2025--2026学年广东省珠海市斗门第一中学高一下册期中阶段考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省珠海市斗门第一中学高一下册期中阶段考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.
1. 下列函数中，最小正周期是的奇函数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 5
3. 如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图，其中，，，，则四边形的周长是（ ）
A. 8B. C. D.
4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
5. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（ ）

A. B. C. D.
7. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
B. 若点坐标为，且是实系数方程的一个根，则
C. 若，则或
D. 若是纯虚数，则的共轭复数
10. 如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（ ）

A. 直线平面B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为18D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形
11. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面内向量，，若和垂直，则的值为______.
13. ______．
14. 在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，．
(1)求；
(2)求满足的实数m，n；
(3)若，求实数k.
16. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式，并求出的对称轴；
（2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值.
18. 如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足.
（1）证明：；
（2）已知点为边BC上一点，AD为的平分线，若，，求以及AD的值；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
数学
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.
1. 下列函数中，最小正周期是的奇函数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据周期公式结合周期定义求各函数的周期，再根据奇函数的定义判断即可.
解答过程：函数的周期为，
设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以函数为奇函数，A正确；
函数的周期为，
设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，B错误；
函数的周期为，C错误；
设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
则，故函数的周期为，
又，所以函数为偶函数，
D错误；
故选：A.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 5
答案：B
解析：
思路：根据复数的除法运算求得复数z，根据复数模的计算即可得答案.
解答过程：由得，
故，
故选：B
3. 如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图，其中，，，，则四边形的周长是（ ）
A. 8B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据直观图恢复至原图求各边长再求原四边形的周长即可.
解答过程：
由直观图画出原图，得且即，则四边形是一个直角梯形.
过点作的垂线交于点，则，得.
所以四边形的周长为.
故选：C.
4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
答案：D
解析：
思路：根据投影向量的概念列式，化简得到，结合、的坐标建立关于的方程，解出值，进而求出的值．
解答过程：根据题意，可得，可得，
因为，，所以，解得，可得．
故选：D．
5. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：
根据同角三角函数基本关系得出的值，再用两角差的余弦公式即可解题.
解答过程：因为，所以，
又，所以，
所以
.
故选：D
方法提示：方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下：
（1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得的值；
（2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.
6. 如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解.
解答过程：由题意，可得，
且，
在中，可得，
在中，可得，
在中，由余弦定理得
，
所以.
故选：C.
7. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积.
解答过程：在中，由正弦定理得，
即，解得，而为三角形内角，所以，
，，
所以。
则.故选：B.
8. 三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积.
解答过程：设点在底面的投影为，因为，
所以点是的外心，则，且底面，球心在上，
由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径，
即，则，
设，外接圆半径为，则，
则，且，
则，解得，则外接球半径，
则三棱锥外接球的表面积为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
B. 若点坐标为，且是实系数方程的一个根，则
C. 若，则或
D. 若是纯虚数，则的共轭复数
答案：AB
解析：
思路：对于AC，根据复数的模长，以及其几何意义，可得正误；对于B，由点的坐标写出复数，代入方程，建立方程组，可得正误；对于D，根据复数的除法，结合纯虚数以及共轭复数的定义，可得正误.
解答过程：对于A，因为，则点的轨迹是两个圆心为原点，半径分别为的圆形成的圆环，
则点的集合所构成的图形的面积为，A正确；
对于B，因为是实系数方程的一个根，
所以，则，
所以，解得，则，B正确；
对于C，由，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，圆上的点对应复数有无数个，C错误；
对于D，是一个纯虚数，
则，即，则，所以，D错误.
故选：AB.
10. 如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（ ）

A. 直线平面B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为18D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形
答案：ACD
解析：
思路：对于A，取的中点，证明平面平面从而证明直线平面；对于B，由A知平面，经过的平面有且仅有一个平行于平面，即可判断；对于C，根据即可判断；对于D，根据可确定截面为梯形，再证明即可判断.
解答过程：对于A，取的中点，连接，，，

则四边形为平行四边形，
所以，又平面BMN，平面，
所以平面，
因为点，为，的中点，所以，又，所以，
由，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
对于B，由A可知，平面，
经过的平面有且仅有平面平面，
因为平面与平面不是一个平面，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，如图，连接，，由四边形为平行四边形得，
因为，所以，所以，，，四点共面，
所以平面BMN截正方体所得的截面是梯形，
由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确.

11. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值是
答案：ABD
解析：
思路：利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D.
解答过程：对于A，由，得，则，A正确；
对于B，令，在等边中，，
由选项A得，
，，，
，
因此，B正确；
对于C，由选项A知，，而，，
则，而共线，因此，即，C错误；
对于D，由选项C知，，
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面内向量，，若和垂直，则的值为______.
答案：##
解析：
解答过程：由题意可得，，
因为和垂直，所以，即，
化简得，解得.
13. ______．
答案：
解析：
解答过程：
.
14. 在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________．
答案：##
解析：
思路：设，分别为的中点，连接，，利用向量的线性运算以及数量积的定义将转化为，即可求得答案.
解答过程：由题意知的外接圆圆心为，为的中点，则；
设，分别为，的中点，连接，则，，
，
结合，，可知，,
故，即.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，．
(1)求；
(2)求满足的实数m，n；
(3)若，求实数k.
答案：(1) (2) (3)
解析：
思路：(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标；
(2)把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数,.
(3)分别写出与的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数k.
解答过程：（1）
（2）∵，
∴．
∴ 解得
（3）∵．
∴,
∴.
方法提示：本题主要考查的是向量的坐标运算，以及向量相等、向量平行的应用，是基础题.
16. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面.
（2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解.
（1）证明：连接，因为分别是棱的中点，
所以，
因为平面，平面DBEF，所以平面；
连接，则，且，
可得四边形为矩形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，且平面，
所以平面平面.
（2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为,
三棱锥的体积为,
三棱台的体积为
则夹在平面与平面之间的几何体的体积为,
所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式，并求出的对称轴；
（2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值.
答案：（1），对称轴方程为，.
（2），最小值，最大值
解析：
思路：（1）根据图象可得，再由周期可求出，再代入点坐标可求得解析式，即可求得对称轴方程；
（2）利用图象平移规则求出的解析式，再由函数单调性可求得最大值和最小值.
（1）由图象可知，设函数的最小正周期为，
则，故，又，所以，
将点代入，得，即，
所以，，即，，
又，故，
所以，
令，，得的对称轴方程为，.
（2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为，
再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为，
，则，
∴当，即时，取得最小值，此时；
∴当，即时，取得最大值，此时；
18. 如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，
解析：
思路：（1）连接交于点，连接，证明即可得证；
（2）证明平面，利用线面平行的性质即可证明；
（3）过作的平行线交于，求出，证明平面，再根据平面即可得到平面平面，即可得到平面.
（1）连接交于点，连接，
∵四边形为正方形，
∴点为的中点，又为的中点，
，
平面PAC，平面，
平面.
（2），平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
.
（3）在侧棱上存在一点，使平面，满足.
理由如下：
由，为中点得，
过作的平行线交于，连接，，
由于，则，
，平面，平面，
平面，
由（1）知平面，
又，平面，
∴平面平面，
又平面，
平面，
所以侧棱上存在一点，使得平面，且.
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足.
（1）证明：；
（2）已知点为边BC上一点，AD为的平分线，若，，求以及AD的值；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
答案：（1）证明见解析
（2），
（3）.
解析：
思路：（1）利用三角变换可得，从而可证；
（2）根据题设条件可先求得，从而求得的值，再由面积关系可得的值；
（3）根据锐角三角形可得的范围，结合题设条件可求比值范围，或者利用正弦定理可得，结合的范围可求比值的范围.
（1）由，利用正弦定理得：，
又，
所以，
所以，
而，，
所以或，即或（舍去）
所以.
（2）由，，，得，
由余弦定理得：，故，
又，所以，
又，所以，
又由AD为的平分线，所以，
所以，
所以
（3）由（1）知，又，所以，
方法1：由已知，得到，
又为锐角三角形，所以，
所以，所以.
方法2：由正弦定理得：，
又为锐角三角形，所以，
所以，所以，所以.