专题01 相交线与平行线（暑假复习讲义）-2026年七年级升八年级暑期数学（人教版）讲义（含答案）

这是一份专题01 相交线与平行线（暑假复习讲义）-2026年七年级升八年级暑期数学（人教版）讲义（含答案），共6页。学案主要包含了对顶角与邻补角，垂线及其核心性质，三线八角识别，平行公理及推论，平行线的判定，平行线的性质，平行线的性质与判定重难点区分，必考几何模型-平行线拐点模型等内容，欢迎下载使用。
01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1 对顶角、邻补角角度计算
题型2 垂线与点到直线的距离辨析题
题型3 三线八角识别题
题型4 命题真假判断与改写题
题型5 平移性质辨析与简单计算题
题型6 平行线判定证明题（角推平行）
题型7 平行线性质计算题（平行推角）
题型8 平行线判定与性质综合大题
题型9 网格平移作图题
题型10 平行线拐点模型（必考压轴）
题型11 三角板+直尺组合动态角度题
题型12 平移动态探究题
04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
知识点一 对顶角与邻补角（必考基础）
对顶角：两条直线相交形成，两边互为反向延长线。核心性质：对顶角相等。
邻补角：两条直线相交形成，有一条公共边，另一边互为反向延长线。核心性质：邻补角互补，和为180°。
关键结论：两条直线相交，有2对对顶角，4对邻补角；常结合角平分线、垂直进行角度计算。
【易错提醒】
不要误认为两条直线相交有4对对顶角、2对邻补角；邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角（无公共边、不相邻）。
即时即练如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
知识点二 垂线及其核心性质
垂直定义：两条直线相交，若夹角为90°，则两直线互相垂直，属于特殊的相交。
两大核心性质：
① 过一点（直线上/直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直；
② 垂线段最短（生活最短路径问题必考）。
易错重点：点到直线的距离 = 直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：距离是长度，不是线段本身）。
【易错警示】
考试填空、判断高频扣分！垂线段是图形，距离是数值，二者绝对不能等同；过直线上的点无“点到直线的距离”说法。
即时即练如图，直角三角形中，，，，则点A到的距离为（ ）
A．B．6C．8D．10
知识点三 三线八角识别（几何入门核心）
两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角，三类角识别口诀：
同位角：F型，截线同侧，被截两直线同一方向；
内错角：Z型，截线两侧，被截两直线之间；
同旁内角：U型，截线同侧，被截两直线之间。
注意：三类角仅反映位置关系，无固定数量关系，只有两直线平行时，才存在相等或互补关系。
【易错警示】
切勿看到同位角、内错角就默认相等，看到同旁内角就默认互补；只有满足“两直线平行”前提，才有数量关系，不平行仅为位置关系。复杂图形易找错截线和被截线，需先锁定截线再判角。
即时即练如图，下列说法正确的是（ ）
A．和互为内错角B．的同位角只有
C．和互补D．和互补
知识点四 平行公理及推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线传递性，用于证明两直线平行）。
【易错警示】
平行公理仅限直线外一点，直线上一点无法作已知直线的平行线；垂直的传递性不成立，垂直于同一直线的两条直线不一定垂直，而是互相平行。
即时即练有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
知识点五 平行线的判定（由角证平行）
核心逻辑：角的数量关系 → 直线位置平行
1. 同位角相等，两直线平行；
2. 内错角相等，两直线平行；
3. 同旁内角互补，两直线平行。
【易错警示】
判定定理必须严格对应条件，同旁内角是互补（和为180°），不是相等；证明平行必须写全角的关系，不能跳过条件直接得出平行结论。
即时即练如图，直线、交于点平分，且
(1)求的度数；
(2)若平分，且，试说明的理由．
知识点六 平行线的性质（由平行推角）
核心逻辑：直线平行 → 角的数量关系
1. 两直线平行，同位角相等；
2. 两直线平行，内错角相等；
3. 两直线平行，同旁内角互补。
【易错警示】
性质定理前提是已知两直线平行，无平行前提，所有角的数量关系均不成立；做题切勿因果倒置。
即时即练已知：如图，平分交于点，．求证：．
知识点七 平行线的性质与判定重难点区分（高频易错）
重难点区分（高频易错）
判定：已知角相等/互补，证明两直线平行（证位置）；
性质：已知两直线平行，推导角相等/互补（得数量）；
考试严禁混用逻辑，是几何证明核心扣分点。
【易错警示】
核心重灾区！判定是“角→平行”，性质是“平行→角”，证明过程因果颠倒直接扣分；大题书写必须分清已知条件和推导结论。
即时即练推理填空，将下面的推论过程及依据补充完整：
已知：如图，，，试说明：．
解：因为，（已知）
所以（① ）．（② ）．
又因为，（③ ）
所以④ ⑤ ．（等量代换）
所以．（⑥ ）
知识点八 必考几何模型-平行线拐点模型
平行线拐点模型：折线、拐角题型通用解法——过拐点作已知直线的平行线，拆分复杂角，转化为同位角、内错角、同旁内角求解，适配所有拐点角度计算、证明题。
图1 图2 图3
模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；
②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN；
模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2；
模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。
证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
【易错警示】
拐点题型必须主动作辅助线，不做辅助线无法解题；容易漏角、错算角度和差，需逐一拆分拐角两角再计算。
即时即练如图1是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图2是抽象出来的外部轮廓图，，．
(1)若，则的度数为多少？
(2)若，求的值．
知识点九 命题、定理重点知识
1. 命题定义与结构
判断一件事情的语句，叫做命题，由题设（条件）和结论两部分组成，均可改写为“如果……那么……”的句式。
【易错警示】
疑问句、感叹句、描述性语句不是命题；改写命题时，不能遗漏、篡改原有条件，题设和结论拆分要精准。
2. 命题分类
真命题：题设成立，结论一定成立（公理、定理均为真命题）；
假命题：题设成立，结论不一定成立，可通过举反例证明。
公理&定理：公理是无需证明的基本事实；定理是经过推理证明正确的真命题，可直接用于几何证明。
【易错警示】
真命题不一定是定理，只有经过证明且可用于推理的真命题才是定理；假命题只需举出一个反例即可推翻，无需复杂证明。
即时即练下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
知识点十 平移重点知识
1. 平移定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的形状、大小不变，仅位置改变。
【易错警示】
平移只改变位置，形状、大小、周长、面积均不改变；旋转、翻折不属于平移，切勿混淆几何变换类型。
2. 平移核心性质（必考）
1. 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；
2. 对应点所连线段平行（或共线）且相等；
3. 平移前后图形的周长、面积保持不变。
【易错警示】
极易忽略共线特殊情况，判断题常以此设陷阱；对应点连线不是图形的对应线段，二者概念不可混淆。
3. 常考应用
网格平移作图、平移后边长与面积计算、结合生活场景的平移现象判断，为后续平面直角坐标系平移知识点铺垫基础。
【易错警示】
平移作图需同时找准方向和距离，缺一不可；网格平移容易数错格子数，导致作图、计算出错。
即时即练如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（ ）
A．B．C．D．
题型1 对顶角、邻补角角度计算
例1．如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【技巧总结】
利用对顶角相等、邻补角和为180°、垂直为90°三个基础条件列式计算。
【变式训练1-1】如图：直线，相交于点O，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-2】如图，直线与相交于点O，平分．
(1)的对顶角是_________，的邻补角是_________；
(2)如果，求的度数；
(3)若平分，与垂直吗？请说明理由．
题型2 垂线与点到直线的距离辨析题
例1．如图，直线与相交于点，平分，，，求的度数．
【技巧总结】
记垂线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度（数值），不是线段。
【变式训练2-1】如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式训练2-2】如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点）
操作：
(1)找出格点，画出的平行线；
(2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个；
(3)找出格点E，画的垂线，垂足为H
(4)线段____________的长是点C到直线的距离．
题型3 三线八角识别题
例1．如图，下列结论错误的是（ ）
A．与是同位角B．与是内错角
C．与是同位角D．与是同旁内角
【技巧总结】
先找截线，再找两条被截直线，结合F、Z、U模型快速判断，只看位置不看大小。
【变式训练3-1】如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（ ）
A．和是同旁内角
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式训练3-2】【阅读理解】
（1）本学期第五章学习了《平行线的判定》，认识了同位角，内错角、同旁内角及它们的定义，学会了平行线的三个判定方法．
判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：同位角相等，两直线平行．
判定方法二：内错角相等，两直线平行；
判定方法三：同旁内角互补，两直线平行．
（2）如图（1），请你找出一对同位角是________；一对内错角是________；一对同旁内角是______．（说明：以上填空只找出一对即可）

【新知学习】
（3）如图（2），我们把与叫作外错角，请结合学习的同位角、内错角、同旁内角定义，给外错角下个定义：___________；
（4）在图（1）中找出另一对外错角是（ ）
A．与与与 D．与
（5）请你结合图（2），证明命题：“外错角相等，两直线平行”，如图（2），已知：直线，被所截，，求证：．
证明：
题型4 命题真假判断与改写题
例1．下列命题中：①内错角相等；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④立方根等于本身的数有0和1；⑤过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有________．（填序号）
【技巧总结】
如果+题设条件，那么+结论；假命题只需举出1个反例即可。
【变式训练4-1】下列命题中，真命题的个数有（ ）
①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练4-2】下列命题中，不正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
C．垂直于同一直线的两条直线垂直
D．平行于同一直线的两条直线平行
题型5 平移性质辨析与简单计算题
例1．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____．
【技巧总结】
平移只变位置，不变形状、大小、角度、周长、面积；对应点连线平行或共线且相等。
【变式训练5-1】如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-2】如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为_____．
题型6 平行线判定证明题（角推平行）
例1．如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
【技巧总结】
解题核心思路：通过已知条件转化出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，进而证平行。
解题步骤模板：找已知角关系→等量代换/角平分线推导→得出三类角关系→判定直线平行。
【变式训练6-1】将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练6-2】如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若与互余，求证：．
题型7 平行线性质计算题（平行推角）
例1．如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，．
(1)求证：．
(2)若平分，，求的度数．
【技巧总结】
先由平行得角相等/互补，再结合基础角度性质计算。
【变式训练7-1】如图，已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式训练7-2】如图，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
题型8 平行线判定与性质综合大题
例1．如图，与相交于点E，，，，求证：．
【技巧总结】
角关系→证平行→新角关系，先判定、后性质，逻辑层层递进。
【变式训练8-1】如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练8-2】如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，．
(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）．
题型9 网格平移作图题
例1．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上．
(1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形；
(2)连接、，这两条线段的关系是______；
(3)连接、，则三角形的面积是______．
【技巧总结】
定点平移（找关键点）→按方向和格数移动→顺次连接端点。
【变式训练9-1】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．
(1)找一格点，使得直线，画出直线；
(2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足；
(3)找一格点，使得直线，画出直线；
(4)线段___________线段；（填“>”“