湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期中测试高一数学试卷（含解析）

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1. 若（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则求解.
【详解】因为2−iz=3+i ，所以z=3+i2−i=3+i2+i2−i2+i=6+5i+i24−i2=5+5i5=1+i .
2. 设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】为两个非零向量，∴a≠0,b≠0 ，设两向量的夹角为.
充分性：，∴a⋅b=a⋅bcsθ>0 ，即，解得；
不一定存在正数，使得成立，即充分性不成立.
必要性：存在正数，使得成立，；
∴a⋅b=a⋅bcsθ=a⋅b>0 ，即必要性成立.
“”是“存在正数，使得”的必要而不充分条件.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 正三棱锥就是正四面体
B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C. 圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的
D. 七面体可以有10个顶点，5条侧棱
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C.
【详解】对于A,如果正三棱锥侧棱与底面边长不相等，就不是正四面体，故A错误；
对于B, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故B错误；
对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，
设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，
显然当，面积最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，
圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误；
对于D, 正五棱柱有七个面，10个顶点，五条侧棱，D正确.
4. 已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆柱的底面半径为，母线长为，根据题意求出，进而利用圆柱的体积公式即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，由题意得：，
因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，
所以，即，所以，
所以该圆柱的体积为，
故选：D.
5. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（ ）
A. 钝角三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，由可得，确定是等边三角形.
【详解】由得，
所以，又，所以.
由，根据正弦定理可得，
又，，
所以，又，所以，
由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形.
故选：D.
6. 欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】依题意，(eπ4i)2026+eπ2i=e(506π+π2)i+eπ2i=cs(506π+π2)+isin(506π+π2)+csπ2+isinπ2=2i
7. 已知为的垂心，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由垂心的性质得到向量的数量积，解方程组求得，最后求.
【详解】因为是的垂心，所以，
因为，
所以BH⋅AC=−23AB+12AC⋅AC=12AC2−23AB⋅AC=0 ，
，即AB⋅AC⋅cs∠BAC=34AC2，即cs∠BAC=34ACAB，
AH⋅BC=13AB+12AC⋅AC−AB，
AB2=32AC2−12AB⋅AC=32AC2−12×34AC2=98AC2=AB2，
AB=324AC，
所以cs∠BAC=34ACAB=34AC324AC=22，
.
8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（ ）
A. 该石凳的表面积为
B. 该石凳的体积为
C. 有内切球，且内切球的体积为
D. 有外接球，且外接球的表面积为
【答案】C
【解析】
【分析】由题目要求，还原正方体，在正方体中观察各选项中需要用到或者求解的线段、三角形和四边形，分别求出十四面体的表面积、体积，以及是否存在内切球及外接球.
【详解】A选项，该石凳由6个正方形和8个正三角形围成，它的表面积为，A正确；
B选项，如图，
该石凳由一个棱长为的正方体截去8个全等的正三棱锥，其体积为
223−8×13×12×2×2×2=162−823=4023，B正确；
C选项，该多面体由6个正方形和8个正三角形围成，到这6个正方形距离相等的点为原正方体的中心，
设该点为，到这6个正方形距离为，
设到8个正三角形的距离为，则，解得，
所以该多面体不存在内切球，C错误；
D选项，该多面体存在外接球，其球心为原正方体的中心，它到每个点的距离为原正方体面对角线的一半，即2，
所以球表面积为，D正确.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则实数的取值范围是
B. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
C. 复数在复平面内对应的点不可能在第二象限
D. 设均为复数则
【答案】BD
【解析】
【分析】由复数的概念计算判断A；由复数的几何意义计算判断B；由复数在复平面内点坐标的特点列不等式计算判断C；设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R) ，由共轭复数及复数的乘法计算判断D.
【详解】对于A，若，
则，解得，故A错误；
对于B，由复数模的几何意义可知，若复数满足，
则复数对应复平面上以原点为圆心，内半径为 2，外半径为 3 的圆环，
所以面积为，故B正确；
对于C，若复数(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i,(m∈R) 在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得，
所以当时，复数(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i,(m∈R) 在复平面内对应的点在第二象限，故C错误；
对于D，设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R) ，
则，
所以，
所以z1z2+z1z2∈R ，故D正确.
10. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A. 时，外接圆周长为
B. 时，的面积为
C. 时，一定大于
D. 时，有两解
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正余弦定理逐个分析求解即可.
【详解】选项A，由正弦定理（为外接圆半径），代入，
2R=2332=4⟹R=2 ，外接圆周长=2πR=4π ，A正确；
选项B，由余弦定理，代入得，3=a2+16−4a⟹a2−4a+13=0
判别式Δ=16−52