湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．
4．已知函数若，则的值为（ ）
A．1B．或2C．1或2D．2
5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和无法确定B．和无法确定
C．和D．和
7．已知函数（且）是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．，B．若，则
C．若，则D．若，，，则
11．已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间上的最大值是6
D．不等式的解集为
三、填空题
12．已知，，则 （用，表示）．
13．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝ .
14．对于任意实数，，定义已知实数，均大于0，令，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知全集，集合，.
(1)当时，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．已知命题，，命题，．
(1)若为假命题，求实数的取值范围；
(2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
17．2023年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建成较为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.
(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶，高速上行驶.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
18．已知函数，．
(1)判断并用定义证明函数在区间上的单调性；
(2)若，在区间上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在实数，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围．
19．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，．
(1)判断函数是否具有“-互倒性”，并说明理由；
(2)当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值；
(3)当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：．
参考答案
1．B
【详解】因为，，
所以，则.
故选：B
2．C
【详解】原命题为：，.
在逻辑中，全称量词的否定等价于存在量词，且否定结论.
因此，原命题的否定为：，.
故选：C
3．B
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以1是方程的解，所以，解得，
所以不等式可化为，
解得，或，
所以不等式的解集为.
故选：B.
4．D
【详解】当时，由，得，解得，不满足，舍去；
当时，由，得，解得或（舍去）；
当时，由，得，解得，不满足，舍去；
综上所述：的值为2.
故选：D
5．A
【详解】对于B选项：，定义域为：，
因为，不满足图像，B错误；
对于C选项：，定义域为：，
因为，不满足图像，C错误；
对于D选项：，定义域为：，
因为，不满足图像，D错误；
故选：A.
6．D
【详解】因为函数的定义域和值域都是，令，解得，
所以函数的定义域为，由的值域得的值域为．
故选：D.
7．C
【详解】因为时，二次函开口向上，则要使整个函数单调，则函数在上单调递减，
则分段函数在上单调递减，
则有 解得.
故选：C.
8．A
【详解】因为的值域为，
所以函数与轴有交点，即方程有实根，
所以，解得或①；
因为函数在区间单调递增，
且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正，
所以，解得②，
由①②可得，所以实数的取值范围是.
故选：A.
9．AC
【详解】项，因为，所以为单调递减函数，由得，故正确；
项，因为，所以为单调递减函数，由，得，故错误；项，因为 ， ，所以，所以，故正确；
项，取，则，故错误.
故选：.
10．BD
【详解】当时，为负数，所以A不正确；
若，则，考虑函数在R上单调递增，
所以，即，所以B正确；
若，则，，所以C不正确；
若，，，根据基本不等式有
所以D正确.
故选：BD
11．ABD
【详解】对于A：令，则，解得，A正确；
对于B：
，B正确；
对于C：，且，则，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以在单调递减，在上最大值为，
因为，且，
所以，C错误；
对于D：由得，
因为，
所以，因为是减函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为.D正确；
故选：ABD.
12．
【详解】.
故答案为：
13．2x－－ (x≠0)
【详解】已知，①
以代替①式中的，得
，②
①②得
故
14．
【详解】由题意可知，，
由不等式性质可知
因为，
令，，则，
因为，所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当，时，
即时，等号成立，所以的最大值为.
故答案为：
15．(1)或
(2)
【详解】（1）因为，当时，，
因为全集，则或，或，
因此，或.
（2）易知集合为非空集合，
因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
16．(1)
(2)
【详解】（1）若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足；
若，则，解得，
所以实数的取值范围为，
所以当为假命题时，实数的取值范围为.
（2）若命题为真，即，，
令，则，不等式变为，即，
设，
的图象开口向下，对称轴为，在单调递减，
所以，所以，
即命题为真时，实数的取值范围为.
若真假，则，解得；
若假真，则或，解得
综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为.
17．(1)选①，；
(2)在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为，.
【详解】（1）对于③，，当时，它无意义，不符合题意；
对于②，，当时，，又，
所以，不符合原意；
因此选①，.
由表中的数据得，，解得，
所以.
（2）高速上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
显然函数在上单调递增，
于是；
国道上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
而，则当时，.
所以当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，
该车从宜宾行驶到重庆某地的总耗电量最少，最少为.
18．(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下：
，且，
则，
因为，所以，因为，所以，，
所以，即，
所以在区间上单调递增.
（2）由，在区间上恒成立，可得，
整理得，令，则，
则不等式变为：，即，
因为，且在恒成立，令，
则开口向上，且在和时函数值非正，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）由（1）知，在单调递增，
若函数在区间上的值域是，则，
即方程有两个不等的正实根，
令，则方程变为：，即，
此方程有两个大于的不等实根，设为，
则，，解得或；
又，且，解得，
所以实数的取值范围.
19．(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）函数定义域为，对，
,
若，则，
整理得：，
若函数具有“-互倒性”，则方程中各项系数为，则，解得，
即存在，使函数具有“-互倒性”.
（2）当时，,
函数与的图象恰有一个交点，即方程有且仅有一个解，
令，则，，方程变为：，
即，令，
对，由均值不等式，当且仅当，即时取等号，
对，当时其最小值为，
所以当时，取得最小值，
因为方程有且仅有一个解，所以.
（3）当时，，
设是的两个零点，则①，
②，
①②得，
整理得
假设，则，所以，
又，所以，而与同号，
所以与同号，
与矛盾，0
10
40
60
0
1420
4480
6720