2025--2026学年吉林省吉林市实验中学高二下册5月期中测试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林省吉林市实验中学高二下册5月期中测试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知直线l过点且与线段（）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直线y＝kx与圆的两个交点关于直线对称，则k，b的值分别为（ ）
A. k＝2，b＝－1B. k＝－2，b＝1
C. ，D. ，
4. 过点作圆的最短弦，延长该弦与轴、轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 通信工程中常用元数组表示信息，其中或1，且．设，，表示和中相对应的元素不同的个数．如，，则．若，则使得的6元数组的个数为（ ）
A. 15B. 20C. 30D. 40
6. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 或
7. 已知定义域为的函数在区间上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
8. 函数是奇函数且过点（—1，3），函数是函数的反函数，则的图像必过点 （ ）
A. （—5，1）B. （—3，3）C. （—3，1）D. （—5，3）
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 2017年1月，《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%、49.0%、34.6%和 3.8%，则适合表示上述调查结果的是（ ）
A. 柱形图B. 折线图
C. 扇形图D. 频率分布直方图
10. 点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A. B. C. D. 0
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 我国古代的统计工作有着悠久的历史.据《周礼》记载，周朝设有专门负责调查和记录数据的官员，称为“司书”，主要工作是负责“邦之六典以周知入出百物”.《数书九章》中有“米谷粒分”问题：今有粮仓开仓收粮，有人送来米2024石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷29粒.则估计这批米内所夹的谷有_____石.
13. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是________.
14. 已知，，且，则的最小值为______．
四、解答题（77分）
15. 已知．
（1）求；
（2）若，且，求．
16. 如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，.
（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 如图，四边形是直角梯形，，∥，，又，直线与直线所成的角为.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
18. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
（3）为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
（ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率；
（ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
19. 已知二次函数，且不等式的解集为．
（1）方程有两个相等的实根，求的解析式；
（2）的最小值不大于，求实数的取值范围；
（3）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：B
解析：
思路：先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值.
解答过程：由及A，B，C，D四点共面得：，
即，又，，
所以，当且仅当时等号成立，
故选：B
2. 已知直线l过点且与线段（）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：设线段（）的左右端点分别为，计算出，由此求得的取值范围.
解答过程：设线段（）的左右端点分别为，
如图，，，∴.
故选：A
方法提示：本小题主要考查直线的斜率，属于基础题.
3. 若直线y＝kx与圆的两个交点关于直线对称，则k，b的值分别为（ ）
A. k＝2，b＝－1B. k＝－2，b＝1
C. ，D. ，
答案：A
解析：
思路：分析可知过圆心，且与y＝kx垂直，然后可得.
解答过程：由题意可知，直线过圆心，且直线y＝kx与直线垂直，
所以，，解得.
故选：A
4. 过点作圆的最短弦，延长该弦与轴、轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解析：
思路：先利用圆的性质确定最短弦所在直线的方程，再求得两点坐标，计算面积即得结果.
解答过程：依题意，点，由圆的性质可知，过点且垂直PM的直线l截得的弦长最短.
而，所以直线l的斜率为1，即方程为：，即.
所以直线l与轴、轴分别交于，
故底边，高，即面积为.
故选：B.
5. 通信工程中常用元数组表示信息，其中或1，且．设，，表示和中相对应的元素不同的个数．如，，则．若，则使得的6元数组的个数为（ ）
A. 15B. 20C. 30D. 40
答案：A
解析：
思路：根据所给新定义理解题意，由组合知识即可求解判断.
解答过程：由，则相对应的元素恰有2个不同，故数组共有个.
故选：A.
6. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 或
答案：C
解析：
思路：由分式不等式小于0得出分子、分母异号，进而把分式不等式转化为整式不等式，解不等式求解集．
解答过程：，分式的分子、分母异号，即，解得，
不等式的解集为，故C正确．
故选：C．
7. 已知定义域为的函数在区间上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：
根据函数的单调性和奇偶性的关系，将不等式进行转化进行求解即可．
解答过程：因为y＝f（x+1）为偶函数，∴y＝f（x）关于x=1对称，又因为函数f（x）在（1，+∞）上单调递减， 所以由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），
即|2x﹣1-1|＜|x+1-1|，
平方整理得3x2﹣8x+4＜0，
即＜x＜2,
即不等式的解集为（，2），
故选D．
方法提示：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
8. 函数是奇函数且过点（—1，3），函数是函数的反函数，则的图像必过点 （ ）
A. （—5，1）B. （—3，3）C. （—3，1）D. （—5，3）
答案：A
解析：
思路：由题设条件可以看出的图象由的图象向左平移2个单位而得到，故可以通过反函数的关系求出函数的点，再由平移的规则得出的图象必过点即可.
解答过程：解：∵函数y＝f（x）是奇函数且过点（﹣1，3），函数是函数y＝f（x）的反函数，
∴函数图象过点（0，0）与（3，﹣1），（﹣3，1）
∴函数图象过点（﹣2，0）与（1，﹣1），（﹣5，1）.
故选:A．
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 2017年1月，《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%、49.0%、34.6%和 3.8%，则适合表示上述调查结果的是（ ）
A. 柱形图B. 折线图
C. 扇形图D. 频率分布直方图
答案：AC
解析：
思路：根据各种统计图表的功能直接可得.
解答过程：柱形图和扇形图可用于表示百分比，折线图和频率分布直方图是用面积表示频率.
故选：AC
10. 点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A. B. C. D. 0
答案：AD
解析：
思路：由点在线上得，则，，由复合函数性质逐步讨论值域即可
解答过程：点在函数的图象上，∴，∴，
∵由得，
.
故选：AD
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BC
解析：
思路：作差比较可判断A；构造函数，利用导数求单调性可判断B；作商比较，结合基本不等式可判断C；构造函数，利用导数判断单调性可判断D.
解答过程：对A：因为，则，
所以，所以，A错误；
对B：记，则，
所以在上单调递减，
又，所以，即，即，B正确；
对C：因为，所以，，
，因，故等号不成立，
则，所以，C正确；
对D：记，则，
记，则，故，
所以在上单调递减，，
则，所以在单调递减，
又，所以，即，即，D错误.
故选：BC.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 我国古代的统计工作有着悠久的历史.据《周礼》记载，周朝设有专门负责调查和记录数据的官员，称为“司书”，主要工作是负责“邦之六典以周知入出百物”.《数书九章》中有“米谷粒分”问题：今有粮仓开仓收粮，有人送来米2024石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷29粒.则估计这批米内所夹的谷有_____石.
答案：232
解析：
思路：利用样本估计总体进行计算.
解答过程：这批米内所夹的谷有，
故232
13. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是________.
答案：
解析：
思路：由函数的定义域是，表示函数的分母恒不为零，即方程无解，根据一元二次方程根的个数与判断式的关系，我们易得数的取值范围.
解答过程：解：由或，可得，
故答案为.
方法提示：求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在.
14. 已知，，且，则的最小值为______．
答案：5
解析：
思路：
首先利用条件变形，展开后利用基本不等式求最小值.
解答过程：
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为5.
故5
方法提示：关键点点睛：利用“1”的变形，是本题的关键，.
四、解答题（77分）
15. 已知．
（1）求；
（2）若，且，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先由同角三角函数的平方关系可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果；
（2）由同角三角函数的平方关系可得，再由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.
（1）由，得．
，
.
（2）由得，由得，
，
又.
16. 如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，.
（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）答案见解析；（2）.
解析：
思路：（1）延长交的延长线于点，作，即可.
（2）建立空间直角坐标系，计算与平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.
解答过程：（1）①延长交的延长线于点；
②连接；③过点作交于点.
（2）若是中点，则是中点，又因为，所以，
所以，从而，依题意，两两垂直，
分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
从而，
设平面的一个法向量为，
则,即,取，得.
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
方法提示：本题主要考查利用向量的方法求解线面角，向量是代数与几何的纽带，利用代数的方法求解几何问题，便于计算，考查计算，属中档题.
17. 如图，四边形是直角梯形，，∥，，又，直线与直线所成的角为.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
答案：（1）见解析 ,（2）.
解析：
思路：（1）要证明平面平面，可先证明平面即可，而，从而可证得结论，
（2）建立空间直角坐标系，写出对应坐标，求出平面的法向量，平面的法向量，通过向量的夹角公式即可求得答案.
解答过程：证明：（1）因为，所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
（2）由（1）知，M在面内的射影N必在CB上，易知.
因为直线AM与直线MN所成的角为，所以.
在中，由余弦定理得.
在中，
建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意知，.
所以，.
设平面的一个法向量为，
则，令，则
又平面的一个法向量为
设与所成的角为，则
显然，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
18. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
（3）为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
（ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率；
（ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
答案：（1）61，241；
（2）可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.
（3）（ⅰ），（ⅱ）乙更容易晋级复赛
解析：
思路：（1）利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可；
（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论.
（3）（ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，利用列举法，根据古典概型的概率公式求解即可；
（ⅱ）根据题意按第一轮得20分且第二轮至少得20和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立事件和对立事件的概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.
（1）由题，可知
．
．
（2）由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
（3）（ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，
第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则所选的两个题的情况为：
，共10种，
其中得0分的情况有：，4种，
所以甲在第一轮比赛中得0分的概率为；
（ⅱ）甲晋级复赛分两种情况：
甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：，
甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：，
所以甲晋级复赛的概率为；
乙晋级复赛分两种情况：
乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：，
乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：，
所以乙晋级复赛的概率为，
因为，所以乙更容易晋级复赛.
19. 已知二次函数，且不等式的解集为．
（1）方程有两个相等的实根，求的解析式；
（2）的最小值不大于，求实数的取值范围；
（3）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
答案：（1）
（2） （3）当时，有唯一零点；
当时，，时，有唯一零点，
，或a=2−m−m2+4m−44时，有唯一零点；
若，a>2−m+m2+4m−44时，有两个零点；
当时，当或时，
有两个零点；
当时，有两个零点．
解析：
思路：（1）根据不等式的解集为得到、为方程的实根，结合韦达定理确定、、之间的等量关系以及这一条件，然后利用有两个相等的实根得到，从而求出、、的值，最终得到函数的解析式；（2）在的条件下，利用二次函数的最值公式求二次函数的最小值，然后利用已知条件列有关参数的不等式，进而求解实数；
（3）先求出函数的解析式，对首项系数为零与不为零进行两种情况的分类讨论，在首项系数为零的前提下，直接将代入函数解析式，求处对应的零点；在首项系数不为零的前提下，求出，对的符号进行三中情况讨论，从而确定函数的零点个数，并求出相应的零点．
（1）已知不等式的解集为，即不等式的解集为，
故、为方程的两根，且，
由韦达定理得：，即；
，即，
由于方程有两个相等的实根，即方程有两个相等的实根，
则，
由于，解得，
，，
．
（2），二次函数，开口向上，最小值为：
，
由题意知，，
由于，则有，故，解得，
，
，即实数的取值范围是．
（3），
①当时，方程为，方程有唯一实根，
即函数有唯一零点；
②当时，，
令，则，
开口向上，，
当时，
，
，即或，
，
此时对所有恒成立，故，
若，方程必有两个实根，；
时，或，
，即或，
或，
有两个不同实根：，，
当时，，，
的范围为，
当时，，，方程有唯一重根，；
当时，，，方程有两个不同零点：
；
当时，，，
的范围为或，
当或时，，，
方程有唯一重根，；
当或，
，，方程有两个不同零点：
．
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