，则，
所以；
．
18．已知．
（1）若点，，三点共线，求的值；
（2）若是钝角，求的取值范围．
解：（1）点，，三点共线，
则，
即，解得或；
（2）因为是钝角，
所以，
解得或，
又当和时三点共线，不满足题意，
故的取值范围是，，，．
19．复数和分别对应复平面上的向量和，点在第一象限；已知，的虚部是6．
（1）求；
（2）若点为复平面内一点，且四边形为平行四边形，求所对应的复数．
解：（1）设，则，
由，的虚部是6，得，
因为复数对应的点在第一象限，所以，，
解得或，
即或；
（2）当时，，
此时，，
因为四边形为平行四边形，所以，
则所对应的复数为；
当时，，
此时，，
因为四边形为平行四边形，所以，
则所对应的复数为．
因此，所对应的复数为或．
20．已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案：
方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上；
方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上；
（1）若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小；
（2）若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度（用表示）．
解：（1）因为扇形半径，圆心角，
，所以，，
，
所以，
设矩形的面积为，
，
因为，所以，所以，
当，即时，面积有最大值；
（2）由对称性可知，矩形面积最大时关于角平分线对称，
设，所以，
设，所以，
因为，所以，即，
，
所以矩形面积
所以，当，
即时，面积有最大值，，
此时
米．
21．已知函数，实数．
（1）若该函数的最小正周期为，函数图像经过点，求该函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，若时，该函数与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．
解：（1）由函数的最小正周期，可得，
则得，
将点代入，
得，即，
则，，
又，则得，
故；
（2）令，当时，，
问题转化为：与直线在上有且仅有一个交点，
当时，函数单调递增，；
当时，函数单调递减，；
当时，仅在处有1个交点，符合条件；
当时，仅在递减段有1个交点，符合条件；
当时，递增段和递减段各有1个交点，共2个，不符合；
当或时，无交点，不符合；
综上，的取值范围为；
（3）函数的零点即方程的解，
令，由且，得，其中，
方程的解为或，，
正半轴上的解按顺序为：，，，，，
要存在使得区间内恰有2个解，
需满足：当从大于0趋近于0时，则区间右端点需大于，才能包含2个解，
即，即；
当从小于趋近于时，
则区间右端点需不超过（开区间端点不算），才能保证最多2个解，
即，
即，
故的取值范围为．