广东省湛江市2025-2026学年高一下学期期末调研数学试卷含答案（word版）

这是一份广东省湛江市2025-2026学年高一下学期期末调研数学试卷含答案（word版），共5页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.1+i,1−i (一个正确得 3 分) 13.−1,3 14. {1,2,4}
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)解:(1)第一组的频率为 0.05，第二组的频率为 0.35，第三组的频率为5x， 第四组的频率为 0.20 , 第五组的频率为 0.10 , .2 分
0.05+0.35+5x+0.2+0.1=1,x=0.06 .4 分
故平均数 x=162.5×0.05+167.5×0.35+172.5×0.3+177.5×0.2+182.5×0.1=172.25 .5 分
(2)根据题意，第 [165,170) 组选 17×+0.3+0.2=7 人 .6 分
第 [170,175) 组选 17×+0.3+0.2=6 人 .7 分
所以第 [175,180) 组选 17×+0.3+0.2=4 人. .8 分
(3)因为前 3 组的频率和为 0.7 ，前 4 组的频率和为 0.9 .9 分
所以第 75 百分位数在第四组,不妨设为 x .10 分
则 x−175×0.04=0.75−0.05−0.35−0.30 . .12 分
解得 x=175+54=176.25 ,即第 75 百分位数约为 176.25
这 100 名同学身高的上四分位数估计值为 176.25 .13 分
16. 解: (1) 因为 acsB=2c−bcsA ,由正弦定理可得
sinAcsB=2sinC−sinBcsA .2 分
则 sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA .3 分
即 sinA+B=2sinCcsA .4 分
所以 sinC=2sinCcsA .5 分
又 C∈0,π ,所以 sinC>0 .6 分
所以 csA=12 . .7 分
又 A∈0,π ..8 分
所以 A=π3 .9 分
(2)在 △ABD 中，由余弦定理可得 BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcsA
即 49=25+AB2−2×5AB×12 . 10 分
解得 AB=8 或 AB=−3 (舍去) .12 分
在 △ABD 中,由余弦定理可得 BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcsA .13 分
即 a2=82+102−2×8×10×12=84 .14 分所以 a=221 .15 分
17. 解: (1)连接 AD1 ,交 A1D 于 E ,连接 BC1 1 分
因为 AB//C1D1 且 AB=C1D1 ,所以 ABC1D1 是平行四边形. .2 分
因为 E,O 分别为 AD1,BC1 的中点,
所以 BED1O 为平行四边形,所以 D1O//BE 3 分
因为 BE⊂ 平面 BDA1,D1O 在平面 BDA1 外 .4 分
所以直线 D1O// 平面 BDA1 .5 分
(2)由(1)知 ABOD1 共面，平面 ABOD1∩ 平面 ABCD=AB .6分
因为 OD1⊂ 平面 ABOD1
所以 T∈ 平面 ABOD1,T∈ 平面 ABCD .7分
即 T∈AB ,即 A,B,T 三点共线 .8 分
(3) 过 T 作 TH⊥DB ,垂足为 H . .9 分
因为 BB1⊥ 平面 ABCD,BB1⊂ 平面 BDD1B1
所以平面 BDD1B1⊥ 平面 ABCD 10 分
平面 BDD1B1∩ 平面 ABCD=BD,TH⊂ 平面 ABCD
所以 TH⊥ 平面 BDD1B1 .11 分
所以 D1H 是 D1O 在平面 BDD1B1 的射影, ∠HD1T 是直线 D1O 与平面 BDD1B1 所成的角.12 分
因为 BD=12AD1,BD//AD1
所以 B 是 AT 的中点 .13 分
计算得 TH=22,TD1=6 . .14 分
所以在 RTΔTHD1 中, sin∠HD1T=THTD1=36
直线 D1O 与平面 BDD1B1 所成的角的正弦值为 36 . .15 分
18. 解: 因为 BC=2EC,DF=3FC ,
所以 AF=AD+DF=AD+34AB .1 分
AE=AB+BE=AB+12AD .2 分
则 AD+34AB=bAB+12AD=a .3 分
解得 AB=85a−45b,AD=−65a+85b .5 分
(2)以 AB 中点为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正向建立平面直角坐标系 .6 分
因为正方形边长为 2,所以半圆 O 时单位圆位于 x 轴上方的部分,
设 Pcsθ,sinθθ∈0,π,A−1,0,D−1,2 .8 分
则 AP=csθ+1,sinθ,DP=csθ+1,sinθ−2 .10 分
AP⋅DP=csθ+12+sinθsinθ−2 .11 分
=2+22csθ+π4 .13 分
因为 θ∈0,π ,所以 θ+π4∈π4,5π4 .14 分
则 csθ+π4∈−1,22 .15 分
所以 AP⋅DP∈2−22,4 .17 分
19. 解: (1) 用 M1 表示“ fC、fD 均为奇数”的事件,用 M2 表示“ fC、fD 均为偶数”的事件. 1 分
则从 1-8 个数字中任取两个数字标签贴在 C、D 顶点的样本空间有 56 个样本点 .2 分
事件 M1 包含 12 个样本点,事件 M2 也包含 12 个样本点, .3 分
根据古典概率知识得:
PM1=1256=314,PM2=1256=314 .4 分
记“ fC+fD 为偶数” 为事件 Q ,则 Q=M1+M2 .5 分
故 P1=PM1+PM2=314×2=37 . .6 分
(2)如图，取边 CD 的中点 F ，连结 BF 、 AF 、 EF .7 分

因为 △BCD 、 △ACD 均是边长为 a 的正三角形，
所以 AF⊥CD,BF⊥CD,AF∩BF=F,AF . BF⊂ 平面 ABF ，
因此 CD⊥ 平面 ABF .8 分
从而 ∠AFE 是二面角 E−CD−A 的平面角 θ , .9 分
又 AF=BF=32a=AB ,则 ∠AFB=∠FBA=∠BAF=π3 .10 分
又 AEsinθ=EFsin∠BAF,AE=EFsin∠AFEsin∠BAF .11 分
同理 BE=EFsin∠BFEsin∠ABF , .12 分
当二面角 E−CD−A 的平面角 θ 大于 π4 时,
fAfB=AEBE=sin∠AFEsin∠BFE=sinθsinπ3−θ>sinπ4sinπ12=3+1, .13 分
当 fB=1 时， fA≥3 ，则 fA 可取3,4,5,6,7,8共六个值 .14 分
当 fB=2 时， fA≥6 ，则 fA 可取6,7,8共三个值. .15 分
当 fB≥3 时, fA≥9 ,则 fA 不存在. .16 分
从 1-8 个数字中任取两个数字标签贴在 A、B 顶点的样本空间有 56 个样本点,
其中使得二面角 E−CD−A 的平面角 θ 大于 π4 的样本点有 9 个,所以 P2=956 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
B
A
C
C
题号
9
10
11
答案
BCD
BC
CD