江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高一下学期6月期末质量检测数学试卷（含答案）

这是一份江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高一下学期6月期末质量检测数学试卷（含答案），共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有一组样本数据：1，2，3，3，5，6，8，则下列说法中，正确的是( )
A. 中位数是5B. 平均数为4C. 极差为6D. 上四分位数为5
2.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a= 3，c= 62，A=45 ∘，则角C等于( )
A. 30 ∘B. 150 ∘C. 60 ∘D. 30 ∘或150 ∘
3.已知复数z满足1+2iz=3−i，则z=( )
A. 1B. 2C. 2D. 5
4.先后抛掷同一枚质地均匀的正方体骰子两次，观察每次朝上的点数．则两次点数之和为7的概率为( )
A. 16B. 536C. 736D. 112
5.已知z=12+ 32i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，则复数2q+piq−pi的虚部为( )
A. −3B. −32iC. −3iD. −32
6.两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们相对于发射源的位移向量分别为SA=1,3，SB=3,1.记粒子B相对粒子A的位移为向量S(即S=SB−SA)，则SA在S上的投影向量为( )
A. 45,−45B. −45,45C. 1,−1D. −1,1
7.已知圆锥的底面半径与球的半径相等，圆锥的侧面积与球的表面积相等，圆锥的体积为8 153π，则球的半径R=( )
A. 3B. 2C. 1D. 154
8.在正三棱锥S−ABC中，侧面与底面所成二面角的平面角为α，侧棱与底面所成的线面角为β，对棱所在异面直线所成的线线角为θ，已知sinα+β+θ= 33，且AB=2，则侧棱SB的长为( )
A. 3B. 2C. 62D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i是虚数单位，复数z=a+i1−i(a∈R)，下列说法正确的是( )
A. 若z为纯虚数，则a=1
B. 若z在复平面内所对应的点在第一象限，则a>1
C. 若z=1+i，则a=2
D. 若z的虚部为1，则a=0
10.已知非零向量a，b满足a=b，且a−b=2a+b，则下列结论正确的是( )
A. a⋅a+2b=0
B. a+b= 3a
C. 向量a与a+b的夹角为π3
D. 若a=1，c=xa+b，x∈R，则c的最小值为 32
11.已知底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，点P在线段A1C上运动，Q是棱AA1的中点，下列命题为真命题的是( )
A. 三棱锥D−PBQ的体积为定值
B. 正四棱柱ABCD−A1B1C1D1外接球的表面积为24π
C. 过点B，Q，C1与四棱柱ABCD−A1B1C1D1所成截面的形状为等腰梯形
D. 存在点P使得D1P⊥B1C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某射击运动员在某次射击训练中5次的成绩(单位：环)如下：7，9，7，4，8，则这次训练成绩的方差为 ．
13.设z∈C，则满足条件z−i=2的点Z的集合表示的图形的面积为 ．
14.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2csA+1=cb且a+2c=4b，则csB= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，▵ABC为直角三角形，∠ABC=90 ∘．
(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；
(2)若AB=3，BC=4，PC=2 2，点M为BC中点，求直线PM与平面PAC所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
某工厂生产的一批零件的长度(单位：mm)的频率分布直方图如下，已知零件长度在20,30的频数为15．
(1)求这批零件的总数，并估计该批零件长度的平均值；
(2)估计这批零件长度的中位数；
(3)用分层抽样的方法从长度在10,20和50,60的零件中抽取6个，再从这6个中随机抽取2个，求这2个零件长度不低于50 mm的概率．
17.(本小题15分)
已知tanπ4+α=3，α∈0,π2．
(1)求sin2α−2cs2α1−tanα的值；
(2)若β∈0,π2，且sinβ=3 1010，求α−β的值．
18.(本小题17分)
如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面为平行四边形，点M，N分别在棱AB，DD1上，且AB=2AM，DN=ND1．
(1)证明：直线DM//平面A1BN；
(2)若AB⊥AD．
(ⅰ)当AB= 2AD，点P为棱CC1上的动点时，求证：DM⊥A1P；
(ⅱ)当AB=2AD=6，异面直线DM与A1N所成角的大小为60 ∘时，求平面A1BN与底面ABCD所成的锐二面角的正切值．
19.(本小题17分)
已知a，b，c分别为锐角▵ABC的三个内角A，B，C的对边，▵ABC的面积记为S，且b2+c2−a2+2bcS=4 3．
(1)求角A；
(2)若b=2，求面积S的取值范围；
(3)若a= 3，E为BC的中点，求线段AE长的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】145
13.【答案】4π
14.【答案】34
15.【答案】解：(1)已知：PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，故PC⊥AB，
又∠ABC=90∘，即AB⊥BC，PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC，
由线面垂直判定定理得：AB⊥平面PBC，
又AB⊂平面PAB，由面面垂直判定定理：平面PAB⊥平面PBC
(2)
过点M 作MH⊥AC 于H，连接PH
由PC⊥ 平面ABC，MH⊂平面ABC，得PC⊥MH；
MH⊥AC，PC∩AC=C，PC,AC⊂平面PAC，所以MH⊥平面PAC，
因此∠MPH 就是直线PM 与平面PAC 所成的角，设为θ，即θ=∠MPH，sinθ=MHPM
AB=3,BC=4,PC=2 2，M是BC 中点，BM=MC=2，
在直角▵ABC中∠ABC=90∘，AC= AB2+BC2= 32+42=5
因为∠HCM=∠BCA，∠MHC=∠ABC，所以▵CHM∽▵CBA，
所以MHAB=MCAC,得MH=AB⋅MCAC=3×25=65，
PC⊥BC，▵PCM为直角三角形，
PM= MC2+PC2= 22+(2 2)2= 4+8= 12=2 3
sinθ=MHPM=652 3=610 3=35 3= 35
所以直线PM与平面PAC所成角的正弦值是 35．

16.【答案】解：(1)长度在20,30的频率为：0.015×10=0.15，频数为15，所以这批零件的总数为15÷0.15=100，
各组频率依次为：
10,20的频率：0.010×10=0.1；20,30的频率：0.015×10=0.15；
30,40的频率：0.020×10=0.2；40,50的频率：0.025×10=0.25；
50,60的频率：0.020×10=0.2；60,70的频率：0.010×10=0.1．
x=0.1×15+0.15×25+0.2×35+0.25×45+0.2×55+0.1×65=41，
该批零件长度的平均值为41mm．
(2)设这批零件长度的中位数为m，
因为0.1+0.15+0.2=0.450.5，所以m∈[40,50),
0.1+0.15+0.2+(m−40)×0.025=0.5，解得m=42．
即这批零件长度的中位数为42mm．
(3)因为10,20的频率为：0.1；50,60的频率为：0.2，则两组的频率之比为，
所以在10,20内抽取的零件个数为6×11+2=2，记为a，b；
在50,60内抽取的零件个数为6×21+2=4，记为c，d，e，f；
则抽取到的2个零件组成的样本空间为：
则Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}，n(Ω)=15；
记事件A为“取出的这2个零件长度不低于50 mm”，
则A={cd,ce,cf,de,df,ef}，n(A)=6，
故这2个零件长度不低于50 mm的概率为P(A)=n(A)n(Ω)=615=25．

17.【答案】解：(1)由tanπ4+α=1+tanα1−tanα=3，解得tanα=12．
又因为sin2α−2cs2α1−tanα=2sinαcsα−2cs2α1−sinαcsα=2csα(sinα−csα)csα−sinαcsα=−2cs2α，
由tanα=12，得cs2α=11+tan2α=45，
故原式=−2×45=−85．
(2)因为sinβ=3 1010，β∈(0,π2)，由同角三角函数关系式得csβ= 1010，tanβ=3．
由(1)分析知，tanα=12，由两角差的正切公式得tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=12−31+32=−1．
由tanα=12