2025--2026学年广西柳州地区民族高级中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广西柳州地区民族高级中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了 已知集合则， 设，则， 已知为的外心，且，则等于， 已知复数等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A. 12B. 24C. D.
3. 设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（ ）
A. 圆锥的母线长为B. 圆锥与圆柱的体积比为
C. 该几何体的表面积为D. 该几何体的体积为
7. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 8B. 16C. D.
8. 已知为的外心，且，则等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为
D. 若复数是关于的方程的一个根，则
10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 在中，，则三角形面积为
C. 若为钝角三角形，则
D. 若，则有两解
11. 如图，在棱长为1的正方体中，是线段上的动点（含端点），则（ ）

A. 面B. 与是异面直线
C. 的最小值为D. 三棱锥的体积为定值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为___________.
13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m．
14. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求和；
（2）若，且，求向量与向量的夹角.
16. 直角坐标系中，已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线．求的面积．
18. 如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C的值.
（2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若，，求的周长；
（ii）求的最大值.
数学
满分150分，考试时间120分钟考试范围：《必修一》至《必修二》第八章
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：求出集合后结合交集的定义可求.
解答过程：，故，
故选：D.
2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A. 12B. 24C. D.
答案：A
解析：
思路：利用斜二测画法的规则，即可还原三角形为直角三角形，从而可求三角形面积.
解答过程：由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形，
且，，
故原图的面积为：，
故选：A.
3. 设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：设、的夹角为，根据求出的取值范围，利用区间的包含关系判断即可.
解答过程：设、的夹角为，则，
因为、为非零向量，由可得，所以，
因为，所以“”“与的夹角为锐角”，
且“”“与的夹角为锐角”，
所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：利用对数、指数函数的单调性，分别和，比较大小即可.
解答过程：对数函数在上单调递增，且，
因为，所以，即；
因为指数函数在上单调递增，且，
因为，所以，即；
又因为，因此大小关系为.
5. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：由题知，，，再待定系数求解即可.
解答过程：由题知，周期满足，
所以，解得，
又因为，即
所以，即
又，所以，
所以.
故选：D
6. 如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（ ）
A. 圆锥的母线长为B. 圆锥与圆柱的体积比为
C. 该几何体的表面积为D. 该几何体的体积为
答案：C
解析：
解答过程：因为圆锥的底面半径为1，高为1，所以圆锥的母线长为，A正确；
圆锥的体积，圆柱的体积，
所以圆锥与圆柱的体积比为，B正确；
该几何体的体积为，D正确；
圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，
圆柱的下底面面积，
所以该几何体的表面积为，C错误.
7. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 8B. 16C. D.
答案：A
解析：
思路：根据幂函数的定义及单调性，可得m值，根据基本不等式“1”的代换，即可得答案.
解答过程：因为为幂函数，所以，解得或，
因为在 上单调递减，所以，则，
所以，则，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8.
8. 已知为的外心，且，则等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
答案：A
解析：
思路：根据点为的外心，且，所以，得到答案.
解答过程：因为点为的外心，且，
所以
，
故选A.
方法提示：该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为
D. 若复数是关于的方程的一个根，则
答案：AC
解析：
思路：A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B错误；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，，均为方程的根，由韦达定理求解即可.
解答过程：对于A：，A正确.
对于B：，虚部为，故B错误.
对于C：由题意，，所以，
故向量对应的复数为，C正确.
对于D：，由题意知，，均为方程的根，
故，.
又，，
所以，，故，D错误.
10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 在中，，则三角形面积为
C. 若为钝角三角形，则
D. 若，则有两解
答案：ABD
解析：
思路：A选项，由，得到，再利用正弦定理判断；B选项，利用三角形面积公式求解判断；C选项，由为钝角三角形，当为钝角时，利用余弦定理判断；D选项，根据正弦定理得到，进而得到或，即可求解判断.
解答过程：对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确.
对于B：，故B正确.
对于C：因为为钝角三角形，当为钝角时，，则，
同理可得，当为钝角时，，当为钝角时，，故C错误.
对于D：由正弦定理得，所以，
因为，所以或，
所以有两解，即有两解，故D正确.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，是线段上的动点（含端点），则（ ）

A. 面B. 与是异面直线
C. 的最小值为D. 三棱锥的体积为定值
答案：ACD
解析：
思路：由空间中点、线、面的相关知识逐一判断各选项即可．
解答过程：对于A，连接，

正方体中，，，四边形为平行四边形，则，
∵平面，平面，∴平面，
同理平面，
∵平面，，∴平面平面，
∵平面，∴平面，故A正确；
对于B，当点P在点处时，，即，故B错误；
对于C，将平面沿展开到与平面共面，连接与的交点即为P，如图，

此时，在中，，，，
由余弦定理有：
∴的最小值为，故C正确；
对于D，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，则有，
∵平面，平面，∴平面，
∴P到平面的距离等于到平面，为定值，
又的面积也为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为___________.
答案：
解析：
思路：根据异面直线的定义，由，得即为异面直线与所成角的平面角，从而得出所求.
解答过程：解：在正方体中，
因为，
所以即为异面直线与所成的角，
所以异面直线与所成角的大小为.
故答案为.
13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m．
答案：
解析：
思路：由题设得，利用正弦定理求两点间的距离.
解答过程：由题设，
在中，由正弦定理，得
∴m.
故答案为.
14. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________．
答案：
解析：
思路：首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积.
解答过程：已知，，则上底面积，下底面积，体积，
由棱台体积公式得，
设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为，
由正四棱台的上下底面都是正方形可得，，
设外接球半径为，则.
展开并化简：（负值舍去），
则，
最终外接球表面积：，
故
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求和；
（2）若，且，求向量与向量的夹角.
答案：（1）；
（2）解析：
思路：（1）根据向量数量积的坐标表示及向量的模计算即可.
（2）根据向量垂直及向量的数量积运算律求出，结合向量夹角的计算公式计算即可.
（1）.
因为，所以.
（2）因为，则，即，所以.
又，所以，
又，所以.
故向量与向量的夹角为.
16. 直角坐标系中，已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由向量共线的坐标运算可得，再利用二倍角的正切公式求解即可；
（2）根据诱导公式进行化简，结合（1）的条件求解即可.
（1）由，得，所以.
若，则，不符合条件，所以，
所以.
故.
（2）由（1）知，，
所以.
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线．求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值.
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式列式求出，进而求出的面积.
（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，又，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，而，解得，
由为角的平分线及，
得，则，
所以的面积为.
18. 如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）8
解析：
思路：（1）根据线面平行的判定定理证明即可.
（2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.
（3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证出平面，结合等体积法求解即可.
（1）连接，交于，连接.
直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点.
因为点是的中点，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以.
在中，，，，则，所以.
因为，平面，，
所以平面.
（3）过点作.
在中，，即.
直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，，
因为，平面，，所以平面，
则即为点到平面，也即平面的距离.
又，
.
故三棱锥的体积为8.
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C的值.
（2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若，，求的周长；
（ii）求的最大值.
答案：（1）
（2）（i）30（ii）
解析：
思路：（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果；
（2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值.
（1）因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）（ⅰ）由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长；
（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即，
则，
可得
，
且，则，可得，
则，所以的最大值为.