上海新教材高三物理一轮复习讲义-力学7--机械能守恒定律第3讲　机械能守恒定律及其应用 --教师+学生版

这是一份上海新教材高三物理一轮复习讲义-力学7--机械能守恒定律第3讲　机械能守恒定律及其应用 --教师+学生版，共14页。
1．重力做功的特点
1.1重力做功与路径 无关，只与始、末位置的高度差 有关。 1.2重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力做功与重力势能变化的关系
2.1定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小 ；重力对物体做负功，重力势能增大 。
2.2定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量 ，即WG＝Ep1－Ep2 ＝－ΔEp 。
2.3重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关 。
3．弹性势能
3.1概念：物体由于发生弹性形变 而具有的能。
3.2大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大 ，劲度系数越大 ，弹簧的弹性势能越大。
知识点2 机械能守恒定律
1、机械能守恒定律
1.1．机械能：动能 和势能 统称为机械能，其中势能包括重力势能 和弹性势能 。
1.2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力 做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变 。
(2)守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。
1.3、“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其他力作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。
1.4、机械能守恒定律表达式中v1、v2都是相对同一参照物的速度，h1、h2都是相对同一零势能面的高度，高度差△h=h2–h1与零势能面的选择无关，
自测巩固
1、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。( √ ) (2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。( × )
(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。( √ ) (4)弹力做正功、弹性势能一定增加。( × )
(5)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( × ) (6)物体的速度增大时，其机械能可能减小。( √ )
(7)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。( √ )
(8)做曲线运动的物体机械能可能守恒。(√) (9)物体初、末状态的机械能相等，则物体的机械能守恒。 (×)
2．(多选)关于重力势能，下列说法中正确的是( AB )
A．重力势能是地球与物体所组成的系统共有的
B．重力势能为负值，表示物体的重力势能比在参考平面上具有的重力势能少
C．卫星绕地球做椭圆运动，当由近地点向远地点运动时，其重力势能减小
D．只要物体在水平面以下，其重力势能就为负值
3．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法错误的是( D )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
4．不同质量的两个物体由同一地点以相同的动能竖直向上抛出，不计空气阻力，则这两个物体( C )
A．所能达到的最大高度和最大重力势能都相同 B．所能达到的最大高度和最大重力势能均不同
C．所能达到的最大高度不同，但最大重力势能相同 D．所能达到的最大高度相同，但最大重力势能不同
5．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是(BCD)
A．物体落到海平面时的势能为mgh B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
6、在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出。不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( A )
A．一样大 B．水平抛出的最大 C．斜向上抛出的最大 D．斜向下抛出的最大
7、一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为( C )
A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
[小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝eq \f(mv\\al(2,B),1.8R)，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝eq \f(mv\\al(2,A),R)，根据机械能守恒，有1.6mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，解得F＝4mg，C正确。]
8.如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上．现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是( B )
A．斜劈对小球的弹力不做功 B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒 D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
9．(多选)如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平地面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落， 如此反复过程中弹簧的弹力大小F随时间t的变化关系如图乙所示．不计空气阻力，则(CD )
A．t1时刻小球的速度最大
B．t2时刻小球所受合力为零
C．以地面为零重力势能面，t1和t3时刻小球的机械能相等
D．以地面为零重力势能面，t1至t3时间内小球的机械能先减小后增加
10．水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中．如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0 m，末端到水面的高度h＝1.0 m．取重力加速度g＝10 m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力．则人的落水点到滑梯末端的水平距离为( A )
A．4.0 m B．4.5 m C．5.0 m D．5.5 m
11．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( C )
A．2R B.eq \f(5R,3) C.eq \f(4R,3) D.eq \f(2R,3)
12．质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球eq \f(1,3)处有一个光滑固定转轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置，则(重力加速度为g)( C )
A．小球P在最高位置的速度大小为eq \f(\r(gl),3) B．小球Q在最低位置的速度大小为eq \r(\f(2gl,3))
C．小球P在此过程中机械能增加量为eq \f(4,9)mgL D．小球Q在此过程中机械能减少eq \f(2,3)mgl
核心考点突破
考点1 机械能守恒的判断
1、机械能守恒的判断方法
1.1．用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。
1.2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。
1.3．用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。
1.4．对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
注意：机械能守恒和机械能不变的区别：
只有重力（或弹力）做功，且必须有重力（或弹力）做功的过程中，发生了动能和势能的相互转化，这是机械能守恒和机械能的重要标志．
机械能时时刻刻不变．但没有动能和势能的相互转化，也不能叫机械能守恒。
专题讲练1
1.1机械能的基本概念
1、关于动能的理解，下列说法正确的是（ABC ）（多选）
A．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能 B．物体的动能不可能为负值
C．一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
2、关于重力势能，下列说法中正确的是（D）
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定 B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了 D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
3、关于动能、势能和机械能，正确的说法是（AD）（多选）
A．速度大的物体动能不一定大B．机械能大的物体动能不一定大；
C．质量大的物体重力势能一定大D．形变大的物体弹性势能一定大。
4、一个质量为m的物体，分别做下列运动，其动能在运动过程中一定发生变化的是（C）
A．匀速直线运动 B．匀变速直线运动 C．平抛运动 D．匀速圆周运动
5、下列关于运动物体所受的合外力、外力做功和动能变化的关系中正确的是（A）
A．如果物体受的合外力为零，那么合外力对物体做的功一定为零
B．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零
C．物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化 D．物体的动能不变，所受的合外力一定为零
1.2机械能守恒的判断
1、如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是（ D ）
A．弹簧的弹性势能逐渐减少 B．物体的机械能不变
C．弹簧的弹性势能先增加后减少 D．弹簧的弹性势能先减少后增加
2、木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度如图所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是（ D）
A．子弹的机械能守恒 B．木块的机械能守恒
C．子弹和木块总机械能守恒 D．子弹和木块上摆过程中机械能守恒
3.(多选)长征途中,为了突破敌方关隘,战士爬上陡峭的山头,居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h,在空中的运动可视为平抛运动,轨迹如图所示,重力加速度为g。下列说法正确的有( BC )
A.甲在空中的运动时间比乙的长 B.两手榴弹在落地前瞬间,重力的功率相等
C.从投出到落地,每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D.从投出到落地,每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
4．(多选)如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中。在下列依次进行的过程中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统机械能守恒的是(BCD)
A．子弹射入物块B的过程 B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达到最大的过程
C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程
D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达到最大的过程
5、如图所示，一个小球套在固定的倾斜光滑杆上，一根轻质弹簧的一端悬挂于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内。现将小球沿杆拉到与O点等高的位置由静止释放，小球沿杆下滑，当弹簧处于竖直位置时，小球速度恰好为零，若弹簧始终处于伸长状态且在弹性限度内，在小球下滑过程中，下列说法正确的是( C )
A．弹簧的弹性势能一直增加 B．小球的机械能保持不变
C．重力做功的功率先增大后减小 D．当弹簧与杆垂直时，小球的动能最大
6、(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( BC )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
图（a）
图（b）

7、图（a）中弹丸以一定的初始速度在光滑碗内做复杂的曲线运动，图（b）中的运动员在蹦床上越跳越高。下列说法中正确的 （BC）（多选）
A．图（a）弹丸在上升的过程中，机械能逐渐增大
B．图（a）弹丸在上升的过程中，机械能保持不变
C．图（b）中的运动员多次跳跃后，机械能增大
D．图（b）中的运动员多次跳跃后，机械能不变
8、如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是( C )
A．小球的动能一直减小 B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功 D．最大弹性势能等于小球减少的动能
9、如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中（ AD ）（多选）
A．重物重力势能减小B．重物重力势能与动能之和增大
C．重物的机械能不变D．重物的机械能减少
10、a、b、c三球自同一高度以相同速率抛出，a球竖直上抛，b球水平抛出，c球竖直下抛。设三球落地的速率分别为va、vb、vc，则( D )
A. va > vb > vc B. va ＝ vb > vc C. va > vb ＝vc D. va ＝ vb ＝vc
11、如图所示，重为100N的物块在倾角30°的光滑斜面上的a点静止下滑，在b点接触到一根轻弹簧，物块把弹簧压缩到c点又被弹簧弹回，从b点脱离弹簧，最后又回到a点。已知ab＝1m，bc＝0.2m，那么下列说法中，正确的是（ CD ）
A．整个过程中物块动能的最大值为50J B．整个过程中弹簧弹性势能的最大值大于60J
C．从c到b弹簧的弹力对物块做功60J D．整个过程中弹簧、物块与地球组成的系统机械能守恒
12、如图所示,固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球,小球与一轻质弹簧一端相连,弹簧的另一端固定在地面上的A点,已知杆与水平面之间的夹角θv1，所以只要mgH＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，即可满足题意。 解得H＝7.2 m。 [答案] (1)5 m/s (2)333.3 N (3)7.2 m
11、如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和eq \f(1,6)圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直．轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G点与竖直墙面的距离d＝eq \r(3)R.现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放．小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力．
(1)若释放处高度h＝h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vC；
(2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
答案 见解析
解析 (1)从A到C，小球的机械能守恒，有 mgh0＝eq \f(1,2)mvC2 可得vC＝eq \r(2gh0)
(2)小球从A到D，由机械能守恒定律有 mg(h－R)＝eq \f(1,2)mvD2
根据牛顿第二定律有FN＝eq \f(mvD2,R) 联立可得FN＝2mg(eq \f(h,R)－1) 满足的条件h≥R
(3)第1种情况：不滑离轨道原路返回，由机械能守恒定律可知，此时h需满足的条件是 h≤R＋3Rsin θ＝eq \f(5,2)R
第2种情况：小球与墙面垂直碰撞后原路返回，小球与墙面碰撞后，进入G前做平抛运动，则
vxt＝vxeq \f(vy,g)＝d，其中vx＝vGsin θ，vy＝vGcs θ 故有vGsin θ·eq \f(vGcs θ,g)＝d 可得vG＝2eq \r(gR)
由机械能守恒定律有mg(h－eq \f(5,2)R)＝eq \f(1,2)mvG2 可得h＝eq \f(9,2)R.
12、如图所示，某一弹射游戏装置由弹性竖直挡板P、长度L=1 m的水平直轨道AB、半径R=0.8 m的竖直半圆轨道BCD和半径r=0.1 m的竖直半圆管道DEF组成，轨道各部分平滑连接，已知小球质量m=0. 01 kg，小球直径略小于管道DEF直径，小球与AB间的动摩擦因数μ=0.5，其余各部分轨道均光滑，小球与P的碰撞无机械能损失，某次小球从P处向右弹出时的初动能为Ek0 =0. 17 J（g取10m/s2）。求：(1)求小球第一次运动到B点时对圆轨道的压力大小；
(2)若要小球能从F点射出，求Ek0的最小值；
(3)若r=2.0 m，小球能两次进入DEF轨道，求Ek0的范围。
考点3 多物体机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的三点注意
1.1、对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
1.2、注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
1.3、列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情境的分析
2.1、速率相等情境：用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
2.2、角速度相等情境：杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
2.3、关联速度情境：两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
3、轻绳连接的物体系统（“轻绳”模型）
3.1、模型构建 ：轻绳两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕滑轮滑动或光滑凸面，该系统即为机械能守恒中的轻绳模型．
3.2、、模型条件 = 1 \* GB3 ①忽略空气阻力和各种摩擦． = 2 \* GB3 ②两物体沿绳方向上的速度大小一定相等．
3.3、模型特点
3.3.1单个物体的机械能不守恒，系统的机械能守恒．
3.3.2列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
3.4．常见情景

3.5．三点提醒
3.5.1分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
3.5.2用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
3.5.3对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
4、 轻杆连接的物体系统（“轻杆”模型）
4.1、模型构建 ：
轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．
4.2、模型条件 ： = 1 \* GB3 ①忽略空气阻力和各种摩擦． = 2 \* GB3 ②平动时两物体沿杆方向的速度相等，转动时两物体角速度相等。
4.3、模型特点
4.3.1杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
4.3.2对于杆和球组成的系统，没有其他形式的能参与转化，因此系统的总机械能守恒．
4.3.3列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
4.4．常见情景
4.5．三大特点
4.5.1平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
4.5.2杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
4.5.3对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
专题讲练3
3.1、轻绳连接的物体系统（“轻绳”模型）
1、如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm。
审题指导：
[解析] (1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零。
由牛顿第二定律得4mgsin α－2mg＝0，则 sin α＝eq \f(1,2)，α＝30°。
(2)由题意可知，mg＝kΔx，B球上升的高度x＝2Δx＝eq \f(2mg,k)。A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A、B、C三小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得
4mgxsin α－mgx＝eq \f(1,2)(5m)veq \\al(2,m) 联立化简得vm＝2geq \r(\f(m,5k))。 [答案] (1)30° (2)2geq \r(\f(m,5k))
求解多物体机械能守恒的两点注意
(1)多个物体组成的系统在没有机械能和内能间的相互转化时，系统的机械能守恒，单个物体的机械能不守恒，机械能在物体间可以转移，总量保持不变。
(2)对系统的机械能守恒问题，一般列等式ΔEk＝－ΔEp。
2、如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( C ) A．2R B．eq \f(5R,3) C．eq \f(4R,3) D．eq \f(2R,3)
3、(多选)如图所示，倾角为30°、高为L的固定斜面底端与水平面平滑相连，质量分别为3m、m的两个小球A、B用一根长为L的轻绳连接，A球置于斜面顶端。现由静止释放A、B两球，B球与弧形挡板碰撞过程时间极短，无机械能损失，且碰后只能沿斜面下滑，两球最终均滑到水平面上。已知重力加速度为g，不计一切摩擦，则( ABD )
A．A球刚滑至水平面上时的速度大小为eq \f(\r(5gL),2)
B．B球刚滑至水平面上时的速度大小为eq \f(3,2)eq \r(gL)
C．两小球在水平面上不可能相撞
D．在A球沿斜面下滑的过程中，轻绳对B球先做正功，后不做功
4、如图所示，左侧为一个固定在水平桌面上的半径为R的半球形碗，碗口直径AB水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑；右侧是一个足够长的固定光滑斜面。一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及斜面顶端的光滑定滑轮，细绳两端分别系有可视为质点的小球m1和物块m2，且m1＞m2。开始时m1恰在A点，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接m1、m2的细绳与斜面平行且恰好伸直。当m1由静止释放运动到圆心O的正下方C点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。则下列说法中正确的是（A ）
A．在m1从A点运动到C点的过程中，m1的机械能一直减少
B．当m1运动到C点时，m1的速率是m2速率的2倍
C．细绳断开后，m1能沿碗面上升到B点
D．m1最终将会停在C点
5、如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为（B）
A．h B．1.5h C．2h D．2.5h
6、(多选)如图所示,直角边长为R的光滑等腰直角三角形和半径为R的光滑圆柱的一部分无缝相接,质量分别为2m和m的物体A和小球B通过一根不可伸长的细线相连,小球B恰好位于桌面上。小球B可视为质点,若从静止释放小球B,当其运动到圆柱顶点时,则( BC )
A.物体A的速度大小为23gR B.物体A的速度大小为gR(π+2)3
C.绳的拉力对物体B所做的功为mgR(π+8)6 D.绳的拉力对物体B所做的功为23mgR
解析以A、B和绳为研究对象,由机械能守恒得12(2m+m)v2=2mg·2πR8+R-mgR,解得v=gR(π+2)3,B正确,A错误;以B为研究对象,根据动能定理得W-mgR=12mv2,解得W=mgR(π+8)6,C正确,D错误。
7、(多选)如图所示,滑块A、B的质量均为m,A套在固定倾斜直杆上,倾斜杆与水平面成45°,B套在固定水平的直杆上,两杆分离不接触,两直杆间的距离忽略不计且两杆足够长,A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆(初始时轻杆与平面成30°)连接,A、B从静止释放,B开始沿水平面向右运动,不计一切摩擦,滑块A、B视为质点,在运动的过程中,下列说法正确的是( AD )
A.A、B组成的系统机械能守恒
B.当A到达与B同一水平面时,A的速度为gL
C.B滑块到达最右端时,A的速度为2gL
D.B滑块最大速度为3gL
解析因不计一切摩擦,故系统机械能守恒,A正确;设A的速度为vA、B的速度为vB,当A到达与B同一水平面时,对A、B速度进行分解,根据沿杆方向速度相等有vB=vAcs 45°=22vA,根据系统机械能守恒有mgL2=12mvA2+12mvB2,解得vA=23gL,B错误;B滑块到达最右端时,B的速度为零,根据系统机械能守恒有mgL1+22=12mvA'2,解得vA'=(1+2)gL,C错误;当A滑到最低点时,速度为零,B的速度最大,根据系统机械能守恒有32mgL=12mvB'2,解得vB'=3gL,D正确。
8.(多选)如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m.与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为d＝3 m，定滑轮大小及质量可忽略．现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)( AD )
A．A、C间距离为4 m
B．小环最终静止在C点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1
解析 小环运动到C点时，对系统，由机械能守恒得：mgLAC＝Mg(eq \r(d2＋LAC2)－d)，解得：LAC＝4 m，故A正确；假设小环最终静止在C点，则绳中的拉力大小等于2mg，在C点对小环有：FT＝eq \f(mg,sin 53°)＝eq \f(5,4)mg≠2mg，所以假设不成立，小环不能静止，故B错误；由机械能守恒定律可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能和小环增加的动能，故C错误；将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即为物块的速度vM＝vmcs 60°，又有M＝2m，可知小环与物块的动能之比为2∶1，故D正确．
9、质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8 m，如图所示．若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动．(斜面足够长，物体A着地后不反弹，g取10 m/s2)求：
(1)物体A着地时的速度大小；
(2)物体A着地后物体B继续沿斜面上滑的最大距离．
答案 (1)2 m/s (2)0.4 m
解析 (1)以地面为参考平面， A、B系统机械能守恒，
根据机械能守恒定律有mgh＝mghsin 30°＋eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2 因为vA＝vB， 所以vA＝vB＝2 m/s.
(2)A着地后，B机械能守恒， 则B上升到最大高度过程中， 有eq \f(1,2)mvB2＝mgΔssin 30° 解得Δs＝0.4 m.
10、一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：
（1）A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；
（2）A球沿圆柱内表面运动的最大位移．
【答案】（1）2eq \r(\f(2－\r(2),5)gR)（2）eq \r(3)R
【解析】（1）设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据机械能守恒定律有2mgR－eq \r(2)mgR＝eq \f(1,2)×2mv2＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
由图甲可知，A球的速度v与B球的速度vB的关系为vB＝v1＝vcs 45°
联立解得v＝2eq \r(\f(2－\r(2),5)gR)
（2）当A球的速度为零时，A球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由几何关系可知A球下降的高度h＝eq \f(x,2R)eq \r(4R2－x2)
根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0
解得x＝eq \r(3)R
3.2轻杆连接的物体系统（“轻杆”模型）
1、如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是( C )
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒 B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为eq \r(2＋\r(2)gl) D．a球的最大速度为eq \r(\r(2)gl)
[a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcs θ＝vasin θ，则vb＝vatan θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)l＋l))＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,b)，解得vb＝eq \r(2＋\r(2)gl)，C正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，由运动的关联可知
此时b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·eq \f(\r(2),2)l＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，解得va＝eq \r(\r(2)gl)，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D错误。]
2、(多选)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置。由静止释放，则( BC )
A．A球的最大速度为2eq \r(gl) B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球的速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
D．A、B两球的最大速度之比vA︰vB＝3︰1
[解析] 由机械能守恒可知，两球总重力势能最小时，动能最大，B正确；根据题意知两球的角速度相同，线速度之比vA︰vB＝2l︰l＝2︰1，D错误；当OA与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒得mg·2lcsθ－2mg·l(1－sinθ)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)·2mveq \\al(2,B)，解得veq \\al(2,A)＝eq \f(8,3)gl(sinθ＋csθ)－eq \f(8,3)gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sinθ＋csθ有最大值，最大值vA＝eq \r(\r(2)－1\f(8,3)gl)，A错误，C正确。
3、如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是 （ BCD）（多选）
A．A球到达最低点时速度为零 B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
4、如右图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m．两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是 （BD）（多选）
A．下滑的整个过程中A球机械能守恒
B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒
C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s
D．下滑的整个过程中B球机械能的增加量为23 J
5如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的eq \f(1,4)圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，小球可视为质点，开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g，下列说法正确的是( D )
A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．b球下滑过程中机械能保持不变
C．a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为eq \r(2gR)
D．从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为eq \f(1,2)mgR
解析 对于单个小球来说，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A、B错误；两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有mgR＋mg(2R)＝eq \f(1,2)·2mv2，解得v＝eq \r(3gR)，选项C错误；a球在滑落过程中，杆对小球做功，重力对小球做功，故根据动能定理可得W＋mgR＝eq \f(1,2)mv2，联立v＝eq \r(3gR)，解得W＝eq \f(1,2)mgR，故D正确．
6、质量分别为m和M（其中M＝2m）的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点O处有一个固定转轴，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是（BC）（多选）
A．Q球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒
B．P球的重力势能、动能都增加，P球和地球组成的系统机械能不守恒
C．P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒
D．P球、Q球和地球组成的系统机械能不守恒
7、质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：
（1）小球P的速度大小； （2）在此过程中小球P机械能的变化量．
【答案】（1）eq \f(\r(2gL),3)（2）增加eq \f(4,9)mgL
【解析】（1）两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v。由机械能守恒定律得2mg·eq \f(2,3)L－mg·eq \f(1,3)L＝eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)·2m·（2v）2，解得v＝eq \f(\r(2gL),3)
（2）小球P机械能增加量为ΔE，ΔE＝mg·eq \f(1,3)L＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(4,9)mgL
8、如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动．在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R.在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物．重物由静止下落，带动鼓形轮转动．重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g.求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h.
答案 (1)2ωR (2)eq \r(2mω2R2＋mg2) (3)eq \f(M＋16m,2Mg)(ωR)2
解析 (1)重物落地后，小球线速度大小v＝ωr＝2ωR
(2)向心力Fn＝2mω2R 设F与水平方向的夹角为α，则 Fcs α＝Fn Fsin α＝mg 解得F＝eq \r(2mω2R2＋mg2)
(3)落地时，重物的速度v′＝ωR 由机械能守恒定律得eq \f(1,2)Mv′2＋4×eq \f(1,2)mv2＝Mgh 解得h＝eq \f(M＋16m,2Mg)(ωR)2.
9、如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下．求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功?
错解：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆对A、B两球均不做功．
分析纠错：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为VA和VB．如果把
轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力
做功总和等于零，故系统机械能守恒．若取B的最低点为零重力势能参考平面，
可得：又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同，故
由以上二式得：．
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功．对于A有：，所以
对于B有，所以．
考点4 与弹簧相关的机械能守恒问题
弹簧系统的机械能守恒问题，是高考的热点。由于弹性势能公式Ep＝eq \f(1,2)kx2不作要求，因此命题只做定性考查，注意两个常见的命题角度：
1．同一运动过程中，弹簧的压缩量与伸长量相同时，两个位置的弹性势能相同。
2．两个运动过程中，弹簧的形变量相同时，两个过程的弹性势能变化量相同。
专题讲练4
1、如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h.若将小球A换为质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为（重力加速度为g，不计空气阻力）（B）
A．eq \r(2gh)B．eq \r(gh)C．eq \r(\f(gh,2))D．0
A
B
O
2、如图所示．A、B两球的质量相同，A球系在不可伸长的绳上，B球固定在轻质弹簧上，把两球都拉到水平位置（绳和弹簧均拉直且为原长），然后释放．当小球通过悬点O正下方的C点时，弹簧和绳子等长，则此时（ D ）
A．A、B两球的动能相等
B．A球重力势能的减少量大于B球重力势能的减少量
C．A球所在系统的机械能大于B球所在系统的机械能 D．A球的速度大于B球的速度 3、(多选)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑定滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，与C相连的绳子与斜面平行伸直且恰好无拉力，与A相连的绳子竖直。B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C开始沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B刚好离开地面。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，滑轮质量不计，则在上述过程中( BC )
A．A、B、C三物块组成的系统机械能守恒 B．C的质量mC大于m
C．C的速度最大时，A加速度为零 D．C的速度最大时，弹簧恰好恢复原长
[解析] 由于A、B、C和弹簧组成的系统的机械能守恒，而弹簧先恢复原长再伸长，弹性势能先减小后增加，故A、B、C组成的系统的机械能先变大后变小，故A错误；A与C通过轻绳相连，速度大小一直相等，故加速度大小相等，设斜面倾角为α，刚释放C时，对C有mCgsinα－T＝mCa，对A有T′－mg＝ma，T＝T′，联立可得(mCsinα－m)g＝(mC＋m)a>0，则有mCsinα－m>0，即mCsinα>m，故mC>m，故B正确；当C的速度最大时，C受合力为零，因为A、C通过轻绳相连，故此时A的速度也是最大，加速度也为零，故C正确；当C速度最大时，有T1－mCgsinα＝0，T′1－mg＋F弹＝0，T1＝T′1，即mCgsinα－mg＋F弹＝0，因为mCsinα>m，所以F弹为负值，方向向下，故当C的速度最大时，弹簧不是恢复到原长的状态，故D错误。
4、(多选)如图所示,质量为m0的物块A放置在光滑水平桌面上,右侧连接一固定于墙面的水平轻绳,左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端,当弹簧处于原长时,将B由静止释放,当B下降到最低点时(未着地),A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长,弹簧始终在弹性限度内,物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是( ACD )
A.m0