2023-2024学年广东省广州市五校高一（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省广州市五校高一（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}
2．（5分）若复数z满足，则（ ）
A．2B．2023C．D．1
3．（5分）已知，b＝cs1，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β，α∥β⇒m∥nB．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n
C．m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥βD．α⊥β，m⊥α⇒m⊂β
5．（5分）如图所示，函数y＝csx|tanx|（0≤x且x）的图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝12，n（A）＝6，n（B）＝4，n（A∪B）＝8．则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥
B．
C．
D．事件A与事件B相互独立
7．（5分）已知函数f（x）＝lnax+2a+bsin（x﹣2），则f（x）图象有如下性质（ ）
A．关于点（2，2b）中心对称
B．关于直线x＝b轴对称
C．关于点（2，4a）中心对称
D．关于点（2，2a）中心对称
8．（5分）已知平面向量，，，且，，已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）广州市某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）
A．该次数学史知识测试及格率超过90%
B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该中学共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名
（多选）10．（6分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E分别是BC1，AC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．DE∥平面ABB1A1
B．AD⊥平面BCC1
C．直线AD与直线DE的夹角为
D．若，则平面ABB1A1与平面A1B1C1的夹角为
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）≤0}，集合，若A＝B≠∅，则实数a的取值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为 ．
13．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝3b2+c2，则 ．
14．（5分）函数（a＞0，b＞0）的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数“，并把其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”．以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”的图象有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，当a＝1，b＝1时，函数f（x）的“囧点”坐标为 ；此时函数f（x）的所有“囧圆”中，面积的最小值是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数，若g（x）的最大值为g（x0），其中，求sinx0的值．
16．（15分）为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率；
（3）已知[80，90）组的方差为12，[90，100]组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）．
17．（15分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在AC边上，且直线BD平分∠ABC．
（1）求证：；
（2）若AD＝1，CD＝2．
①求△ABC面积S的最大值；
②若△BAD和△BCD的内切圆半径分别是r和R，求的取值范围．
18．（17分）如图1，在矩形ABCD中，已知，BC＝2，E为AB的中点．将△ADE沿DE向上翻折，得到四棱锥A1﹣BCDE（图2）．
（1）若A1C＝2，求异面直线A1E与BC的夹角；
（2）求证：DE⊥A1C；
（3）在翻折过程中，当二面角A1﹣CD﹣B为时，求四棱锥A1﹣BCDE的体积．
19．（17分）对于数列A：a1，a2，…，an（n≥3），定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：a2，a3，…，an，a1，记T1（A）＝T（A），Tm（A）＝T（Tm﹣1（A）），m≥2．
对于数列A：a1，a2，…，an与B：b1，b2，…，bn，定义A•B＝a1b1+a2b2+…+anbn．
若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n），则称数列A为ℜn数列．
（1）若A：﹣1，﹣1，1，﹣1，1，1，写出T（A），并求A•T2（A）；
（2）对于任意给定的正整数n（n≥3），是否存在ℜn数列A，使得A•T（A）＝n﹣3？若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由；
（3）若ℜn数列A满足Tk（A）•Tk+1（A）＝n﹣4（k＝1，2，…，n﹣2），求数列A的个数．
2023-2024学年广东省广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}
【分析】解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答．
【解答】解：不等式化为：，解得0≤x＜2，
即B＝{x|0≤x＜2}，而A＝{x|﹣1≤x≤1}，
所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的交集运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（5分）若复数z满足，则（ ）
A．2B．2023C．D．1
【分析】先利用虚数单位的性质化简i2023，从而解方程，结合复数的四则运算求得z，再利用共轭复数的定义与模的运算公式即可得解．
【解答】解：因为i2023＝i505×4+3＝i3＝﹣i，
所以，则z﹣1＝﹣i（z+1），即z﹣1＝﹣zi﹣i，故（1+i）z＝1﹣i，
则，
故，．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3．（5分）已知，b＝cs1，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【分析】结合指数函数，对数函数及余弦函数单调性分别判断a，b，c的范围，即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：因为a＝lg0，b＝cs1，c∈（0，），
故b＞c＞a．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数值大小的比较，属于基础题．
4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β，α∥β⇒m∥nB．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n
C．m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥βD．α⊥β，m⊥α⇒m⊂β
【分析】对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，由面面垂直的判定定理判断；对于D，m⊂β或m∥β．
【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，
对于A，m∥α，n∥β，α∥β⇒m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，由面面垂直的判定定理得：m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β，故C正确；
对于D，由α⊥β，m⊥α⇒m⊂β或m∥β，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
5．（5分）如图所示，函数y＝csx|tanx|（0≤x且x）的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据x的取值情况分类讨论，去掉|tanx|中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．
【解答】解：∵y＝csx|tanx|，
∴函数y＝csx|tanx|（0≤x且x）的图象是C．
故选：C．
【点评】本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题．
6．（5分）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝12，n（A）＝6，n（B）＝4，n（A∪B）＝8．则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥
B．
C．
D．事件A与事件B相互独立
【分析】根据已知条件，先求出P（A），P（B），P（AB），即可依次求解．
【解答】解：由题意可知，P（A），P（B），P（AB），故A错误；
，故B错误；
P（A）＝P（A）﹣P（AB），
P（AB）＜P（A），故C错误；
P（AB）＝P（A）P（B），
故事件A与事件B相互独立，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查概率的计算，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）＝lnax+2a+bsin（x﹣2），则f（x）图象有如下性质（ ）
A．关于点（2，2b）中心对称
B．关于直线x＝b轴对称
C．关于点（2，4a）中心对称
D．关于点（2，2a）中心对称
【分析】根据题意，求出f（4﹣x）的解析式，进而分析可得f（x）+f（4﹣x）＝8a，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lnax+2a+bsin（x﹣2），
则f（4﹣x）＝lna（4﹣x）+2a+bsin[（4﹣x）﹣2]＝ln4a﹣ax+2a+bsin（2﹣x），
则有f（x）+f（4﹣x）＝8a，
故f（x）图象关于点（2，4a）对称．
故选：C．
【点评】本题考查函数的对称性，涉及对数函数的性质，属于中档题．
8．（5分）已知平面向量，，，且，，已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面向量的线性运算化简计算即可．
【解答】解：根据题意，，
由，两边平方可得|2，
整理得到对任意实数t恒成立，
则，
解得，
因为，
所以|，
由|＝2，如下图：
则．
故选：B．
【点评】本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，属于基础题．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）广州市某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）
A．该次数学史知识测试及格率超过90%
B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该中学共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名
【分析】根据统计图中信息逐项判断．
【解答】解：由题图，得及格率为1﹣8%＝92%，故A正确；
由题图，得该测试满分同学的百分比为1﹣8%﹣32%﹣48%＝12%，
所以测试得满分的同学有12%×150＝18，故B错误；
由题图，得中位数为80分，平均数为40×8%+60×32%+80×48%+100×12%＝72.8（分），显然中位数大于平均数，故C正确；
由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学预计有3000×（48%+12%）＝1800（名），故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E分别是BC1，AC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．DE∥平面ABB1A1
B．AD⊥平面BCC1
C．直线AD与直线DE的夹角为
D．若，则平面ABB1A1与平面A1B1C1的夹角为
【分析】选项A，易知DE∥AB，由线面平行的判定定理，即可判断；选项B，先证明AC1⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面ABC1，从而知BC⊥AD，再由AD⊥BC1，推出AD⊥平面BCC1，从而作出判断；选项C，先证△ABC1是等腰直角三角形，再由∠ADE＝∠BAD，即可判断；选项D，连接AB1，由三垂线定理可知∠AB1C1即为所求，再计算tan∠AB1C1的值，即可判断．
【解答】解：选项A，因为D，E分别是BC1，AC1的中点，
所以DE∥AB，
又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，
所以DE∥平面ABB1A1，即选项A正确；
选项B，因为AC1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，
所以AC1⊥B1C1，
又BC∥B1C1，所以AC1⊥BC，
因为AB⊥BC，AC1∩AB＝A，AC1、AB⊂平面ABC1，
所以BC⊥平面ABC1，
又AD⊂平面ABC1，所以BC⊥AD，
因为AD⊥BC1，BC∩BC1＝B，BC、BC1⊂平面BCC1，
所以AD⊥平面BCC1，即选项B正确；
选项C，由AC1⊥平面A1B1C1，知AC1⊥平面ABC，
因为AB⊂平面ABC，所以AC1⊥AB，
又AD⊥BC1，D是BC1的中点，
所以△ABC1是等腰直角三角形，且AD平分∠BAC1，
因为DE∥AB，
所以∠ADE＝∠BAD，即选项C错误；
选项D，连接AB1，
因为AC1⊥平面A1B1C1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝A1B1，A1B1⊥B1C1，
所以AB1⊥A1B1，
所以∠AB1C1即为平面ABB1A1与平面A1B1C1的夹角，
若，则ABBC，
在Rt△AB1C1中，tan∠AB1C1，
所以∠AB1C1，即选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行、垂直的判定定理或性质定理，平面与平面夹角的找法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）≤0}，集合，若A＝B≠∅，则实数a的取值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由题意可得b，集合B可化为（x2+ax）（x2+ax+a）≤0，运用判别式法，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：设集合A＝{x∈R|f（x）≤0}＝{x|x2+ax+b≤0}，
由f（f（x）），即（x2+ax+b）2+a（x2+ax+b）+b0，①
A＝B≠∅，可得b，
且①为（x2+ax）（x2+ax+a）≤0，
可得a2﹣40且a2﹣4（a）≤0，
即为，
解得a≤5，
故选：BCD．
【点评】本题考查集合的相等与不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于难题．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为 ．
【分析】由题意可知从5个数字中挑3个不同的数字总共种挑法，而3个数之和是偶数需满足有两个奇数一个偶数，则共有种挑法，从而利用古典概型概率公式即可求出所求概率．
【解答】解：从5个数字中挑3个不同的数字，总共种挑法，其中3个数之和是偶数需满足有两个奇数一个偶数，
则共有种挑法，故从这5个数中挑3个不同的数且和为偶数的概率为P．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型概率计算公式，涉及排列、组合，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
13．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝3b2+c2，则 ﹣2 ．
【分析】依题意可得a2+b2﹣c2＝4b2，同除2ab，再由余弦定理、正弦定理将边化角得到，再由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得．
【解答】解：因为a2＝3b2+c2，
所以a2+b2﹣c2＝4b2，
所以，即，
由正弦定理可得，
所以sinAcsC＝2sinB，
所以sinAcsC＝2sin（A+C），
所以sinAcsC＝2sinAcsC+2sinCcsA，
即sinAcsC＝﹣2sinCcsA，
因为csAcsC≠0，
所以tanA＝﹣2tanC，
所以．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了余弦定理、正弦定理，两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
14．（5分）函数（a＞0，b＞0）的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数“，并把其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”．以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”的图象有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，当a＝1，b＝1时，函数f（x）的“囧点”坐标为 （0，1） ；此时函数f（x）的所有“囧圆”中，面积的最小值是 3π ．
【分析】将a＝1，b＝1代入函数解析式，根据“囧点”的定义可得第一空答案；作出函数f（x）的图象，考虑“囧圆”与f（x）在x轴的上方和下方曲线相切的两种情况，分别求出面积，比较得出结论．
【解答】解：当a＝1，b＝1时，，x≠±1，
则f（0）＝﹣1，即函数f（x）的图象与y轴的交点为（0，﹣1），
所以函数f（x）的“囧点”坐标为（0，1）．
画出函数 的图象如图所示，
当“囧圆”与 的图象在x轴上方部分相切时，不妨设在第一象限的切点为（x，y）（x＞1），
则其到“囧点”的距离
，
当，即x2﹣x﹣1＝0时，解得或（舍），
所以当时，，此时“囧圆”的面积S．
当“囧圆”与 图象的下支相切时，切点为（0，﹣1），
此时半径r＝2，“囧圆”的面积S'＝π×22＝4π．
所以所有的“囧圆”中，面积的最小值为3π．
故答案为：（0，1）；3π．
【点评】本题以新定义为载体，考查与函数有关的最值问题，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数，若g（x）的最大值为g（x0），其中，求sinx0的值．
【分析】（1）由半角公式可得函数f（x）的解析式，进而求出函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）由题意及半角公式，辅助角公式可得g（x）的解析式，求出函数的最大值时x0的值，进而求出sinx0的值．
【解答】解：（1）函数cs2x，
所以函数的最小正周期Tπ；
单调递增区间满足：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得kπ≤x≤kπ，k∈Z，
即函数的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）函数cs2x﹣4•cs2x+2sin2x﹣2sin（2x+φ）﹣2，
其中tanφ，
则g（x）max2，此时2x0+φ2kπ，k∈Z，
其中，
所以x0，所以sinx0＝sin（）（cssin），
因为tanφ，0，sinφ，
所以cssin，
所以sinx0•••．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，半角公式的应用，辅助角公式的应用，属于中档题．
16．（15分）为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率；
（3）已知[80，90）组的方差为12，[90，100]组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）．
【分析】（1）根据频率分布直方图中百分位数的求法即可得解；
（2）利用古典概型即可求解；
（3）先求两组的平均数，然后利用分层抽样中方差的公式即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图知，成绩的第75百分位数一定在[80，90）内，
即，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数为82.5；
（2）由直方图可知，从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人，
其中有3人为航天达人，设为a，b，c，有3人不是航天达人，设为d，e，f，
则从6人中选择2人作为学生代表，则样本空间为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，
其中2人均为航天达人为（a，b），（a，c），（b，c）共3种，
所以被选中的2人均为航天达人的概率为；
（3）由频率分布直方图易得，[80，90）组的人数为200，[90，100]组的人数为100，
则这两组的平均数为：，
则参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型的应用，分层抽样中方差的求解，属于中档题．
17．（15分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在AC边上，且直线BD平分∠ABC．
（1）求证：；
（2）若AD＝1，CD＝2．
①求△ABC面积S的最大值；
②若△BAD和△BCD的内切圆半径分别是r和R，求的取值范围．
【分析】（1）设AC边上的高为h，则表示出S△BAD和S△BCD，两式相除可得结论；
（2）①设∠CBD＝∠ABD＝θ（0＜θ），由余弦定理和面积公式可得S，化简换元后，可以用基本不等式求出其最大值；
②运用等面积法可得r，R，即有1，而BD2＝2（c2﹣1），代入化简可得结果．
【解答】解：（1）证明：设AC边上的高为h，
则S△BCDh•CDa•BDsin∠CBD，S△BADh•ADc•BDsin∠ABD，
因为BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠ABD，
所以，
所以；
（2）①设∠CBD∠ABD＝θ（0＜θ），因为AD＝1，CD＝2，所以由（1）可得a＝2c，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝a2+c2﹣2accs2θ，
所以9＝5c2﹣4c2cs2θ，即c2，
所以Sc•2csin2θ
，
令t＝tanθ，则S3，
当且仅当9t，即t时，取得等号，所以S的最大值为3；
②在△ABC中，因为AD＝1，CD＝2，
所以（），
所以22•2，
即9BD2＝8c2+8c2cs∠ABC，
在△ABC中，由余弦定理可得9＝5c2﹣4c2cs∠ABC，
所以BD2＝2（c2﹣1），
因为S△BAD（c+1+BD）rAD•hh，
S△BCD（a+2+BD）RCD•h＝h，
所以r，R，
所以1
＝11
＝11，
因为c+2c＞3，且c+3＞2c，所以1＜c＜3，所以0＜c﹣1＜2，则1，
所以4＜2（1），所以0，
所以0，
即有11，即1．
【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式、基本不等式和向量的数量积的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于难题．
18．（17分）如图1，在矩形ABCD中，已知，BC＝2，E为AB的中点．将△ADE沿DE向上翻折，得到四棱锥A1﹣BCDE（图2）．
（1）若A1C＝2，求异面直线A1E与BC的夹角；
（2）求证：DE⊥A1C；
（3）在翻折过程中，当二面角A1﹣CD﹣B为时，求四棱锥A1﹣BCDE的体积．
【分析】（1）取DC的中点O，连接A1O，OE，可证OE∥BC，则∠OEA1为异面直线A1E与BC的夹角，计算可求；
（2）在矩形ABCD中，可证明DE⊥AC，则在翻折过程中DE⊥A1F，从而可证明DE⊥平面A1FC，从而可证明结论
（3）过A1作A1H⊥FC，垂足为H，过H作HG⊥DC，垂足为G，连接A1G，可证明∠A1GH是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，设A1H＝HG＝x，可得，进而求得x，可求体积．
【解答】解：（1）取DC的中点O，连接A1O，OE，
又E为AB的中点，所以OC∥BE，OC＝BE，
四边形EBCO是平行四边形，所以OE∥BC，
所以∠OEA1为异面直线A1E与BC的夹角，
又A1C＝2，A1D＝2，，
所以，
所以△A1CD为等腰直角三角形，
从而可得，
又，OE＝2，所以，
所以△A1EO为等腰直角三角形，
所以，
所以异面直线A1E与BC的的夹角；
（2）证明：如图1，连接AC交DF于F，
因为，且E为AB的中点，，
在矩形ABCD中，因为AD＝2，所以，
所以△EAD∽△CBA，所以∠ADE＝∠BAC，
所以∠AFD+∠BAC＝∠AED+∠ADE＝90°，
即∠AFE＝180°﹣（∠AED+∠CAB）＝90°，即DE⊥AC，
由题意可知DE⊥A1F，DE⊥FC，A1F∩FC＝F，A1F，FC⊂平面A1FC，
所以DE⊥平面A1FC，因为A1C⊂平面A1FC，
所以DE⊥A1C；
（3）如图2，过A1作A1H⊥FC，垂足为H，过H作HG⊥DC，垂足为G，连接A1G，
因为DE⊥平面A1FC，A1H⊂平面A1FC，所以DE⊥A1H，
又因为A1H⊥FC，FC∩DE＝F，FC，DE⊂平面BCDE，
所以A1H⊥平面BCDE，
因为CD⊂平面BCDE，
所以A1H⊥CD，
又因为HG⊥CD，A1H∩HG＝H，A1H，HG⊂平面A1GH，
所以CD⊥平面A1GH，因为A1G⊂平面A1GH，
所以CD⊥A1G，
所以∠A1GH是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，
所以，所以A1H＝HG，由勾股定理可得，
设A1H＝HG＝x，由△CGH∽△ADC，
可得，可得，
由（1）可得，从而可得，
所以，
所以，
解得x＝1，
所以四棱锥A1﹣BCDE的体积．
【点评】本题考查线线垂直的判定以及空间角和体积的计算，属于中档题．
19．（17分）对于数列A：a1，a2，…，an（n≥3），定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：a2，a3，…，an，a1，记T1（A）＝T（A），Tm（A）＝T（Tm﹣1（A）），m≥2．
对于数列A：a1，a2，…，an与B：b1，b2，…，bn，定义A•B＝a1b1+a2b2+…+anbn．
若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n），则称数列A为ℜn数列．
（1）若A：﹣1，﹣1，1，﹣1，1，1，写出T（A），并求A•T2（A）；
（2）对于任意给定的正整数n（n≥3），是否存在ℜn数列A，使得A•T（A）＝n﹣3？若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由；
（3）若ℜn数列A满足Tk（A）•Tk+1（A）＝n﹣4（k＝1，2，…，n﹣2），求数列A的个数．
【分析】（1）利用变换T的定义即可得出所求的结果；
（2）利用ℜn数列的定义，记aiai+1（i＝1，2，…，n） 中有t个﹣1，有n﹣t个1，则A•T（A）＝n﹣2t，进而即得；
（3）由题可得A•T（A）＝Tk（A）•Tk+1（A）（k＝1，2，…，n﹣2），进而可得n﹣2t＝n﹣4，然后结合条件即得．
【解答】解：（1）由A：﹣1，﹣1，1，﹣1，1，1，可得T（A）：﹣1，1，﹣1，1，1，﹣1；
T2（A）：1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1；
所以A•T2（A）＝﹣1+1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣2；
（2）因为A•T（A）＝a1a2+a2a3+…+ana1，
由数列 A 为ℜn数列，所以ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n），
对于数列A：a1，a2，…，an中相邻的两项ai，ai+1（i＝1，2，…，n），
令an+1＝a1，若ai＝ai+1，则aiai+1＝1，若ai≠ai+1，则aiai+1＝﹣1，
记aiai+1（i＝1，2，…，n） 中有t个﹣1，有n﹣t个1，
则A•T（A）＝n﹣2t，
因为n﹣2t与n的奇偶性相同，而n﹣3与n的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列A；
（3）首先证明A•T（A）＝Tk（A）•Tk+1（A）（k＝1，2，…，n﹣2），
对于数列A：a1，a2，…，an，有T（A）：a2，a3，…，an，a1，
Tk（A）：ak+1，ak+2，…，an﹣1，an，a1，a2，…，ak﹣1，ak，
Tk+1（A）：ak+2，ak+3，…，an﹣1，an，a1，a2，…，ak，ak+1，
所以Tk（A）•Tk+1（A）＝ak+1ak+2+ak+2ak+3+…+ana1+a1a2+a2a3+…+akak+1，
故A•T（A）＝Tk（A）•Tk+1（A）（k＝1，2，…，n﹣2），
故A•T（A）＝n﹣4．
其次，由数列A为ℜn数数列可知，A•T（A）＝n﹣2t＝n﹣4，
解得t＝2，
这说明数列A中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列A中﹣1的个数为s（s＝1，2，3，…，n﹣1）个，此时数列A有n个，
所以数列A的个数为n（n﹣1）个．
【点评】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/27 15:57:45；用户：高中数学朱老师；邮箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；学号：37103942题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
C
C
D
C
B
题号
9
10
11
答案
ACD
ABD
BCD