2025_2026学年湖南邵东高一下册4月第一次监测数学试题【附答案】

这是一份2025_2026学年湖南邵东高一下册4月第一次监测数学试题【附答案】，共53页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数 z 满足 1+iz=1−i ( i 是虚数单位),则 z= ( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 2
2. 在 △ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 b=23,C=π4,A=5π12 ,则 c= ( )
A. 22 B. 3 C. 32 D. 26

3. 如图， △ABC 斜二测画法的直观图是 △A′B′C′ ， △A′B′C′ 的面积为6，那么 △ABC 的面积为( )
A. 122 B. 242
C. 322 D. 32
4. 若非零向量 m,n 满足 m=2,n=4,m+n=5 ，则 m 在 n 上的投影向量为( )
A. 532m B. 516m C. 532n D. 516n
5. 已知 x,y 为正实数，且 x+y=1 ，则 x+2y+1xy 的最小值为( )
A. 22+1 B. 22−1 C. 26+5 D. 26−5
6. 已知 △ABC 满足 3CA⋅CB+4BA⋅BC=5AB⋅AC ，则 csA 的最小值为( )
A. 35 B. 45 C. 63 D. 33
7. 已知函数 fx=e⋅csπx ,则方程 fx=13 在区间 −3,3 上的实数根个数为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,S 为 △ABC 的面积,且 a2=2S+b−c2 ，则 2sin2B+sin2CsinBsinC 的取值范围为( )
A. 4315,5915 B. 22,4315 C. 22,5915 D. [22,+∞)
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部答对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分)
9. 已知复数 z 满足 2−zi=1−ii2023 ,则( )
A. z 的虚部为1B. z=−1+i C. zz=i D. z2=2i
10. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0 ,方程 fx−t=0 有四个不同解 x1,x2,x3,x4 ,则 x1+x2+x3+x4 的取值范围是_____.
14. 在 △ABC 中, csA=55 ,它的面积是 10,AD=34AB+14AC,E,F 分别在 AB,AC 所在的直线上,且满足 AD−λAB≥DE,AD−μAC≥DF 对任意 λ,μ∈R 恒成立,则 DE⋅DF= _____.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分) 已知复数 z=m21+i−m5+3i+6,m∈R .
(1)若复数 z 为纯虚数，求 m 的值；
(2)若复数 z 在复平面内所对应的点 Z 位于第三象限，求 m 的取值范围.

16. (15 分) 如图, AB 是圆柱的底面直径, AP 是圆柱的母线且 AB=AP=4 ,点 C 是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若 AC=2,D 是 PB 的中点，点 E 在线段 AP 上，求 CE+DE 的最小值.
17. (15 分) 已知锐角 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足 acsB+bcsA=23csin​​C.
(1)求角 C ；
(2)求 sinA+sinB+sinC 的取值范围.
18. (17 分) 已知 fx=ax+bax−ba>0且a≠1 是 R 上的奇函数,且 f2=35 .
(1)求 a,b 的值；
(2)设 Fx=f2xfx . 求 Fx 的解析式，并求其值域；
(3)在(2)的条件下，设 gx=43−22x−1+1 ，把区间 0,2 等分成 2n 份，记等分点的横坐标依次为 xi,i=1,2,⋯,2n−1 ,记 Hn=gx1+gx2+⋯+gx2n−1n∈N∗ ，是否存在正整数 n ,使不等式 Fx≥Hn 有解? 若存在,求出所有 n 的值,若不存在,说明理由.
19. (17分)1637 年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统. 笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴,构成了平面放射坐标系. 如两条数轴上的度量单位相等,则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系,两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系,称为笛卡尔直角坐标系,否则称为笛卡尔斜角坐标系,如图,设 Ox、Oy 是平面内相交成 α0tanπ2−A=csAsinA=34,45tanB∈0,1615,45tanB+35∈35,53 ,
令 cb=t∈35,53 ,则 gt=2t+t 为对勾函数,在 35,2 上单调递减,在 2,53 上单
调递增,则 gtmin=g2=22+2=22 ,又 g35=103+35=5915 ,
g53=65+53=4315 ,因为 5915>4315 ,所以 gtmax=5915 ,
则 2sin2B+sin2CsinBsinC=2bc+cb∈22,5915 . 故选:C

11. A 选项,延长 AG 交 BC 于点 M ,由于点 G 是 △ABC 的重
心,可得 AG=23AM=2312AB+12AC=13AB+13AC ,
所以 AG⋅BC=13AB+AC⋅AC−AB =13AC2−AB2=−203 ,故 A 正确;

B 选项，过 △ABC 的外心 O 分别作 AB,AC 的垂线，垂足为
D,E ,如图,易知点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,
则 AO⋅BC=AO⋅AC−AB=AO⋅AC−AO⋅AB
=AOACcs∠OAE−AOABcs∠OAD
=AEAC−AD∥AB∥=12AC2−12AB2=−10 ，故 B 项错误；
C 选项,因为点 G 是 △ABC 的重心,所以 GA+GB+GC=0 ,
故 OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG+GA+GB+GC=3OG ,
由欧拉线定理可知,重心 G 到外心 O 的距离是重心 G 到垂心 H 距离的一半,
即 OG=12GH ,所以 OH=3OG ,则 OH=OA+OB+OC ,故 C 项正确;
对 D 选项,作 OM⊥BC 于 M ,
则 M 为 BC 中点， AB=6,AC=4,BC=27 ， 由余弦定理可得 csC=16+28−362×4×27=714 ,则 sinC=32114 , 设外接圆半径为 R ,则 2R=csinC=632114=4213 ,

即 OB2=R2=283 ,则 OM2=OB2−BM2=73 ,

则 OB⋅OC=OM+MB⋅OM+MC=OM+MB⋅OM−MB
=OM2−MB2=73−7=−143 ，故 D 项错. 故选: AC
14. 因为 csA=55 ,则 A∈0,π2 ,且 sinA=1−cs2A=255 ,
又因为 △ABC 的面积为 10,则 12bcsinA=12bc×255=10 ,解得 bc=105 , 由图知 AD−xAB 表示直线 AB 上一点到点 D 的向量,
而 AD−xAB 则表示直线 AB 上一点到点 D 的距离,
由 AD−xAB≥DE 对任意 x 恒成立可知, DE 的长是点 D 到直线 AB 上的点的最短距离,
此时 DE⊥AB ,同理可得 DF⊥AC ,则 ∠EDF=π−A ,
可得 cs∠EDF=csπ−A=−csA=−1−sin2A=−55 ,
因为 AD=34AB+14AC ,则 AD−AC=3AB−AD ,可得 CD=3DB ,
由 S△ABD=12c×DE=14S△ABC=52 ，可得 DE=5c ，
由 S△ACD=12b×DF=34S△ABC=152 ,可得 DF=15b ,
所以 DE⋅DF=DE⋅DFcs∠EDF=5c×15b×−55=75105×−55=−32 . 答案: −32 .
15. (1) m=2 . (2) m 的取值范围是(2,3).
16. 116π,16π;225 .
17. (1) C=π3 ；(2) sinA+sinB+sinC 的取值范围为 3+32,332 .
18. 解析: (1) ∵fx 是定义在 R 上的奇函数, f0=1+b1−b=0 ,解得: b=−1 ; 当 b=−1 时, fx=ax−1ax+1 ,则 f−x=a−x−1a−x+1=1−axax1+axax=1−ax1+ax=−fx,fx 为奇函数; ∵f2=a2−1a2+1=35,∴a2=4 ,又 a>0 且 a≠1,∴a=2 ; 综上所述: a=2,b=−1 . (2) 由 (1) 得: fx=2x−12x+1 , Fx=f2xfx=22x−122x+1−22x−122x+1−2x+12x−12x+12x−1=2x+1222x+1=22x+2⋅2x+122x+1=1+2x+122x+1, ∵fx=2x−12x+1≠0,∴x≠0,Fx 定义域为 {x∣x≠0} ,
∴Fx=1+2x+122x+1x≠0∵2x>0,∴Fx=1+22x+12x ,
∵2x+12x≥2 (当且仅当 x=0 时取等号), ∴2x+12x>2 ,
∴0