2025--2026学年海南文昌中学高一下册5月段考数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年海南文昌中学高一下册5月段考数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则该复数所对应的点在复平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 中，角，，的对应边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A. 1B. C. D. 2
4. 如图，已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知α∈，β－α∈，，，（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平行四边形中，．则对角线的长为（ ）
A. B. C. D. 3
7. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（ ）
A. 直角非等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 点是函数的图象的对称中心
C. 函数在区间上是增函数
D. 将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为
11. 中，内角 的对边分别为 已知 ，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若∥，则___________．
13. 已知是第二象限角，且，则___________．
14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则边长的取值范围为___________．
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）设向量、的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
17. 已知向量；，函数
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）当时，求函数有两个解．求m取值范围；
18. 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，．
（1）若，求的面积；
（2）当时，求的长；
（3）要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长．
19. 若为锐角三角形，、分别为、的中点，且与交于点，延长后与交于点.
（1）若，，角，求的长；
（2）若，，角，求的值；
（3）若，求的取值范围.
数学
满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则该复数所对应的点在复平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：D
解析：
解答过程：复数，所对应的点在复平面的第四象限
2. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由角θ的终边过点，得，
所以.
3. 中，角，，的对应边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A. 1B. C. D. 2
答案：A
解析：
思路：根据正弦定理进行求解即可.
解答过程：由正弦定理可知：，因为，，，
所以.
故选：A
4. 如图，已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据向量的线性运算可求的表示形式.
解答过程：因为，故，
故，
故选：A.
5. 已知α∈，β－α∈，，，（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用结合两角和的正弦公式化简即可
解答过程：因为，，，，
所以,,
所以
6. 已知平行四边形中，．则对角线的长为（ ）
A. B. C. D. 3
答案：A
解析：
解答过程：设，由，得
所以,解得
所以点坐标为.
所以 .
7. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：在中用表示出，然后在中利用正弦定理求出，再在中用表示出，即可得解.
解答过程：由题意知，，，
∴．
在中，．
在中，由正弦定理得，
∴．
在中，．
8. 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（ ）
A. 直角非等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形
答案：B
解析：
解答过程：由题意有：，
所以，由余弦定理得，
所以，又，所以，
又，由，
所以，
所以，所以，可得，
所以是等边三角形.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：AB
解析：
解答过程：，
A：，正确
B：，正确
C：，错误
D：，错误
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 点是函数的图象的对称中心
C. 函数在区间上是增函数
D. 将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为
答案：ABD
解析：
思路：对A：根据函数的最大值，最小正周期，特殊点处的函数值，数形结合，即可求得函数解析式；对B：求得所有的对称中心的横坐标，再检验点是否满足即可；对C，根据的范围，求得的范围，再根据正弦函数的单调性，即可判断；对D，求得平移后函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求解即可.
解答过程：对A：由图可知的最大值为，又，故；
的最小正周期，又，故可得；
又过点，由五点作图法可知，，故；
故，A正确；
对B：令，解得，当时，解得，
故是函数的图象的对称中心，B正确；
对C：当，，而在不单调，故C错误；
对D：将函数的图象向右个单位后所得的函数解析式为，
因为其为偶函数，故，解得，
又，故当时，取得最小值为，故D正确.
11. 中，内角 的对边分别为 已知 ，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
答案：AC
解析：
思路：设，求出比例即可判断A选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断B选项；由向量的线性运算得即可判断C选项；取中点，由求出最小值即可判断D选项.
解答过程：设，则，
三式联立解得，
对于A，，A正确；
对于B，，
则，B错误；
对于C，若，则，
则，
即，即，则，，C正确；
对于D，若，则，取中点，连接，
则，
显然当时，最小，
此时，则，
则的最小值为，D错误.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若∥，则___________．
答案：##
解析：
解答过程：已知，，∥，得，解得.
13. 已知是第二象限角，且，则___________．
答案：
解析：
解答过程：由，得，
而是第二象限角，则，，
所以.
14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则边长的取值范围为___________．
答案：
解析：
思路：由已知条件结合正弦定理表示、，并计算得到的值，利用锐角三角形内角范围求出的范围，再由和差角公式与辅助角公式进行化简，利用正弦函数性质即可求解.
解答过程：因为，，所以，
由正弦定理可得，
，，，
.
，
，，，
.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）设向量、的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用平面向量夹角公式求解即可；
（2）由已知条件可得，结合平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可.
（1）因为向量，，则，
，，
故.
（2）依题意，，解得.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
答案：（1）；
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解；
（2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解.
（1）由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
（2）由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
17. 已知向量；，函数
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）当时，求函数有两个解．求m取值范围；
答案：（1），
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：
思路：（1）先利用平面向量数量积的坐标表示以及辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据周期的计算公式以及单调区间的求法即可求解；
（2）（ⅰ）根据三角函数图形伸缩、平移变换的规律得到；
（ⅱ）根据题意有两个解，根据正弦函数图象可得解.
（1）已知向量；，
则
,
所以最小正周期，
令，可得，
所以的单调递减区间是.
（2）（ⅰ）将函数的图象先向左平移个单位，
得，
再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数；
（ⅱ）当时，，
由有两个解，可得有两个解，
根据，由正弦函数图象可得，
得.
18. 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，．
（1）若，求的面积；
（2）当时，求的长；
（3）要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长．
答案：（1）
（2）2 （3）.
解析：
思路：（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案.
（2）利用余弦定理即可求解；
（3）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案.
（1）在中，，，
故，，
由正弦定理得，即，
而，
故，故，
故三角形手巾的面积为
；
（2）设，则，
则在中，，
在中，
易知，整理可得，
解得或（舍）;
所以.
（3）设，则，
则在中，，
在中，，
故，
由于，
当且仅当，即时取等号，
故，
即取到最小值时，，
即此时.
19. 若为锐角三角形，、分别为、的中点，且与交于点，延长后与交于点.
（1）若，，角，求的长；
（2）若，，角，求的值；
（3）若，求的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）直接用余弦定理，代入已知边长与角，直接计算即可；
（2）利用重心性质，将、用、表示，展开点积计算；
（3）由推导出边的关系，再结合锐角三角形条件与函数单调性，求得的取值范围.
（1）由余弦定理得，故.
（2）由已知可得，为的中点，，，
所以.
（3）设的内角、、所对的边分别为、、，
由可得、、，
在中，，
在中，，
由于，则上面两式相加得，
由于为锐角三角形，可得、、，
可得、，则，即，
又，
当且仅当时取等号，设，
则在上单调递减，在上单调递增，
由于，故.