湖北省武汉市江岸区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份湖北省武汉市江岸区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷，共5页。
1.已知平面向量? = (1,2)，? = (−2,?)，且?//?，则? = ()
A. −1B. 1C. −4D. 4
已知单位向量?，?的夹角为?，则?在?方向上的投影向量为()
A. sin? ⋅ ?B. sin? ⋅ ?C. cs? ⋅ ?D. cs? ⋅ ?
若?，?为两条不同的直线，?，?为两个不同的平面，则下列结论中正确的是()
A. 若?//?，? ⊥ ?，则? ⊥ ?B. 若? ⊥ ?，? ⊥ ?，则? ⊥ ?
C. 若?//?，? ⊂ ?，则?//?D. 若? ⊂ ?，? ⊥ ?，则? ⊥ ?
4.在????中，若? = 3，? =?()
3，? = 3，则?的大小为
A. ?
B. ?
C. ?
5?
D. ?
2?
366或 63或 3
已知圆台甲、乙的上底面半径均为?1，下底面半径均为?2，圆台的母线长分别为2(?2−?1)，4(?2−?1)，则圆台甲体积?1与乙体积?2()
1
5
?1 = 5?2B. ?1 =
5?2C. ?1 =
6?2D. ?1 =
6?
2
2
5
6.直三棱柱???−?1?1?1，??1 = ?? = 2，平面?1?? ⊥ 平面???1?1，直三棱柱???−?1?1?1的体积为4
6，则?1?与平面???1?1所成的角为()
A. 30 ∘B. 45 ∘C. 60 ∘D. 90 ∘
逢ft开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在?,?,?三处测得道路一侧ft顶?的仰角分别为30∘,45∘,60∘，其中?? = ?,?? = ?(0 < ? < 3?)，则此ft的高度为( )
1 2??(?+?)
23?−?
1 3??(?+?)
23?−?
1 5??(?+?)
23?−?
1 6??(?+?)
23?−?
​
​
D.
若三棱锥?−???的四个顶点在表面积为64?的球面上，?，?分别是边??，??的中点，两条边??，??
125?
6
500?
3
的长度分别为2 7和4 3，则以??为直径的球的体积取值范围是()
125?
3
? ,
6
? ,
4
4? ,
3
? ,
125?
6
6
多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选题)某户居民今年上半年每月的用水量(单位：?)如下：
小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中有变化的量是()
A. 平均数B. 极差C. 中位数D. 标准差
10.复数?1，?2，?1 + ?2在复平面内对应的点分别为?，?，?，其中?为坐标原点，则下列选项正确的是 ()
?? = ?? + ??
若?? ⊥ ??，则?1?2 = 0
|?1?2| = |?1||?2|
|?1 + ?2| ≤ |?1| + |?2|
已知正方体????−?1?1?1?1的棱长为2 3，?，?为体对角线??1上的点，且满足?1? = ?? = ??，动点?在三角形??? 内，且三角形???的面积?= 2 6，则()
1△???3
点?在三角形???1内
??//??1
直线??，?? 所成的角是定值且正切值是 6
13
3
点?轨迹长度为2 6?
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
用水量
9.0
9.6
14.9
5.9
4.0
7.7
用斜二测画法作出????的水平放置的直观图 △ ?′?′?′如图所示，其中?′?′ = 3，?′?′ = 1，则????
2
绕??所在直线旋转一周后所形成的几何体的侧面积为．
13.如图，在平面四边形????中，?? = ?? = 2，????为等边三角形，则????面积的最大值为．
14.已知15个数?1，?2，…，?15的平均数为6，方差为9，现从中剔除?1，?2，?3，?4，?5这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数?6，?7，…，?15的方差为 ．
解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设??、??是平面内相交成角?的两条数轴，?1、?2分别是与?轴、?轴正方向同向的单位向量，若向量??
= ??1 +??2，则把有序数对(?,?)叫做向量??在坐标系???中的坐标．
?
(1)若? = 2，设? = (−1,3)，? = (1,−2)，求向量?与?的夹角的余弦值；
?
(2)若? = 3，设?(1,3)，?(?,−2)，若?? ⋅ ?? = 5，求实数?的值．
16.(本小题15分)
在三棱锥?−???中，∠??? = 90 ∘，?? ⊥ 底面???，?? = 3?? = 3?? = 6．
24
(1)求?到平面???的距离；
(2)求直线??与平面???所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
某学校为提升学生的体育健康素养，要求所有学生完成规定的体育锻炼任务，并获得相应过程性积分．现将某校100名学生的体育健康测试成绩(百分制，且均为整数)及相应过程性积分数据，整理如下表：
(1)估计该100名学生体育健康测试成绩的20%分位数(结果保留整数)；
(2)从该校体育过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其体育健康测试成绩记为?1，上述100名学生体育健康测试成绩的平均值记为?2．
(?)求?2的最小值，并用含?的式子表示(?2的最小值为各分数段分别取最小值时所求得的平均分)； (??)若根据表中信息能推断?1 ≤ ?2恒成立，求?的最小值．
18.(本小题17分)
体育健康测试成绩?
体育过程性积分
人数
90 ≤ ? ≤ 100
4
10
80 ≤ ? < 90
3
?
70 ≤ ? < 80
2
?
60 ≤ ? < 70
1
23
0 ≤ ? < 60
0
2
在四棱锥?−????中，∠??? = ∠??? = 30
证明：二面角?−??−?是直二面角；
3
，cs∠??? = 4．
(2)若?? = ?? = 2，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??．
(?)当∠??? = 90 ∘时，求??与平面???所成角的正弦值；
(??)设∠??? = ?(0 < ? < 90 ∘)，将二面角?−??−?的正切值表示为关于?的函数?(?)，并求?(?)的取值范围．
19.(本小题17分)
在如图1所示平面四边形????中，?? = 2，?? = ?? =6，?? = 2 3，?? ⊥ ??，将????沿??翻折至????(图2)，其中?为动点，连接??，令?? = ?，? ∈ [ 11,4].点?，?，?分别为??，??，??的中点，点?在??上且满足?? ⊥ ??，??与??交于?，??与??交于?，连接??．
证明：??//平面???；
当平面??? ⊥ 平面???时，求?的值；
求二面角?−??−?的余弦值的最小值．
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】???
【答案】???
【答案】???
【答案】2?
3
【答案】
+2 /2 +
3
【答案】10.25
?
【答案】解：(1)若? = 2，又? = (−1,3)，? = (1,−2)，
(−1)2+32⋅ 12+(−2)2
所以cs⟨?,?⟩ = ?⋅? =−1×1+3×(−2)
|?|⋅|?|
7 2．
= −
10
?
(2)若? = 3，又?(1,3)，?(?,−2)，
所以?? = ?1 +3?2，?? = ??1−2?2，
所以?? ⋅ ?? = (?1 + 3?2)(??1−2?2) = ??12 + (3?−2)?1 ⋅ ?2−6?22
= ?|? |2 + (3?−2)|? | ⋅ |? |cs?−6|? |2 = ? + 1(3?−2)−6 = 5，
1
解得? = 24
12322
24
5 ，所以实数?的值为 5 ．
16.【答案】解：由?? =
3?? =
2
3?? = 6得?? = 6，?? = 4，?? = 8．
4
(1) ∵ ?? ⊥ 底面???，?? ⊂ 平面???， ∴ ?? ⊥ ??，
又∠??? = 90∘， ∴ ?? ⊥ ??， ∵ ?? ∩ ?? = ?，??,?? ⊂ 平面???，
∴ ?? ⊥ 平面???，故?? ⊥ ??．
?11
82 + 62
△??? = 2 × 6 × 4 = 12，??−??? = 3 × 12 × 8 = 32．
??2 + ??2
∵ ?? ⊥ ??， ∴ ?? =
=
= 10，
1
?△??? = 2 × 10 × 4 = 20．
设?到平面???的距离为ℎ，
由?
= ?
得1 × 20 × ℎ = 32，解得ℎ = 24；
?−???
?−???35
(2)过?作?? ⊥ ??于?，连接??．
∵ ?? ⊥ 底面???，?? ⊂ 平面???， ∴ ?? ⊥ ??，
又?? ⊥ ??，?? ∩ ?? = ?，??,?? ⊂ 平面???， ∴ ?? ⊥ 平面???，故??是??在平面???内的射影，
∠???即为直线??与平面???所成的角．
??2 + ??2
在?? △ ???中，?? =
=
= 2 13，
62 + 42
13
由面积关系1 × ?? × ?? = 12，解得?? = 12 ，
2
在?? △ ???中，???∠??? =
??
??
12
6 13
= 13 =．
1065
17.【答案】解：由总人数为100得10 + ? + ? + 23 + 2 = 100，即? + ? = 65．
(1)成绩? < 60的有2人，60 ≤ ? < 70的有23人，累计到? < 70的总人数为2 + 23 = 25，分位数位置为100 × 20% = 20，可知20%分位数位于[60,70)分数段内，
代入估算公式得20%分位数 = 60 + 20−2 × 10 ≈ 68．
23
(2)(?)各分数段取最小值计算平均分，[0,60)取0，[60,70)取60，[70,80)取70，
100
[80,90)取80，[90,100]取90，将? = 65−?代入加权平均公式得?2min = 0×2+60×23+70×(65−?)+80?+90×10
= 6830+10? = 68.3 + 0.1?．
100
(??)过程性积分不高于1分的学生成绩满足? < 70，且成绩均为整数，
故?1的最大值为69，要使?1 ≤ ?2恒成立，只需?1的最大值不大于?2的最小值，即68.3 + 0.1? ≥ 69，解得? ≥ 7，
又?为正整数，故?的最小值为7．
【答案】解：(1)证明：在??上取点?，过?作??1 ⊥ ??，交??于?1，过?作??2 ⊥ ??，交??于?2，连接?1?2，
则∠?1??2为二面角?−??−?的平面角，设?? = ?(0 < ? < ??)，
因为∠??? = ∠??? = 30 ∘，
1∘
? ?
所以?? = tan30
3， 3
=
所以?1? = 3?? = 3?，??1 = 2?1? = 2 3?，
333
同理可得?2? = 3?，??2 = 2 3?，
33
在???1?2中，由余弦定理可得：?1?2 = ??2 +??2−2??1 ⋅ ??2 ⋅ cs∠???
212
44
= 3 ?2 + 3 ?2−2?2
2
= 3 ?2
= ?1?2 + ?2?2，
所以??1?2?为直角三角形，且?1? ⊥ ?2?，所以∠?1??2 = 90 ∘，
所以二面角?−??−?是直二面角；
(2)(?)由(1)可知平面??? ⊥ 平面???，
又因为平面??? ∩ 平面??? = ??，?? ⊂ 平面???，?? ⊥ ??，所以?? ⊥ 平面???，?? ⊂ 平面???，
所以?? ⊥ ??，
又因为?? ⊥ ??，∠??? = 90 ∘，所以四边形????为矩形，
又因为?? = ?? = 2，
所以?? = ?? ⋅ sin30 ∘ = 1,?? = ?? ⋅ cs30 ∘ =3，
在????中，由余弦定理可得??2 = ??2 +??2−2?? ⋅ ??cs∠???
= 4 + 3−2 × 2 ×
× 3 = 1，
3
2
所以?? = 1且??2 +??2 = 4 = ??2，
所以????是直角三角形，∠??? = 90 ∘，从而得四边形????为边长为1的正方形，设?? ∩ ?? = ?，连接??，
则?? ⊥ ??，
因为∠??? = 90 ∘，所以?? ⊥ ??，
又因为?? ⊥ ??，??,?? ⊂ 平面????，?? ∩ ?? = ?，所以?? ⊥ 平面????，
又?? ⊂ 平面????，所以?? ⊥ ??，
??,?? ⊂ 平面???，?? ∩ ?? = ?，所以?? ⊥ 平面???，
所以∠???是??与平面???所成角，
又因为?? =2，所以?? = 1?? = 2，
22
在?? △ ???中，sin∠??? = ?? = 212;
??2 × 2 = 4
(??)由(?)可知四边形????中，?? = ?? = 1,∠??? = ∠??? = 90 ∘，
且?? ⊥ 平面????，
所以??2 = ??2 +??2 = 2，
又因为?? ⊂ 平面????，所以?? ⊥ ??，
因为∠??? = ?(0 < ? < 90 ∘)，所以∠??? = 90 ∘−?，在????中，由余弦定理可得：
??2 = ??2 +??2−2?? ⋅ ?? ⋅ cs? = 1 + ??2−2?? ⋅ cs?，
在????中，由余弦定理同理可得：??2 = 1 + ??2−2?? ⋅ cs(90 ∘−?) = 1 + ??2−2?? ⋅ sin?，又因为?? ⊥ ??．
所以??2 = ??2 +??2 = 2 + 2??2−2?? ⋅ sin?−2?? ⋅ cs?．即2 = 2 + 2??2−2?? ⋅ sin?−2?? ⋅ cs?，
所以??2−??(sin? + cs?) = 0，
又因为?? ≠ 0，所以?? = sin? + cs?，
过?作?? ⊥ ??于?，过?作?? ⊥ ??于?，连接??，
因为?? ⊥ 平面????，?? ⊂ 平面???，所以平面??? ⊥ 平面????，
又因为平面??? ∩ 平面???? = ??，
?? ⊂ 平面????， 所以?? ⊥ 平面???，
又因为?? ⊂ 平面???，所以?? ⊥ ??;
又因为?? ⊥ ??，??,?? ⊂ 平面???，?? ∩ ?? = ?，所以?? ⊥ 平面???，
又因为?? ⊂ 平面???，所以?? ⊥ ??，
所以∠???是二面角?−??−?的平面角，
在??????中，tan∠??? = ??，
??
4−1
在??????中，?? = ?? ⋅ sin? = sin?，?? = ?? ⋅ cs? = cs?，
??2−??2
在??????中，?? =
=
=3,?? = cs?,?? = cs? + sin?，
3
3+(sin?+cs?)2
所以?? = sin?，sin? = ?? =
??
在??????中，?? = ?? ⋅ sin? = 3sin? ，
4+sin2?
=，
3
4+sin2?
4+sin2?
3sin?
=
4+sin2?，
3
所以tan∠??? = ?? = sin? ⋅
??
所以?(?) = 4+sin2?；
3
因为0 < ? < 90 ∘，所以0 < 2? < 180 ∘，所以sin2? ∈ (0,1]，所以4 + sin2? ∈ (4,5],
4 + sin2?
所以∈ (2, 5],
所以 4+sin2? ∈ (2 3, 15],
333
即?(?) ∈ (2 3, 15]．
33
【答案】解：(1)证明：因为?,?分别为边??,??的中点，所以??,??为????的中线，且?? ∩ ?? = ?，
所以?为????的重心，则?? = 2??，
3
在??????中，?? =
= 2 2，?? = 1?? =2，
??2−??2
2
则?? = 2 = 2?? = 2，即?? = ??，
??2 2
2 ， ??2
??
??
又因为∠??? = ∠??? = 90 ∘ ，所以????∽????，则∠??? = ∠???，在??????中，∠??? = 90 ∘ −∠???，
则∠??? = 90 ∘ −∠??? = 90 ∘ −(90 ∘ −∠???) = ∠??? = ∠???，故?? = ??，
又因∠??? = 90 ∘−∠??? = 90 ∘−∠??? = ∠???，则?? = ??，即?为??的中点，
故??,??为????的中线，且?? ∩ ?? = ?，则?为????的重心，即?? = 2??，
3
????2
则?? = ?? = 3，所以在△ ???中，??//??，
因为?? ⊂ 平面???，??⊄平面???，所以??//平面???．
(2)当平面??? ⊥ 平面???时，因?? ⊥ ??，则?? ⊥ 平面???或?? ⊥ 平面???，

设? = ??，? = ??，? = ??，
则|?| = ?? = 2，|?| = ?? = 2 2，|?| = ?? =6，因为∠??? = 90 ∘ ，所以? ⋅ ? = 0，
在????中，?? = ?? =6，?? = 2 2，
2⋅ 6⋅2 2
8 3
=
则由余弦定理，cs∠??? = ??2+??2−??2 = 6+8−6 = 83，
2⋅??⋅??3

2
所以? ⋅ ? = |?||?|cs∠??? = 2
⋅
⋅ 3 = 4，
6
3

设? ⋅ ? = ?，在????中，?? = ?，?? = ?−?，
则?2 = |??|2 = |?−?|2 = |?|2 +|?|2−2? ⋅ ? = 4 + 6−2? = 10−2?，
又?? = ??−?? = 1?−?，?? = ??−?? = 1?−?，
22
?? = 1(?? + ??) = 1? + 1?，?? = 1(?? + ??) = 1? + 1?，
222222
情况一：若?? ⊥ 平面???，
因为?? ⊂ 平面???，则?? ⊥ ??，即?? ⋅ ?? = 0，
即(1?−?) ⋅ (1? + 1?) = 0，
222
1
4
即? ⋅ ? +
1 1
? ⋅ ?−
42
1
2
|?| −
2

? ⋅ ? = 0，
4
1
即 × 0 + 1
4
× 4−1
2
× 4−
1? = 0，解得? = −2，
2
将其代入到?2 = 10−2?，即?2 = 10−2 × (−2) = 14，解得? =14(负值舍去)，满足? ∈ [ 11,4]，
情况二：若?? ⊥ 平面???，
因为?? ⊂ 平面???，则?? ⊥ ??，即?? ⋅ ?? = 0，
即(1? + 1?) ⋅ (1?−?) = 0，
222
1 1 21 1
即? ⋅ ?−
42
|?|
+ ? ⋅ ?−
42
? ⋅ ? = 0，
4
1
即?−1
2
× 4 + 1
4
× 4−1
2
× 0 = 0，解得? = 4，
将其代入到?2 = 10−2?，即?2 = 10−2 × 4 = 2，解得? =2(负值舍去)，不满足? ∈ [ 11,4]，
综上所述，当平面??? ⊥ 平面???时，? =14．
(3)依题意，以点?为坐标原点，以??,??所在直线分别为?，?轴，建立空间直角坐标系?−???，则?(0,0,0),?(2,0,0),?(0,2 2,0)，?(0, 2,0)，
设?(?,?,?)(? > 0)，则??2 = ?2 + ?2 + ?2 = 6，??2 = ?2 +(?−2 2)2 + ?2 = 6，两式相减得? =2，代回原式得?2 + ?2 = 4(? > 0)，则?(?, 2,?)，
则??2 = (?−2)2 +( 2−0)2 + ?2 = ?2，将?2 + ?2 = 4代入得10−4? = ?2，
即? = 10−?2，由于?2 ∈ [11,16]，则? ∈ − 3 ,− 1 ，
424
易得平面???的法向量为?0 = (0,0,1)，
因? ? , 2 ,
，则?? = ? −2, 2 ,
，?? = (−2, 2,0)，
?
2
2 222
?
2
设平面???的法向量为?1 = (?1,?1,?1)，
则有
⋅ ?? = −2?1 +2 ?1 = 0
?1
?1
⋅ ?? = ? −2 ?1 + 2 ?1 + ? ?1 = 0，故可取?1 = (?, 2?,2−?)，
222
设二面角?−??−?的平面角为?，由图可知该二面角为锐二面角，则cs? = |?0⋅?1| = 2−? = 2−?，
?2+2?2+(2−?)2
3?2+(2−?)2
|?0|⋅|?1|
16−4?−2?2
将?2 = 4−?2代入得cs? =2−?，
设? = ?−2，因为? ∈ − 3 ,− 1 ，则? ∈ − 7 ,− 9 ，此时?恒为负数，
2424
1
，
则? = ? + 2，则???2? = (2−?)2 = ?2 = ?2 1
?
16−4?−2?216−4(?+2)−2(?+2)2−2?2−12? = −2 × 1+6
9
4
9
4
6− 7 ,−11− 7 ,−
2
因为? = ?在
单调递减，
2
上单调递减，则?(?) == − × 1+6在
?
2上
所以?(?)
9 3 ，则(cs?)
=
= 30，
min = ?(−4) = 10
min10
3 10
即二面角?−??−?的余弦值的最小值为 30．
10