2025--2026学年广东省深圳市翠园中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省深圳市翠园中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（ ）
A. B. C. D.
2. 等差数列1，46，91，…，2026，2071共有（ ）
A. 44项B. 45项C. 46项D. 47项
3. 若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，四面体所有棱长均为2，则（ ）
A. 6B. C. D.
5. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 曲线的左，右焦点为，C上有一点P，与y轴交于点Q，满足以P为圆心，为半径的圆与x轴相切，恰交y轴于Q，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与函数，的图象分别相交于A，B两点.设为曲线在点A处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
8. 为了计算无穷级数和，意大利数学家恩纳斯托·切萨罗发明了切萨罗和：设数列的前n项和构成数列，的前n项的平均数构成数列，若收敛于，则称为的切萨罗和.已知数列满足，，则（ ）
A. B. 1C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A. B.
C. 展开式的各项系数和为D.
10. 在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（ ）
A. B.
C. 的等差中项是2D. m是，的等比中项
11. 正方体的棱长为2,点在面内（包括边界），若,且满足平面,则（ ）
A. 三棱锥的外接球表面积为
B. 点的轨迹是一段圆弧
C. 的最小值为
D. 动点的轨迹长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______．
13. 若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______.
14. 已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为.
（1）现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.
（2）现从该校近视的学生中任意调查一名学生，求他玩手机超过1h的概率.
16. 如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平交于点．
（1）求证：为棱的中点；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
17. 已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
（1）求，，，及的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①求，的值；
②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由.
18. 在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿方椭圆”.
（1）写出“曼哈顿方椭圆”的方程，并说出它的对称性，画出它的草图，求它的面积；
（2）已知某“曼哈顿方椭圆”的顶点都在椭圆C：上，则称椭圆C是该“曼哈顿方椭圆”的伴生椭圆.过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点.判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
19. 已知函数，.
（1）讨论极值点的个数；
（2）若恰有三个零点和两个极值点.
（i）证明：；
（ii）若，且，证明.
数学
本试卷共4页，19题.全卷，考试用时：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用分步计数原理即得．
解答过程：每一位同学有3种不同的选择，则5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，
每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是.
故选：A．
2. 等差数列1，46，91，…，2026，2071共有（ ）
A. 44项B. 45项C. 46项D. 47项
答案：D
解析：
解答过程：解：设等差数列，公差为，
，，
又，解得，
故等差数列1，46，91，…，2026，2071共有47项.
3. 若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用导数说明函数的单调性，依题意可得，解得即可.
解答过程：因为，所以当或时，
即在，上单调递增，
当时，即在上单调递减，
根据题意可得，即，解得.
故选：A
4. 如图所示，四面体所有棱长均为2，则（ ）
A. 6B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用向量的运算及几何意义可求答案.
解答过程：取的中点,连接，因为四面体所有棱长均为2，所以，
所以.
故选：D
5. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过.
解答过程：由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，
那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为
故选：A.
6. 曲线的左，右焦点为，C上有一点P，与y轴交于点Q，满足以P为圆心，为半径的圆与x轴相切，恰交y轴于Q，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由题：轴，故，由双曲线的定义得到，从而求出即可.
解答过程：
由题：轴，故，
由定义知，，
又，为中点，所以，
所以，
故C的渐近线方程为，
故选：C.
7. 已知直线与函数，的图象分别相交于A，B两点.设为曲线在点A处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
答案：D
解析：
思路：首先求点的横坐标，再利用导数求和，最后根据的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最值.
解答过程：由题意可得，得，，得，
，，
则，，
所以，
设，，
，，
当，，则在单调递增，
当，，则在单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故选：D
方法提示：关键点点睛：本题的关键是理解导数的几何意义，并正确求解点的坐标，即可求得的值.
8. 为了计算无穷级数和，意大利数学家恩纳斯托·切萨罗发明了切萨罗和：设数列的前n项和构成数列，的前n项的平均数构成数列，若收敛于，则称为的切萨罗和.已知数列满足，，则（ ）
A. B. 1C. D.
答案：D
解析：
思路：根据数列新定义及分组求和计算求解.
解答过程：因为数列满足，，
则，
所以，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A. B.
C. 展开式的各项系数和为D.
答案：ABD
解析：
思路：先由二项式第5项与第8项的二项式系数相等，即，得，再由通项公式Tk+1=C11k⋅−111−k⋅32k−11⋅xk，令，算出a5=154 ，接着令得各项系数和为，排除C，最后令得a0+a13+⋯+a11311=2311.
解答过程：3x−13n=−13+3xn二项式展开通项为Tk+1=C11k⋅−1311−k⋅3xk=C11k⋅−111−k⋅32k−11⋅xk
对于A：由题意可得，则，故A正确；
对于B：a5=C115−16⋅3−1=C115×13=154 ；
对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确；
对于D：令，得a0+a13+a232+⋅⋅⋅+an3n=3×13−1311=211311，故D正确.
10. 在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（ ）
A. B.
C. 的等差中项是2D. m是，的等比中项
答案：ACD
解析：
思路：联立直线与抛物线，结合韦达定理，由弦长公式可得A；令可得B错误；结合等差中项和等比中项的概念由韦达定理可判断CD.
解答过程：直线的方程为，
联立消去可得，
则，，
对于A，由得，
，故A正确；
对于B，，
令可得，此时，故B错误；
对于C，由可得的等差中项是2，故C正确；
对于D，由可得m是，的等比中项，故D正确.
11. 正方体的棱长为2,点在面内（包括边界），若,且满足平面,则（ ）
A. 三棱锥的外接球表面积为
B. 点的轨迹是一段圆弧
C. 的最小值为
D. 动点的轨迹长为
答案：ACD
解析：
思路：对于A，先求出三棱锥底面外接圆半径，因为一条棱垂直于底面，因此可根据底面半径与三棱锥的高，运用勾股定理求解出三棱锥外接球的半径，进而得解；对于B，易证得平面,又因为,可逐步证得，进而确定点就在线段上；对于C，根据的长度易得出点的轨迹是圆的一部分，再运用圆外一点到圆上一点的距离知识求解；对于D，建系后，设出点,求出平面的法向量，与向量垂直，可得到的关系式，进而确定的轨迹是一条线段，再求出其长度即可.
解答过程：对于A：

由题可知，点是线段上靠近点的四等分点，
三棱锥底面外接圆的半径，
平面,则三棱锥外接球的半径,
因此三棱锥外接球的表面积.故A选项正确；
对于B：

在正方体中，易证,
又平面,平面.
,平面.
又平面,.
又平面.
,即点的轨迹是线段,不是圆弧.故B选项错误；
对于C：在正方体中，有平面,
平面,.
,计算得,
故点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆心角为度的圆弧.

由上图易知，=.
因此，当时，最小，此时,故C正确；
对于D：

建立如图所示的空间直角坐标系.
则,设点,
,
设平面的法向量为,因此有
,得,得.
平面,,,因此有：
,化简得.
因此点的轨迹为一条线段.
当时，,设该点为点,此时点在点位置;
当时，,此时点在点位置.

因此点的轨迹为四边形内的线段
故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______．
答案：##
解析：
思路：根据题意结合等比数列性质运算求解即可.
解答过程：因为，，则，
且，所以.
13. 若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______.
答案：
解析：
思路：分析可知在区间内恒成立，整理可得，结合对勾函数单调性运算求解.
解答过程：由题意可知：在区间内恒成立，
可得在区间内恒成立，
因为在区间内单调递增，则，
可得，所以实数的取值范围为.
14. 已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”.
答案：
解析：
思路：根据这5个数至少取集合中3个不同的数字，且为最大的数，为最小的数，按照取自集合中元素个数进行分类，结合排列组合的知识求解即可.
解答过程：因，，，
则这5个数至少取集合中3个不同的数字，至多取5个不同的数字，
且为最大的数，为最小的数，
①取3个数：，分别自动选取最大的数和最小的数（以下均采取相同的做法，不再赘述），则取剩下的数，共有种；
②取4个数：共有种；
③取5个数：则从剩下的3个中各自匹配一个数，共有种；
故共有个“九曲正弦数”.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为.
（1）现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.
（2）现从该校近视的学生中任意调查一名学生，求他玩手机超过1h的概率.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）设表示学校学生近视的学生，表示每天玩手机超过1h的学生，应用全概率公式列方程求即可；
（2）应用条件概率乘法公式求对应条件概率即可.
（1）设表示学校学生近视的学生，表示每天玩手机超过1h的学生，
所以，，PA|B=50% ，
由题意，PA=PA|B⋅PB+PA|B⋅PB，即40%=50%×20%+PA|B⋅80% ，
所以PA|B⋅80%=30%⇒PA|B=38.
（2）由题意及（1）知PB|A=PA|B⋅PBPA=50%×20%40%=14；
16. 如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平交于点．
（1）求证：为棱的中点；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
答案：（1）证明见解析
（2）4
解析：
思路：（1）根据线面平行的性质可得，即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解，或者利用线面角的几何法，得为直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求解.
（1）证明：因为直三棱柱，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以．
又为的中点，所以为的中点．
（2）方法一：由直三棱柱得平面，
又平面，所以，，
所以即为二面角的平面角．
又二面角为直二面角，所以．
如图，以点为原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系．
设，则，，
所以，，．
设为平面的法向量，则即
不妨取，则是平面的一个法向量，
所以．
设直线与平面所成角为，所以，
解之得，即．
方法二：在平面内，过点作，垂足为，连接，
由直三棱柱得平面，又平面，
所以，，
所以即为二面角的平面角．
又二面角为直二面角，所以，即，
又，，平面，所以平面．
又平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角．
设，因为，，
所以，所以，
解之得，即．
17. 已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
（1）求，，，及的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①求，的值；
②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由.
答案：（1），，，，.
（2）①，；②不存在，理由见解析.
解析：
思路：（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式；
（2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值；
②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断.
（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除，
所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列，
所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为，
则，，，，.
（2）①由，得，易得，，，
由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故；
在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故.
②不存在，理由如下：
由题意，即，所以.
假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列，
则，即，化简得.
又因为，所以，
可得，即，
又因为，代入可得，
化简得，则有，即，这与题设矛盾.
所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列
18. 在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿方椭圆”.
（1）写出“曼哈顿方椭圆”的方程，并说出它的对称性，画出它的草图，求它的面积；
（2）已知某“曼哈顿方椭圆”的顶点都在椭圆C：上，则称椭圆C是该“曼哈顿方椭圆”的伴生椭圆.过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点.判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
答案：（1），关于原点、和轴对称，作图见解析，
（2）相切，理由见解析
解析：
思路：（1）根据定义求“曼哈顿方椭圆”的方程，根据方程判断对称性，分析出第一象限的图象根据对称性画出“曼哈顿方椭圆”的图形，利用图形求出面积.
（2）设过点与圆相切的直线方程为，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求出，，联立直线和椭圆，解出的值，设点，，从而得到，，结合条件得到直线方程，然后利用点到直线的距离判断直线与圆相切.
（1）设“曼哈顿方椭圆”上任意一点为，则，即，
所以“曼哈顿方椭圆”的方程为.
将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿方椭圆”关于轴对称；
将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿方椭圆”关于轴对称；
同时将方程中替换为，替换为，方程仍不变，
所以“曼哈顿方椭圆”也关于原点对称.
只需分析出第一象限的图象即可，当，时，方程为；
当，时，方程为，“曼哈顿方椭圆”图形如图所示.
其面积为.
（2）直线与圆相切，理由如下：
设过点与圆相切的直线方程为.
则，，
y=kx+1x216+y2=1⇒16k2+1x2+32kx=0，解得或.
设点，，则，.
直线的斜率为.
故直线的方程为，
又，
将代入，
得到，整理得到，
故直线方程为，即，
因此，圆心到直线的距离为，
即直线与圆相切.
19. 已知函数，.
（1）讨论极值点的个数；
（2）若恰有三个零点和两个极值点.
（i）证明：；
（ii）若，且，证明.
答案：（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析
解析：
思路：（1）根据极值点定义对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，即可得出极值点的个数；
（2）（i）由（1）可知且即可得出结论；
（ii）构造函数通过求导可得其单调性，再利用分析法可得证明即可，构造函数并根据其单调性结合可证明得出结论.
（1）由题知，
设函数，
当时，开口向上，，
所以，在上单调递减，无极值点；
当时，在上有两个解，，
又因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
所以有两个极值点.
综上：当时，无极值点；
当时，所以有两个极值点.
（2）（i）由（1）知：，且，
又因为，
所以.
（ii）由（i）知：，，，
所以，所以.
令，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为时，；时，.
所以.
所以，要证明：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
又因为在上单调递增，
所以只需证.
令，所以，
所以函数在上单调递减；
所以，即.
所以，要证：，只需证：，即证明.
因为，所以，所以.
又因为，
所以，所以.
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以成立.
方法提示：关键点点睛：本题关键在于利用要证明的不等式结构，通过合理变形再利用同构思想构造函数得出其单调性即可证明得出结论.