2025--2026学年湖南株洲市第四中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南株洲市第四中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 设全集，集合，则， 曲线在点处的切线方程是，3B， ，则， 已知f， 已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知正项数列是公比不为的等比数列则（ ）
A. B. C. 2D.
3. 曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下
根据上表可得回归方程，则实数的值为
A. 37.3B. 38C. 39D. 39.5
5. ，则（ ）
A. 16B. 65C. 80D. 81
6. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是个圆．在平面直角坐标系中，已知，，若直线上存在点与点，的距离之比为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ）
A. 只有1个零点B. 有2个零点
C. ，D. ，
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ）
A. B. 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元
C. 可以估计10月份的利润为26.8万元D. 5月份利润的残差为0.4万元
10. 已知抛物线：（）的焦点也是椭圆的一个焦点，过点作的两条切线，斜率分别为，，对应的切点分别为，，则（ ）
A. B. （）
C. 点在直线上D. 的中点到轴的距离为
11. 已知长方体中，，，分别是的中点，点在上运动（含端点），则（ ）
A. 该长方体外接球的表面积为
B. 点到平面的距离的最大值为
C. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的周长为
D. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分（单位：分）服从正态分布，若，则得分高于50分的人数约为_________．
13. 勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数，存在质数，满足，我们把区间称为正整数的质数分布区间．现从集合中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有_________种．（用数字作答）
14. 函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
16. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数.
（1）求的分布列和数学期望；
（2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值；
17. 如图，在三棱锥P-ABC中，为边长为2的正三角形，，．
（1）证明：平面平面．
（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数，其中.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，
（i）证明：在区间内有且仅有1个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
19. 已知点是圆：上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，为线段的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若曲线与轴交于，两点，直线，分别与直线相交于，两点，求的值.
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：写出集合，利用补集的定义可得集合.
解答过程：因为全集，，故.
2. 已知正项数列是公比不为的等比数列则（ ）
A. B. C. 2D.
答案：B
解析：
解答过程：令等比数列的公比为，由，得，
则，即，
所以.
3. 曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：求导，即可根据点斜式求解直线方程.
解答过程：由函数的解析式可得，
所求切线的斜率为．由于切点坐标为，
故切线方程为，即为．
故选：C．
4. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下
根据上表可得回归方程，则实数的值为
A. 37.3B. 38C. 39D. 39.5
答案：C
解析：
思路：求出，代入回归方程，即可得到实数的值．
解答过程：根据题意可得：,，
根据回归方程过中心点可得：，解得：；
故答案选C
方法提示：本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题．
5. ，则（ ）
A. 16B. 65C. 80D. 81
答案：C
解析：
思路：根据题意得，利用赋值法和二项式系数求解.
解答过程：由于，
则，
令，得，
又因为，
所以.
6. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是个圆．在平面直角坐标系中，已知，，若直线上存在点与点，的距离之比为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：设点，由点与点，的距离之比为，得，
化简整理可得，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
又因为点在直线上，所以直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，解得．
7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为
所以
由全概率公式可得.
8. 已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ）
A. 只有1个零点B. 有2个零点
C. ，D. ，
答案：D
解析：
思路：结合题意构造函数，可得，进而根据函数性质可以判断选项A,B,C；整理原不等式可得，进而转化为证明，构造函数，求导分析函数单调性和最值即可.
解答过程：由题意，可得，令，
则，故为常函数，设，m为常数，则，
即，则，，
那么没有零点且，故A，B，C错误；
由对任意，均有，即对任意，均有，
那么．
不等式两边同乘正数，等价于证明，
令，，令得：
时，，递减；时，，递增；
故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ）
A. B. 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元
C. 可以估计10月份的利润为26.8万元D. 5月份利润的残差为0.4万元
答案：AC
解析：
思路：由回归方程过样本中心点即可求解判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断BCD.
解答过程：依题意，，
将代入中，解得，故A正确；
可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误；
将代入中，得到，故C正确；
将代入中，得到，则所求残差为，故D错误.
故选：AC.
10. 已知抛物线：（）的焦点也是椭圆的一个焦点，过点作的两条切线，斜率分别为，，对应的切点分别为，，则（ ）
A. B. （）
C. 点在直线上D. 的中点到轴的距离为
答案：ACD
解析：
思路：求出焦点坐标，设出切线方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义逐项求解判断.
解答过程：椭圆的右焦点为，即为的焦点，则，抛物线：，
对于A，显然，设过点的切线方程为，
由，得，
令，整理得，
依题意，，是此方程的两个实数根，则，A正确；
对于B，是的实数根，则，同理，B错误；
对于C，点的坐标分别为，直线的方程为，
化简得，而，得，
又，则直线过点，即点在直线上，C正确；
对于D，的准线方程为，设分别为到准线的距离，
由抛物线的定义知，的中点到准线的距离为，
所以的中点到轴的距离为，D正确.
11. 已知长方体中，，，分别是的中点，点在上运动（含端点），则（ ）
A. 该长方体外接球的表面积为
B. 点到平面的距离的最大值为
C. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的周长为
D. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的面积为
答案：ABD
解析：
思路：利用长方体的体对角线得其外接球的半径，求得表面积判断选项A；向量法求点到平面的距离判断选项B；作出过三点的平面截长方体所得截面，求出相关线段的长，计算截面图形周长和面积判断选项CD；
解答过程：对于A，长方体的体对角线是其外接球的直径，
则， ，
可得外接球的表面积，所以选项A正确；
对于B，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
点P到平面的距离为： ，
因为，所以当时，取得最大值，，选项B正确；
对于C，延长相交于点，连接与相交于，延长相交于点，
连接与相交于，则截面是五边形，
已知，，分别是的中点，
则，，， ，，
，，
利用勾股定理可得，
五边形的周长为，C选项错误；
对于D，，，
中，，
则，
.
同理，中，，，；
中，，则，.
所以截面是五边形的面积为：
，D选项正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分（单位：分）服从正态分布，若，则得分高于50分的人数约为_________．
答案：7500
解析：
解答过程：在正态分布中，，由，得，
所以得分高于50分的人数约为.
13. 勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数，存在质数，满足，我们把区间称为正整数的质数分布区间．现从集合中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有_________种．（用数字作答）
答案：4
解析：
思路：根据给定条件，求出给定集合中各数的质数分布区间内质数个数，再利用列举法求出方案种数.
解答过程：依题意，1的质数分布区间内的质数有两个；2的质数分布区间内的质数有两个；
3的质数分布区间内的质数有两个；4的质数分布区间内的质数有三个；
5的质数分布区间内的质数有两个；6的质数分布区间内的质数有四个，
因此从中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案
有、、、，共4种方案.
故4
14. 函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______．
答案： ①. ②. 8
解析：
思路：双曲线的两条渐近线分别为，，双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角平分线，则利用渐近线与实轴的夹角可得出，从而可得离心率，联立原函数与实轴方程，求出两个顶点坐标，然后计算得出，结合离心率求出焦距.
解答过程：双曲线的一条渐近线为，倾斜角为，另一条渐近线为，倾斜角为，则两条渐近线的夹角为，
双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角平分线，故倾斜角为，即，
设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线与实轴的夹角为，
则，则双曲线离心率；
联立，解得，或，
所以双曲线的顶点为，，
则，即，
则，即焦距为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据作差即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
（1）数列的前项和为，
当时，
当时，
所以，
又当时，也成立，
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
设数列的前项和为，
则
.
16. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数.
（1）求的分布列和数学期望；
（2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值；
答案：（1）分布列为：

（2）解析：
思路：（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望；
（2）应用全概率公式求概率即可；
（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，，
且的所有可能取值为2，3，4，，，，
故的分布列为：
法一：所以的数学期望.
法二：根据超几何分布的期望公式知.
（2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件，
记“下达的动作指令表述模糊”为事件，
记“机器人成功完成指令”为事件.
由已知得，，，，.
因为，
所以.
17. 如图，在三棱锥P-ABC中，为边长为2的正三角形，，．
（1）证明：平面平面．
（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）．
解析：
思路：（1）先利用线面垂直的判定定理得平面，然后利用线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可．
（1）证明：取的中点D，连接，
因为为边长为2的正三角形，所以，
因为，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）过点D作直线，分别以所在直线为x轴，y轴，l为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，），，，，，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，
设直线与平面所成的角为，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18. 已知函数，其中.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，
（i）证明：在区间内有且仅有1个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
答案：（1）的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）利用求导分析正负，即可得到单调区间，注意定义域的限制；
（2）（i）利用二阶导数来判断一阶导数的单调性，再结合零点存在性定理，即可得到证明；
（ii）利用极值点和零点的恒等式，消去参数，再结合切线不等式，化简后问题即可得证.
（1）求导得：，
因为，对任意 ，都有，
所以的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
（2）（i）由（1）知，当时，令 ，
当 时，，
故 在上单调递减，
因为，所以，
又因为，所以在区间内存在零点，
即结合在 上单调递减，
可得在区间内有且仅有1个零点，且；
则当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
又因为，所以根据单调性可知：，
又因为当，，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减，
可知：在区间内有且仅有1个零点，
又因为时，结合在单调递增，所以，
即在区间函数没有零点，
所以在区间内有且仅有1个零点，
（ii）由题意可知：，即，
消可得：，
当时，构造函数，
求导得，则在时单调递增，
即，所以，
即可知，
则，
两边取对数得：，即.
19. 已知点是圆：上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，为线段的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若曲线与轴交于，两点，直线，分别与直线相交于，两点，求的值.
答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：
思路：（1）运用相关点法即可求得动点的轨迹方程；
（2）（ⅰ）设直线的方程并与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据向量数量积的坐标公式化简得，结合求得的，根据函数单调性即可求得的取值范围；（ⅱ）分别求得，的方程，进而求得，，推得，找到与的数量关系，整体代入消元即可求得结果.
（1）设点的坐标为，点的坐标为，
则点的坐标为.
由点是线段的中点，得，
因为点在圆上，所以，.
把，代入方程，
得，即
所以点的轨迹方程为.
（2）（ⅰ）依题意，直线的斜率存在，可设其方程为，
联立，消元得.
由，得，设，，
因为，是方程的两个根，
所以，，
所以
，
因为，所以，
所以的取值范围为；.
（ⅱ）由题意可得，直线的斜率，
①当，分别为椭圆的左顶点、右顶点时，

直线的方程为，
直线的方程为，
令，得，，
即，，
所以.
因为，，
所以，即，
所以.
②当，分别为椭圆的右顶点、左顶点时，
同理可得，故.
零件数（个）
2
3
4
5
加工时间（分钟）
26

49
54
月份
1
2
3
4
5
利润
5
8
10
12
15
零件数（个）
2
3
4
5
加工时间（分钟）
26

49
54
月份
1
2
3
4
5
利润
5
8
10
12
15
2
3
4
2
3
4