2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 6
2. 已知等比数列的前项和为，则其公比（ ）
A. B. C. D.
3. 曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知是函数的极小值点，则（ ）
A. B. 0C. D. 或
5. 已知函数在上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
6. 若正项数列的前项和为，且，则（ ）
A. 20B. 100C. 200D. 210
7. 等差数列，的前项和分别记为，，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．）
9. 已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列为递增数列B. 的最大值为
C. D.
10. 关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递减B. 的图象关于直线对称
C. 的最小值为D. 的一个极大值为1
11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A. 在区间上单调递减B. 在区间上单调递减
C. 当时，函数有极小值D. 当时，函数有极小值
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知等比数列的前项和，则___________；
13. 记为数列的前项积，且，则___________；
14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．）
15. 已知等差数列中，，，设是等差数列的前n项和，若数列满足
（1）求数列，通项；
（2）求数列的前n项和．
16. 已知函数．
（1）若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围；
（2）若，且函数有三个零点，求实数的取值范围；
（3）若，过点作函数的切线，求切线方程．
17. 已知数列中，．
（1）求；
（2）设，证明：数列是等比数列；
（3）记，数列的前项和为，求证：．
18. 已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）若，证明.
19. 设函数，．
（1）令，，．
（i）求的表达式；
（ii）当时，恒成立，求的最大值；
（2）求（令，结果用表示）．
数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 6
答案：B
解析：
思路：由导数的概念求解.
解答过程：由已知有，
则.
故选：B
2. 已知等比数列的前项和为，则其公比（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据条件，利用等比数列的通项公式及前项和公式，即可求出结果.
解答过程：设等比数列的公比为，
因为，若，由，得到，不满足，所以，
由，得到①，由，得到②，
由①②得，整理得到，解得，
故选：C.
3. 曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果.
解答过程：令则直线的斜率为
则.
故选：B.
4. 已知是函数的极小值点，则（ ）
A. B. 0C. D. 或
答案：A
解析：
思路：求得，根据是函数的极小值点，求得，得到，进而求得的值，得到答案.
解答过程：由函数，可得，
因为是函数的极小值点，可得，解得或，
当时，，此时函数在上单调递增，不符合题意，舍去；
当时，，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上点单调递减，
所以是函数的极小值点，符合题意，
所以，此时，所以.
故选：A.
5. 已知函数在上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
答案：C
解析：
思路：求出函数的导数，再利用对恒成立求出范围.
解答过程：函数，求导得，
由函数在上单调递增，得，恒成立，
而当时，，即，因此，
所以实数a的最小值为.
故选：C
6. 若正项数列的前项和为，且，则（ ）
A. 20B. 100C. 200D. 210
答案：D
解析：
思路：解法一：由数列的前项和公式与的关系推出，利用等差数列的定义求得数列通项，再由求和公式即得；解法二：通过赋值法求出数列的各项，猜想通项并由条件验证后，再代入求值.
解答过程：解法一：将代入，得，解得.
由，得，两式相减得，
即，所以或.
若，则由，得，与为正项数列矛盾.
故有，则，
则是以1为首项、1为公差的等差数列，故.
则.（另解：将代入中得）
解法二：将代入，得，解得，
当时，，得（由为正项数列取舍），
当时，，得，
故猜想，当时，，满足，
故，，故.
故选：D.
7. 等差数列，的前项和分别记为，，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据下标和性质，结合求和公式求解即可.
解答过程：因为，所以
所以.
故选：D
8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：令，对函数求导，利用的单调性可得答案.
解答过程：设，因为，所以，
对函数求导，得，因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
因此由.
故选：D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．）
9. 已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列为递增数列B. 的最大值为
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式逐项分析判断.
解答过程：在等差数列中，，而，则，
对于A，等差数列的公差d=a8−a7