2025--2026学年广西壮族自治区玉林市第一中学等校高二下册5月阶段性检测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广西壮族自治区玉林市第一中学等校高二下册5月阶段性检测数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知数列为正项等比数列，若，则（ ）
A. B. 4C. D. 2
2. 某大学有5个门，若从任意一个门进，从任意一个门出，共有不同的走法种数为（ ）
A. 5B. 20C. 25D. 50
3. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. “曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.35D. 0.45
6. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法错误的个数为（ ）
①若随机变量服从两点分布（或-分布），且，则；
②要将个不同的礼物分给位同学，每人至少个，不同分法的种数是种；
③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则；
④某人射击次，未击中目标的概率为，连续射击次，设击中目标的次数为，且每次射击相互没有影响，则.
A. B. C. D.
8. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 720B. 1480C. 1080D. 1440
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
10. 设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 数列的公差小于0B. 数列的公差与数列的公差相等
C. 中最大D. 使得的正整数的最小值为22
11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ）
A.
B. 在处取得极小值
C. 存在唯一的实数使得
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为，则随机变量的期望为________．
13. 的展开式中，记项的系数为，则______．
14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：
（1）求关于的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，当价格元时，日需求量的预测值为多少？
参考公式：线性回归方程，其中，
16. 已知数列的首项，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前项和.
17. 某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示.
（1）为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联?
（2）以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望.
附：，其中.
18. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．
（1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
（2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个不同零点，，证明：且.
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知数列为正项等比数列，若，则（ ）
A. B. 4C. D. 2
答案：B
解析：
思路：利用等比中项的性质求解即可
解答过程：由等比数列的性质可得，，
因,故.
2. 某大学有5个门，若从任意一个门进，从任意一个门出，共有不同的走法种数为（ ）
A. 5B. 20C. 25D. 50
答案：C
解析：
思路：由分步乘法计数原理计算即得.
解答过程：依题意，从任意一个门进，有5种方法，又从任意一个门出，也有5种方法，
由分步乘法计数原理，共有不同的走法种数为.
故选：C.
3. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可.
解答过程：由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关，
所以都为正数，都为负数.
所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1，
而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1.
综上可得.
故选：A.
4. “曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
解答过程：由，得．
由曲线在处的切线的倾斜角为，
可得，解得或．
故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件．
5. 已知，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.35D. 0.45
答案：C
解析：
思路：应用正态分布的对称性求解即可.
解答过程：由正态分布的对称性可知，，，已知，
所以，因为，
且，所以，又因为，
所以，代入，
可得，故，所以.
故选：C.
6. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值.
解答过程：依题意，合格项目的个数，则，，
由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分，
因此，，
则，又，
所以当时，取得最大值.
故选：C
7. 下列说法错误的个数为（ ）
①若随机变量服从两点分布（或-分布），且，则；
②要将个不同的礼物分给位同学，每人至少个，不同分法的种数是种；
③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则；
④某人射击次，未击中目标的概率为，连续射击次，设击中目标的次数为，且每次射击相互没有影响，则.
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：①两点分布的均值与方差公式，代入检验即可；②先组合再分配，利用乘法原理求出不同分法的种类；③由条件概率公式，分布求出，，代入公式即可；④由二项分布的定义求解.
解答过程：解：①根据两点分布的均值，方差，
若，则，因此①错误；
②将个不同的礼物分给位同学，每人至少个，则说明必有人拿到个礼物，
所以可以先取个礼物，共有种；再将分好的组礼物分配，共有种，
因此，不同分法的种数为种，②正确；
③由事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，则第一枚点数可能为，，，共种，
而第二枚点数无要求，因此种；
又第一枚骰子投出的点数为奇数，两枚骰子点数之和为的情况，有和，
则，因此，③正确；
④由未击中目标的概率为，则击中目标的概率为，连续射击次，每次都相互独立，且概率均相同，
因此击中次数服从二项分布，即，因此④正确.
8. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 720B. 1480C. 1080D. 1440
答案：D
解析：
思路：依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可.
解答过程：由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，
则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”.
当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，
再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为；
当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，
再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为.
根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
答案：CD
解析：
思路：根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据和分别可得和，由此可得答案.
解答过程：由概率的性质可得，解得，
，
，
，
,
故选：CD
方法提示：本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题.
10. 设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 数列的公差小于0B. 数列的公差与数列的公差相等
C. 中最大D. 使得的正整数的最小值为22
答案：AC
解析：
解答过程：由​，可得：,
，则，
所以数列的公差，故A正确；
等差数列前项和 ，因此，
即公差为的等差数列，与原数列公差不相等，故B错误；
由，，，可知等差数列前11项均为正，从第12项开始为负，因此最大，故C正确；
利用等差数列求和公式计算可得，
，，
因此要使的正整数的最小值为，不是，故D错误.
11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ）
A.
B. 在处取得极小值
C. 存在唯一的实数使得
D.
答案：BCD
解析：
思路：构造函数，求导确定函数的单调性，结合单调性可得，从而判断A；根据导数运算可设，由，从而可得的值，于是得函数的解析式，求导确定单调性得的极值点即可判断B；根据单调性结合函数确定的根是否唯一即可判断C；根据单调性确定函数值大小即可判断D.
解答过程：设，则，
可得在区间上单调递减，在上单调递增，
故，即，得，故选项A不正确；
可设，可得，所以，所以，
所以，由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故选项B正确；
又因为，可得函数大致图象如下：
结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确；
由于，而，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为，则随机变量的期望为________．
答案：1
解析：
思路：先确定的所有取值，再求出随机变量取每个值的概率，最后套公式求期望.
解答过程：由题知，的所有取值为0，1，2.
，，.
所以随机变量的期望为.
故答案为.
13. 的展开式中，记项的系数为，则______．
答案：30
解析：
思路：直接由二项式求出含有和的项，即可求解.
解答过程：含有的项为，则；
含有的项为，则；
则.
故30.
14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________．
答案：
解析：
思路：写出数列的通项公式，观察结构，利用分组求和写出，对于任意，成立，则最小值等于最大值，通过单调性求出最值.
解答过程：由题可知，则，
，
==.
设，.
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
则在时取得最大值.
方法提示：数列求和要熟练运用裂项相消和累加法，正确运用对数运算法则避免符号错误，结合函数与导数分析数列的单调性.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：
（1）求关于的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，当价格元时，日需求量的预测值为多少？
参考公式：线性回归方程，其中，
答案：（1）
（2）预测值为
解析：
思路：（1）求出、的值，利用最小二乘法公式求出、的值，即可得出回归直线方程；
（2）将代入回归直线方程即可得解.
（1）由表格中的数据可得，，
由题意得，
且，
所以，a=y−bx=8−−0.32×20=14.4 ，
故回归直线方程为.
（2）将代入回归直线方程得，
当价格元时，日需求量的预测值为.
16. 已知数列的首项，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前项和.
答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：
思路：（1）根据等差数列的定义及递推公式推导出，即可得证；
（2）由（1）可得，即可得到，再利用错位相减法计算可得.
（1）因为，，所以，
所以，
所以，
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）可得：，则，
所以 ① ，
则 ②，
两式相减得：，
所以，
所以.
17. 某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示.
（1）为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联?
（2）以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望.
附：，其中.
答案：（1）能认定产品质量与设备的新旧有关联
（2）分布列见解析，.
解析：
思路：（1）根据题意产品的质量指标值超过和不超过的件数，完善列联表，计算值判断即可；
（2）先计算质量指标值在的频率为，进而根据频率估计概率得质量指标值在的产品数为，再结合二项分布求解即可.
（1）解：由频率分布直方图可知，产品的质量指标值超过的频率为，
所以产品的质量指标值超过的有件，
所以产品的质量指标值不超过的有件，
故列联表如下：
假设：产品质量与设备的新旧无关联，
，
所以依据小概率值的独立性检验，能认定产品质量与设备的新旧有关联.
（2）解：新设备产品质量指标值在的频率为：，
故根据频率估计概率，质量指标值在的概率为，
所以随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，
所以；；
；；
，
所以的分布列如下表：
所以，数学期望.
18. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．
（1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
（2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，根据可得结果.
（2）针对乙同学在A箱中选择的题目进行分类，结合全概率公式计算可得结果.
（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，
则．
在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以．
故．
（2）设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，
事件为“乙从A箱中取出2道代数题”，
事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，
事件为“乙从A箱中取出2道几何题”，
则．
当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，；
当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，；
当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，．
由全概率公式可得．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个不同零点，，证明：且.
答案：（1）
（2）当时，在上单调递减；在上单调递增；
当时，故在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减.
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）先求出导函数，进而得出切线斜率，最后应用点斜式得出切线方程；
（2）分类讨论导函数正负得出函数单调性即可；
（3）先应用极值点，再构造函数，，应用导函数正负得出函数单调性即可证明.
（1）由题意得.
当时，，，
则曲线在点处的切线方程为：，即.
（2）①，则，令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
②当时，由得，或.
（i），即时，
当时，，
当时，，
故在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
（ii），即时，同理可得在上单调递减；
（iii），即时，同理可得在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
综上可得，当时，在上单调递减；在上单调递增；
当时，故在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，时，的极小值为，
当时，的极小值为，
当时，在单调递减，故时，至多有一个零点.
当时，在单调递减，在单调递增.
要使有两个零点，则，即，得.
令，，
则
，
所以在时单调递增，，.
不妨设，则，，，.
由在单调递减得，，即.0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
0.2
价格（元）
日需求量（）
设备
产品质量指标值
超过75
不超过75
新设备
旧设备
100
900
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
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0.1
0.2
0.2
价格（元）
日需求量（）
设备
产品质量指标值
超过75
不超过75
新设备
旧设备
100
900
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
设备
产品质量指标值
合计
超过75
不超过75
新设备
250
750
1000
旧设备
100
900
1000
合计
350
1650
2000
0
1
2
3
4