湖北省2025_2026学年高一数学上学期期中联考试题含解析

这是一份湖北省2025_2026学年高一数学上学期期中联考试题含解析，共29页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 下列各组函数是同一个函数的是， 下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡指定位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定集合P的元素，根据集合的交集运算，即可得答案.
【详解】由题意，集合，，则.
故选：C
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分别解不等式，然后根据集合的包含关系判断可得.
【详解】解不等式得，记，
解不等式得，记，
因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 下列函数中在定义域内既是减函数，又是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例由单调性的定义否定AC；根据奇函数的性质排除B；利用奇函数的定义和图象判断D.
【详解】，则，故其在定义域上不单调，故A不符合题意；
定义域为,不过，不是奇函数，故B不符合题意；
，则，故在定义域上不单调，故C不符合题意；
，则，
又定义域关于原点对称，故是奇函数，
又，其图象为
故在上单调递减，D符合题意.
故选：D
4. 如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（ ）
A. 减函数且最小值是-8B. 减函数且最大值是-8
C. 增函数且最小值是8D. 增函数且最大值是8
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数图象的对称性判断单调性，由偶函数定义判断最值.
【详解】因为是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减，
所以在单调递增，
对，，因为在最小值是，
所以，又，所以，
即在单调递增，且最小值是.
故选：C.
5. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求解.
【详解】由题意可得，，得或，
故实数的取值范围是或.
故选：A
6. 已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函数的单调性结合一次、二次函数的单调性和函数的连续性可得.
【详解】二次函数的对称轴为，
当在上是单调递减函数时，此时二次函数在为增函数，不符合题意，所以在上是单调递增函数，
所以，
又当时，
综上实数a的取值范围是.
故选：C.
7. 已知函数，则函数的图象关于原点对称的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性、单调性确定正确答案.
【详解】设，则函数的图象关于原点对称得到，
即，
当时，单调递减，所以BCD选项错误，A选项正确.
故选：A
8. 关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦达定理可得，利用常数代换法，结合基本不等式可得.
【详解】因为不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，
由韦达定理可得，所以，且，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】CD
【解析】
【分析】由定义域和解析式逐项判断即可.
【详解】对于A，的定义域是，的定义域是，不是同一个函数，
对于B，的定义域是，的定义域是，不是同一个函数，
对于C，和定义域都是，同一个函数，
对于D，与定义域都是，解析式相同，同一个函数，
故选：CD
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 函数)的定义域为，则函数的定义域为
C. “成立”是“成立”的充要条件
D. 设，若且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式的基本性质即可判断A选项；由函数定义域的定义即可求得函数的定义域，判断B选项；分别解两个不等式得到解集，即可判断C选项；设，解的值，然后由不等式的同向可加性得到的范围，判断D选项.
【详解】∵，∴，∴，
即，所以，A选项正确；
令，∴，∴函数的定义域为，B选项错误；
，则，，解得，C选项正确；
令，即，
即，解得，即，
∴，∴，D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，且，则（ ）
A. 的值域为
B. 不等式解集为
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出函数的图象，即可看出函数的值域可判断A；求出时的解，即可根据图象写出不等式的解集可判断B；令，根据函数图象即可得出的关系和取值范围，可判断CD.
【详解】作出函数的图象如下图所示：

对于A，由图可知函数的值域为，故A错误；
对于B，当时，有或，解得，，，
所以不等式的解集为，故B正确；
对于C，由题可令，
则为函数和直线交点的横坐标，
由图可知，关于对称，所以，即，故C正确；
对于D，为函数和直线交点的横坐标，
由图可知，而，
所以，而，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为__________.
【答案】0或4
【解析】
【分析】根据子集个数公式，结合方程解的个数分类讨论进行求解即可.
【详解】设集合元素个数为，
由题意可得，所以该集合的元素只有一个，
当时，方程，符合题意；
当时，
要想该集合的元素只有一个，只需一元二次方程的判别式，
即，显然，符合题意，
综上所述实数的值为0或4，
故答案为：0或4
13. 若且，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得．
【详解】由题意，当且仅当时等号成立，
解得，所以且等号能取得．
故答案：．
14. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数的图象经过点，且满足.若，都有恒成立，则实数m的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式.等价变形给定恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用基本不等式及不等式性质求出最小值即可.
【详解】由函数的图象经过点，得，
由，得，解得，
所以函数的解析式为.
，不等式恒成立，
令函数，
而当时，，当且仅当时取等号，
令，
则在单调递增，
当时取得最小值，
所以，当且仅当时取等号，则，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答过程写在答题卡指定位置.
15. 已知函数的定义域为，的值域为.集合.
（1）求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由根式型或者分式型函数求出集合，再由二次函数的性质得到集合，然后由补集和交集的运算可得；
（2）分和时讨论可得.
【小问1详解】
由得，解得.
，
所以，.
，所以；
【小问2详解】
因为，
所以，若，有 得，
若，有，得，
综上，或.
16. 设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求得正确答案.
（2）由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围.
【小问1详解】
，，.
，.
不等式的解集为；
【小问2详解】
由题意，，使不等式成立
即时，能成立.
所以大于的最小值
由基本不等式得
当且仅当时，等号成立，
所以实数的取值范围为.
17. 设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．

（1）设，求关于的函数的解析式及其定义域；
（2）求面积的最大值及相应的值．
【答案】（1）定义域为；
（2）的面积有最大值，此时cm.
【解析】
【分析】（1）根据题意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量关系，即可得函数解析式及定义域；
（2）表达出的面积，结合基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
因为矩形的周长为，，则，
又，即，又，，
易知≌，所以，
在中，根据勾股定理得，即，
整理得，
故，定义域.
【小问2详解】
由题意，
，当且仅当时，等号成立.
所以，当时，的面积有最大值．
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，值；
（2）用定义法证明函数在上的单调性，并求出值域；
（3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）证明见解析，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数及建立方程求解即可；
（2）利用定义设，比较与大小即可得出单调性，再根据单调性求出函数在定义域上的最大最小值即可得出函数值域；
（3）根据题意，要使，，都有恒成立，则恒成立，分，，三种情况求解即可.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，即，
所以，
又，所以，解得.
所以；
【小问2详解】
由（1）可知，设，
则，
因为，所以，，，
所以.
所以函数在上单调递增.
所以的最小值为，最大值为，
所以函数在上的值域为；
【小问3详解】
由（2）可得，，
所以要使得对任意的，对任意的，成立，
只需要对任意的，即可，
所以问题可转化为：当时，恒成立.
①若，则在上为增函数，
由，
又因为，所以.
②若，则，此时在上恒成立；
③若，则在上为减函数，
由.
又因为 ，所以，
综上可知：，即实数k取值范围是.
19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”.
（1）函数，求的“偏差”；
（2）函数，若的“偏差”为2，求的值；
（3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值.
【答案】（1）；
（2）；
（3），“偏差”的最小值为.
【解析】
【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为；
（2），，利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值求得的值；
（3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可.
【小问1详解】

因为，所以，
则，.
所以函数与的“偏差”为.
【小问2详解】
令，
∵，∴是单调减函数，∴，
由题意，，，且.
当，即时，，解得或，均不符合；
当，即时，，或，
解得或（舍），
所以.
【小问3详解】
，
因为，所以，
由，则，
令，即，解得，
.
故当且仅当时，有.
故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值.