2022-2023学年广西壮族自治区玉林市四校高二下学期5月联考数学试题含答案

2022-2023学年广西壮族自治区玉林市四校高二下学期5月联考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】观察图并运用集合的交、补运算即可.

【详解】图中阴影表示为，

因为或，

所以.

故选：A.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用特称命题的否定规则即可得到所给命题的否定形式.

【详解】命题“”的否定是

故选：B

3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则

B．若，则

C．若且，则

D．若，则

【答案】C

【分析】对A,B,D举反例，对C利用不等式的基本性质判断即可.

【详解】对A，当时，，故错误；

对B，当，时，，故错误；

对C，，，则，，则，故C正确；

对D，当，满足前提，但此时，，，故错误.

故选：C.

4．若幂函数在区间上单调递增，则（    ）

A． B．3 C．或3 D．1或

【答案】A

【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.

【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，

所以且，

由，得或，

当时，，满足题意；

当时，足，不符合题意.

综上.

故选：A.

5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”，对乙说：“你不是最后一名”，从这两个回答分析，5人名次的不同排列情况共有（    ）

A．72种 B．78种 C．96种 D．102种

【答案】B

【分析】根据题意，计算得到总情况数，然后计算得到甲是冠军与乙是最后一名的情况数，从而即可得到结果.

【详解】由题意可得，甲不是冠军，乙不是最后一名，

因为5人名次的不同排列共有，

其中甲是冠军的排列方法有，

乙是最后一名的排列方法有，

甲是冠军且乙是最后一名的排列方法有，

所以，甲不是冠军，乙不是最后一名的排列方法有，

故选:B

6．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程．则当蟋蟀每分钟鸣叫80次时，该地当时的气温预报值为（   ）

A．38℃ B．39℃ C．40℃ D．41℃

【答案】C

【分析】根据题意，先求得样本中心点的坐标从而得到，然后将代入计算即可得到结果.

【详解】由题意可得，，，则样本中心点为，

代入，可得，即，

所以，

当时，.

所以当蟋蟀每分钟鸣叫80次时，该地当时的气温预报值为40℃.

故选:C

7．甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用条件概率公式即可求出结果.

【详解】由题知，，，所以，

故选：B.

8．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析可知关于的方程有个不等的实根，构造函数，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】易知，当时，由可得关于的方程有个不等的实根，

令，

当时，，则，

当时，，，则，此时函数单调递减，

当时，，，则，此时函数单调递增，

所以，函数的极小值为，

作出函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

故选：B.

二、多选题

9．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C．且 D．不等式的解集是

【答案】AB

【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系式，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由于不等式的解集是，

所以，B选项正确，

且，即，则，

所以，A选项正确，

，C选项错误，

不等式，即，

即，无解，D选项错误.

故选：AB

10．下列说法正确的是（    ）

A．设随机变量等可能取，如果，则

B．若随机变量的概率分布为，且是常数，则

C．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率

D．已知随机变量，则

【答案】ACD

【分析】根据随机变量的分布列的性质逐项进行分析即可求解.

【详解】A.设随机变量等可能取，则，

所以，则，故A正确；

B.若随机变量的概率分布规律为，

则，其中是常数，则，故B错误；

C.根据题意可得，又因为联立即可解得，故C正确；

D.因为随机变量，所以，

则，故D正确.

故选：ACD.

11．已知函数是定义在R上的奇函数，函数是定义在R上的偶函数，且满足，，则（    ）

A．的图象关于点对称 B．是周期为3的周期函数

C． D．

【答案】ACD

【分析】A选项，根据的奇偶性得到的图象关于点对称，A正确；再由的奇偶性得到为周期为6的函数，再得到，B错误；CD选项，计算出，结合AB选项，得到，由周期性得到.

【详解】A选项，因为为偶函数，所以关于直线对称，所以，

所以，所以，

所以，即的图象关于点对称，A正确；

B选项，又是定义在R上的奇函数，所以，

即，所以，

所以是周期为6的周期函数．

在中，当时，得；

当时，得．

又由，得，，

所以，所以，

则，，因为，所以B错误；

CD选项，在中，令，得，所以，

在中，令，得，所以，

所以，

所以，C，D正确.

故选：ACD．

【点睛】设函数，，，．

（1）若，则函数的周期为2a；

（2）若，则函数的周期为2a；

（3）若，则函数的周期为2a；

（4）若，则函数的周期为2a；

（5）若，则函数的周期为；

（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；

（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；

（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；

（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；

（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．

12．已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（    ）

A． B．的取值范围是

C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1 D．的取值范围是

【答案】ABD

【分析】由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，由带入中化简即可判断A正误；求得及的直线方程，由与y轴相交可求得点坐标，由两点间距离公式可求得，再根据的取值范围，即可求得的范围；求得及的直线方程后联立求得横坐标，化简即可比较横坐标与的大小关系；由距离公式表示出展开后由基本不等式即可求得取值范围.

【详解】不妨设，，则，，

当时，

当时

由导数的几何意义知，．

因为的图象在A，B两点处的切线互相垂直，所以，即．

对于A，因为，所以A正确．

对于B，因为：，：，

则，，所以，所以B正确．

对于C，当时，，

即直线AM与BN的交点的横坐标恒小于1，所以C错误．

对于D，，所以D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．若随机变量服从正态分布，且，则的值是      ．

【答案】/

【分析】根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】解：因为随机变量服从正态分布，且，

所以，

因为，，

所以，

故答案为：

14．同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率           .

【答案】0.86

【分析】由全概率公式计算所求概率.

【详解】由全概率公式，得所求概率.

故答案为：.

15．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为      ．

【答案】/

【分析】先根据题意得出，再结合基本不等式即可求得的最小值．

【详解】因为一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，

则，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为．

故答案为：．

16．已知函数在上没有最小值，则的取值范围是                ．

【答案】

【分析】先求导，利用f′（x）=0时，x=0或x=,讨论两个极值点与（-1，1）的关系，再根据导数和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到a的范围.

【详解】∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣2ax=x(3x-2a)，当f′（x）=0时，x=0或x=,

（1）当∈（﹣∞，﹣1]时，即a时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，此时x=0时f（x）取得最小值，所以舍去.

（2）当-1<<0时，f(x)在（-1，）单调递增，在（，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意在上没有最小值，

则有

（3）当a=0时，f(x)=在上显然没有最小值，故成立.

（4）当0<<1时，f(x)在（-1，）单调递增，在（0，）单调递增减，在（，1）单调递增，由题意在上没有最小值，

则有

（5）当时，即a时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，1）单调递减，

此时f(x)在上没有最小值.

综上：a>-1.

故答案为.

【点睛】本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题

四、解答题

17．已知，，若的展开式中，____.

(1)求n的值；

(2)求的值.

在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)10

(2)

【分析】（1）根据题意，由二项式的性质即可得到的值；

（2）根据题意，由（1）可得，从而得到其展开式的通项，然后再取与即可得到结果.

【详解】（1）在二项式的展开式中，

若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即；

若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，

则，即；

若选填③，所有二项式系数的和为，

则，即.

故；

（2）∵二项式的展开式的通项，

可知x的奇数次方的系数为负，x的偶数次方的系数为正.

在中，

取，得；

取，得.

∴

18．已知集合.

(1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；

(2)若成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据充分不必要条件得出集合的包含关系，根据包含关系可求答案；

（2）根据二次函数区间最值，及二次不等式恒成立可求答案.

【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，

则B是A的真子集，而不为空集，

则（等号不同时成立），解得，

即m的取值范围是.

（2）设，

则，

∵，

∴，

由题意得，即，

即a的取值范围为.

19．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；

(2)把年龄在的居民称为青少年组，年龄在的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为阅读方式与年龄有关联？

附：

【答案】(1)的值为0.035，通过电子阅读的居民的平均年龄为41.5岁

(2)完成列联表见解析；依据的独立性检验，能认为阅读方式与年龄有关联

【分析】（1）根据频率分布直方图相关知识直接计算即可；

（2）根据题意补全列联表，根据独立性检验相关知识进行零假设，然后计算卡方即可判断.

【详解】（1）由表可知，，解得；

各组的频率依次为，

所以通过电子阅读的居民的平均年龄为（岁）.

所以的值为0.035，通过电子阅读的居民的平均年龄为41.5岁.

（2）因为200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为，

所以电子阅读150人，纸质阅读50人，

因为年龄在的居民称为青少年组，年龄在的居民称为中老年组，

所以电子阅读的青少年有人，中老年有人，

补全列联表如下：

零假设阅读方式与年龄无关，

则，

所以依据的独立性检验，能认为阅读方式与年龄有关联.

20．是定义在上的奇函数，且.

（1）求，的值；

（2）判断函数的单调性（不需证明），并求使成立的实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）是奇函数，.

【解析】（1）利用函数为奇函数，得，又由已知条件代入求解即可得出结果；（2）由（1）知，在上是增函数，利用函数的定义域，奇偶性和单调性即可得出结论.

【详解】（1）是定义在上的奇函数，

则，得，解得，

经检验，时，是定义在上的奇函数；

（2）由（1）知，

在上是增函数，

又因为是定义在上的奇函数，

由，

得，

所以，

即①，

又，

即②，

，

即③，

由①②③得，

解得.

故的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数以及利用函数的定义域，奇偶性和单调性求解不等式的问题.属于中档题.

21．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.

(1)若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和二项分布的概率公式求解即可；

（2）该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，进而结合二项分布求解，根据独立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，进而结合题意求解.

【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙

大学恰好通过一门笔试科目”为事件，

根据题意可得，

（2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，

根据题意可知，，所以，，

，

，

.

则随机变量的分布列为：

，

若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，

所以，又因为，所以，

所以，的取值范围是.

22．已知函数．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当时，若，求证：

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，由导函数的正负求出函数的单调性；

（2）先结合（1）中函数单调性得到，构造，求导得到其单调性，从而证明出，得到结论.

【详解】（1）的定义域为，

因为，

当时，，

所以在上单调递增；

当时，令得，令得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）当时，，定义域为，

，所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为，所以，

设，

则在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以， 即，

又因为，，所以，

又因为在上单调递减，

所以，即．

【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.