湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期期末测试高一数学试卷（含答案）

这是一份湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期期末测试高一数学试卷（含答案），共52页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数21+i的虚部为z，则z的值为( )
A. −iB. iC. −1D. 1
2.已知向量a=2,0，b=−1, 3，则a与b夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.一个水平放置的平面图形OABC按斜二测画法得到的直观图O′A′B′C′为平行四边形，如图所示，已知O′A′=2O′C′=4，则平面图形OABC的面积为( )
A. 4B. 8C. 16D. 4 2
4.某AI数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为a，平均数为b，中位数为c，则a，b，c的大小关系是 ( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>b>aD. c>a>b
5.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为5，方差小于1，则( )
A. 可能取到数字3B. 中位数可能是5C. 极差可能是4D. 众数可能是3
6.e1，e2是不共线的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对x,y叫作向量OP以e1，e2为基底的坐标，记作OP=x,y.若e1,e2=60 ∘，OM=1,2，ON=4,5，则MN=( )
A. 3 2B. 3C. 3 3D. 6
7.▵ABC的三边边长分别为4，5，6，分别以三边AB，BC，CA所在直线为轴，将三角形旋转一周，所得到的封闭图形围成三个几何体，这三个几何体体积的最小值为( )
A. 155π8B. 175π8C. 525π16D. 105π4
8.已知e为单位向量，(a−e)⋅(a−5e)=(b−e)⋅(b−5e)=0，a≠b，则有 ( )
A. |a|的取值范围是[1,6]B. 存在向量a，b，使a⋅b=0
C. (a−3e)⋅(a−7e)的最大值为10D. |a+e|的最大值为6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A. e1−e2，e1B. 2e1+e2，12e1+14e2
C. 3e1−e2，e1−3e2D. e1−2e2，−e1+2e2
10.已知z1，z2为复数，下列说法正确的是( )
A. z1⋅z2=z1⋅z2B. z1+z2=z1+z2
C. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0D. 若z1−z2=z1+z2，则z1z2=0
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，CE=ED，DF=λFD1，过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面记为S，则( )
A. λ=2时，截面为五边形
B. λ=2时，截面面积为3 34
C. λ=1时，三棱锥D1−ADE的外接球球心O∈S
D. λ=1时，截面分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为7:17
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点O(0,0)，向量OA=(2,3),OB=(6,−3)，点P是线段AB上靠近A点的三等分点，求点P的坐标 ．
13.已知随机事件A、B满足PA=12，PB=712，PAB=512，则PAB= ．
14.在空间中，A、B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1，若CD的长度的最小值为 3，则锐二面角C−AB−D的大小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，(x，y)表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于6”，B=“至少有一颗骰子的点数为4”
(1)求事件A，B的概率；
(2)求事件A∩B，A∪B的概率．
16.(本小题15分)
已知三棱锥P−ABC，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)已知PA=1，AB=2，BC=3，求PB与平面PAC所成角的正切值．
17.(本小题15分)
如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，AB=3，AD=4，CQ=λAP．
(1)是否存在实数λ，使得平面PBQ⊥平面PAD，若存在，求出实数λ的值，若不存在，说明理由；
(2)当BQ+PQ取最小值时，求λ的值；
(3)若λ=12，直线PQ与平面ABCD所成角为θ，直线PQ与AB所成角为α，二面角Q−AB−C的平面角为β.证明：sinθ=sinα⋅sinβ
18.(本小题17分)
已知a，b，c分别为非钝角▵ABC三个内角A，B，C的对边，acsC+ 3asinC−b−c=0，a= 3
(1)求角A；
(2)若E为BC的中点，求中线AE的取值范围．
(3)D为AC延长线上一点，∠CBD=π6，求▵BCD面积的最小值．
19.(本小题17分)
某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩(满分100分，最低分50分)中，随机调查了100位同学的测试成绩，按50,60、60,70、70,80、80,90、90,100分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．

(1)若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？
(2)若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x，s12；n，y，s22.记总的样本平均数为w，方差为s2.证明：s2=mm+ns12+x−w2+nm+ns22+y−w2．
(3)已知随机调查的100位同学的测试成绩落在70,80内的平均成绩是77分，方差是4分，落在[80,90)内的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均数为z，方差为s2.求s2
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】(103,1)
13.【答案】13．
14.【答案】60∘
15.【答案】解：抛掷两颗骰子的所有基本事件为(x,y)，其中x∈{1,2,3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6}，总共有6×6=36个等可能的基本事件。
(1)事件A“两个点数之和等于6”包含的基本事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共5个，故P(A)=536。事件B“至少有一颗骰子的点数为4”包含的基本事件中，红色骰子点数为4的有6个，绿色骰子点数为4的有6个，其中(4,4)重复计数1次，因此事件B共包含6+6−1=11个基本事件，故P(B)=1136。
(2)A∩B表示“两点数之和为6，且至少有一颗骰子点数为4”，包含的基本事件为(2,4),(4,2)，共2个，故P(A∩B)=236=118。根据概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)，代入得P(A∪B)=536+1136−236=718。
16.【答案】解：(1)证明：如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E．
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AE⊂平面PAB，
∴AE⊥平面PBC．
∵BC⊂平面PBC，∴AE⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．
又PA∩AE=A,PA,PE⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB．
(2)过点B作BH⊥AC于H，连接PH．
∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC，
∵平面PAC∩平面ABC=AC，BH⊂平面ABC，BH⊥AC，
∴BH⊥平面PAC，连接PH，
则∠BPH是PB与平面PAC所成角，
由(1)得BC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，则∠CBA=90∘，∴BH=2×3 22+32=6 13，
在Rt▵PAB中，PB= 12+22= 5，
在Rt▵BPH中，PH= PB2−BH2= 5−3613= 29 13，
∴tan∠BPH=BHPH=6 13 29 13=6 2929．

17.【答案】解：(1)不存在，理由如下：
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB．
矩形ABCD中，AB⊥AD．
因为PA,AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD．
若平面PAD⊥平面BPQ，过B作两平面交线的垂线BT，则BT⊥平面PAD．
又AB∩平面BPQ=B，所以过点B存在两条直线与同一个平面垂直，显然矛盾．
所以平面PBQ与平面PAD不垂直，
即不存在λ使平面PBQ⊥平面PAD．
(2)由已知，PA//QC，故P，A，C，Q四点共面，
以CQ为对称轴，将▵BCQ旋转到平面PACQ内，且B，P在直线CQ异侧，
则BQ+PQ≥BP，当且仅当B，Q，P三点共线时取等号，
已知四边形ABCD为矩形，AB=3，AD=4，则AC=5，BC=AD=4，
此时CQAP=BCAC+BC=45+4=49，
即λ=49．
(3)取AP中点M，连接CM，DM，AC，AQ，则PM=AM=12AP．
由CQ=12AP，得CQ//AP，CQ=12AP，所以CQ=PM，
所以四边形CQPM为平行四边形，所以CM//PQ．
所以直线CM与平面ABCD所成角即为直线PQ与平面ABCD所成角．
因为PA⊥平面ABCD，则∠MCA即为直线CM与平面ABCD所成角，
所以∠MCA=θ，CQ⊥平面ABCD．
又AB//DC，所以直线CM与DC所成角即为直线PQ与AB所成角，即∠MCD=α．
在Rt▵ACM中，sinθ=AMCM．
因为AB⊥平面PAD，AB//DC，所以DC⊥平面PAD．
因为DM⊂平面PAD，所以DC⊥DM．
在Rt▵DCM中，sinα=MDCM．
所以sinθsinα=AMMD．
因为CQ⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以CQ⊥AB．
矩形ABCD中，AB⊥BC．
因为BC,CQ⊂平面BCQ，BC∩CQ=C，所以AB⊥平面BCQ，
所以∠QBC即为二面角Q−AB−C的平面角，所以sinβ=CQBQ．
又CQ=AM，AD=BC，则Rt▵BCQ≅Rt▵DAM，
则BQ=MD，则sinβ=CQBQ=AMMD．
所以sinθsinα=sinβ，即sinθ=sinα⋅sinβ．

18.【答案】解：(1)由已知及正弦边角关系可得sinAcsC+ 3sinAsinC−sinB−sinC=0，
∴sinAcsC+ 3sinAsinC−sinAcsC+csAsinC−sinC=0，
即 3sinAsinC−csAsinC−sinC=0，sinC 3sinA−csA−1=0，
因为C∈0,π2，所以sinC≠0，所以 3sinA−csA−1=0，
即 3sinA−csA=2sinA−π6=1，即sinA−π6=12，又A∈0,π，
∴A−π6=π6，则A=π3．
(2)因为E为BC的中点，所以AE=12AB+AC，
两边平方得AE2=14AB+AC2=14AB2+AC2+2AB⋅AC=14c2+b2+bc，
在▵ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc，即b2+c2=3+bc，
所以AE2=143+2bc=34+12bc，
在▵ABC中，由正弦定理得bsinB=csinC=asinA= 3 32=2，
所以b=2sinB，c=2sinC，
所以bc=4sinBsinC=4sinBsin2π3−B
=2 3sinBcsB+2sin2B= 3sin2B+1−cs2B=2sin2B−π6+1，
因为▵ABC为非钝角三角形，所以0