湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷含答案（word版）

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1. 若 2−iz=3+i (i 为虚数单位),则 z= ( )
A. 1+i B. -2i C. 2i D. 1−i
2. 设 a,b 为两个非零向量，则 “ a⋅b>0 ” 是 “存在正数 λ ，使得 a=λb ” 的()
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列说法正确的是有( )
A. 正四面体就是正三棱锥
B. 有两个面平行, 其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C. 圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的
D. 七面体可以有 10 个顶点, 5 条侧棱
4. 已知圆柱的上，下底面的中心分别为 O1,O2 ，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 16 的正方形，则该圆柱的体积为( )
A. 16π B. 12π C. 10π D. 8π
5. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a−ccsB=b−ccsA ,且 c2=a2+b2−ab , 则 △ABC 的形状为( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6. 欧拉公式 eiθ=csθ+isinθ (e 是自然对数的底数, i 是虚数单位) 是由瑞士著名数学家欧拉提出的, 它将指数函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数与指数函数的关系. 根据此公式, 化简 eπ4i2026+eπ2i 的结果为( )
A. 22+22i B. 1−i C. 22+322i D. 2i
7. 已知 H 为 △ABC 的垂心，若 AH=13AB+12AC ,则 sin∠BAC= ( )
A. 63 B. 22 C. 155 D. 33
8. “阿基米德多面体” 也称为半正多面体, 是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体, 它体现了数学的对称美。如图, 某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体, 它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体, 若它所有的棱长都为 2 。则下列结论中, 错误的是 ( )
A. 该石凳的表面积为 24+83B. 该石凳的体积为 4023
C. 有内切球,且内切球的体积为 82π3 D. 有外接球,且外接球的表面积为 16π
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是( )
A. 若 m2−1+m+1i≥0 ,则实数 m 的取值范围是 −∞,−1]∪[1,+∞
B. 若复数 z 满足 2≤z≤3 ,则复数 z 在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 5π
C. 复数 2m2−3m−2+m2−3m+2i,m∈R 在复平面内对应的点不可能在第二象限
D. 设 z1,z2 均为复数则 z1z2+z1z2∈R
10. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a、b、c . 若 b=4,∠C=π3 ,则( )
A. c=23 时, △ABC 外接圆周长为 4π B. c=3 时, △ABC 的面积为 23
C. c=72 时, sinB 一定大于 sinA D. c=33 时, △ABC 有两解
11. 如图是底面半径为 3 的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 S 滚动, 当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了 3 周，则()
A. 圆锥的侧面积为 27π
B. 圆锥的体积为 542π
C. 若一蚂蚁从点 A 出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点 A ,则爬行的最短距离为 93
D. 圆锥的外接球与内切球半径比值为 94
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 边长为 1 的正六边形的直观图的面积是_____.
13. 已知平面向量 a,b ，满足 a=b=1 ， a−2b=2 ，则向量 a+b 在向量 b 上的投影向量为_____.
14. 已知向量 u=sinx,sin2x+π4,v=3sinx,1 ，函数 fx=2u⋅v−3 ，若函数 y= fx−m 在 x∈0,π2 内有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数 z 满足 z−2z=−33−3i .
(1)求 Z ；
(2)若 z 是实系数一元二次方程 x2+bx+c=0 的一个根，求方程的另一个根和 bc 的值.
16. 在平面直角坐标系中, M−2,0,N−3,1,P−1,3 ,设 a=MN,b=MP .
(1)若 a+mb⊥a ，求 m 的值；
(2)若 b−a 与 a+mb 的夹角是钝角，求 m 的取值范围.
17. 如图, 某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成, 已知正三棱柱的底面边长与高均为 1 cm ，正三棱台的下底面边长为 2 cm ，且正三棱台的高为 1 cm ，现有一盒这种零件共重 6503g (不包含盒子的质量),取铁的密度为 7.8 g/cm3 .

(1)试问该盒中有多少个这样的零件？(质量=密度×体积)
(2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少 cm2 的材料?
18. 在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2csAcsC=tanBtanA+tanC .
(1)求角 B ；
(2)若 AC=22 ， AC 边中线 BD 长为 2 ，求 △ABC 的面积；
(3)当 AC=23 时， △ABC 的面积为 S ，周长为 L ，求 SL 的取值范围.
19. 如图所示,设 Ox,Oy 是平面内相交成 α0