湖南师范大学附属中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题解析版

这是一份湖南师范大学附属中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题解析版，共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集.集合.则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以.
2. 若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
3.如图，在中，，为CD的中点，设，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得 .
4.函数的图象关于直线对称的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的图象可视为将函数的图象向上平移个单位，
所以，函数的图象如下图所示：
所以，函数的图象关于直线对称的函数的图象如A选项中的图象.
5.若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，有，得，
因为，所以，所以或，
又，所以应舍去，则.
又，解得.
6.若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是.
7.已知函数，当时，方程的根的个数是
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】设，则，即，故，
因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，
故原方程共有6个根.
8.已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，取的中点为
因为，直四棱柱的棱长均为2，
所以为等边三角形，所以，
又四棱柱为直四棱柱，
所以平面，
又在平面内，故，
因为侧面，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
取的中点为的中点为，连接、，
则，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
则，所以，根据弧长公式可得.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在中，，则的面积可以是
A. B. 1C. D.
【答案】AD
【解析】∵，
由余弦定理得，
∴，
∴，或，
∴由的面积公式得或.
10.将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是
A.
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于点成中心对称
D. 函数的一个单调递减区间为
【答案】BD
【解析】的图象向右平移个单位长度后得到，
而，则，即，A不正确；
此时，其周期，B正确；
由，得，即的对称中心为()，C不正确；
由，解得，即的单调减区间为，
当时，是函数的一个递减区间，D正确.
11.已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则
A. 该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等
B. 平面截该正方体所得截面面积的最大值为
C. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为
D. 当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
【答案】ACD
【解析】对于A，因为平面与对角线垂直，又平面，
所以平面与平面平行或重合，而正方体各棱与平面所成角，即为体对角线与正方体各棱所成角的余角，
由正方体的对称性易得体对角线与正方体各棱所成角均相等，
故直线与平面所成角也相等，故A正确；
对于B，当平面沿对角线平行移动时，
只有当平面移动到平面（分别为所在棱的中点）时，面积最大.
又由题易知，六边形为正六边形，可求得，
则平面截此正方体所得截面面积的最大值为，故B错误；
对于C，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值，
即为直线与平面所成角的正弦值，不妨取平面为平面，又，
故等价于求与平面所成角，设与平面交于点，
因为平面，所以为所求角，
，则，故C正确；
对于D，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，
，
同理可得
当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________.
【答案】4
【解析】由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示：
作CD⊥AB与E,则CE为圆台的高h,
∴高h＝ .
13.已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为_______.
【答案】
【解析】如图，过作交底面圆锥于点，连接，
因为，则为异面直线与所成角，
所以，
又，所以，即，
因为，函数在上单调递减，所以，
故异面直线与所成角的最小值为 .
14.已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】因为函数在区间上有且仅有一个零点，
所以，所以，
由，可得，
由，得，
当，即时，
则，解得，
所以，
当，即时，
则，解得，
综上所述：的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值 .
【解析】(1)因为，所以，即，所以 .
(2)因为，
所以，
即，所以，
即，所以，
所以 .
16.如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．
【解析】(1)连接交于点，连接．
在中，为的中点，为的中点．
是的中位线，
，
平面平面，
平面 .
(2)在正三棱柱中，
平面平面，
，
在等边中，为的中点，
，
又是平面内的两条相交直线，
平面，又平面，
平面平面 .
(3)连接，
和都是直角三角形，且，
，
，
，
由（2）得，平面平面，平面平面，又平面，
平面，则为直线与平面所成的角．
在中，，则
所以直线与平面所成角的正切值为.
17.为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知.
（1）若，求和的长度；
（2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
【解析】
(1) 在中，，
则，所以，
在中，，
所以.
于是，
在中，
，
在中，，所以 .
(2)设，
在中，得，
在中，，得，
所以的面积

因为，所以当时面积最小，最小值为.
18.已知函数.
（1）若集合.
（i）若函数为奇函数，求不等式的解集；
（ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围；
（2）设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】 (1) （i）因为函数为上的奇函数，故，解得，
则，此时因f−x=−12−x+2−x=−2x+12x=−fx，函数为奇函数，
则不等式fx>32⇔−12x+2x>32，设，代入整理得2t2−3t−2>0 ，
解得或（舍），即，解得，
故原不等式的解集为.
（ii）因为函数为偶函数，故，
即(a−1)(2x−12x)=0 ，因2x−12x不恒为0，故，则，
则f2x+2m⋅fx