2025--2026学年广东省广州市铁一中学等校高一下册5月学情检测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省广州市铁一中学等校高一下册5月学情检测数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
2. 平行四边形ABCD中，（ ）
A. B. C. D.
3. 已知某圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知为实数，则a的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
5. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
6. 平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且满足，则角C的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（ ）
A. 2B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 正棱柱是平行六面体
B. 用斜二测画法画的水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积是
C. 当z为复数时，
D. 在中，若，则
10. 已知函数的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 当时，的最小值为
D. 当在区间上有最大值且没有最小值时，t的取值范围是
11. 已知，，，，则（ ）
A. 不存在，使得
B. 当时，面积的最小值为
C. 存在，使得当最小时与重合
D. 当且时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则______．
13. 已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______．
14. 设中，，，且点P为的费马点（即满足最小的点），当的内角均小于时，费马点P满足，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）若，求；
（2）若，且，求．
16. 已知向量，．
（1）若与共线，求实数k的值；
（2）若，求的最小值.
17. 已知中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为AB的中点，，．
（1）若，求a；
（2）若，求b．
18. 如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D．
（1）若，证明：；
（2）若，，求a的值；
（3）若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围.
19. 如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点.
（1）记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求；
（2）若，且三棱柱是直棱柱.
（ⅰ）求点E到平面ABF的距离；
（ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程.
数学
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：的最小正周期为．
2. 平行四边形ABCD中，（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：在平行四边形ABCD中，
，
3. 已知某圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由题知该圆锥的轴截面是斜边为2的等腰直角三角形，所以圆锥的高为1，底面半径为1，
所以体积为．
4. 已知为实数，则a的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，由已知为实数，所以，即．
5. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：，，
所以当时取到最大值，当时取到最小值，
所以的值域为．
6. 平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为．
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且满足，则角C的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由展开得，
整理得，
将代入右边得：
，
整理得，
，故．
8. 已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：B
解析：
思路：四个小球球心构成棱长为2的正四面体，其外接球半径可计算得到，大球与四个小球相切，因此球心到小球球心的距离等于大球半径减1，且大球球心与正四面体中心重合，从而得到大球半径，另一方面，计算棱长为的正四面体的外接球半径，令其等于大球半径，解出的值.
解答过程：四个半径为1的小球两两相切，它们的球心之间的距离均为，
因此，这四个球心构成一个棱长为的正四面体，为正四面体中心，
连接并延长交底面于点，为底面中心，连接并延长交于点，
所以，,
所以,
设，所以，所以，所以，
即正四面体外接球半径为，
也是四个小球公共的对称中心，设大球的半径为，大球与四个小球都相切，
由于四个小球被包围在大球内部，它们与大球内切，
因此大球球心到每个小球球心的距离等于，
由对称性，大球球心应与正四面体的中心重合，故.
因为棱长为的正四面体的顶点都在球的表面上，
即球该正四面体的外接球，棱长为的正四面体的外接球半径为.
联立得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 正棱柱是平行六面体
B. 用斜二测画法画的水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积是
C. 当z为复数时，
D. 在中，若，则
答案：BD
解析：
解答过程：正三棱柱是正棱柱但不是平行六面体，故A错误；
原正三角形的面积为，由斜二测画法直观图与原图的面积关系得直观图的面积为，故B正确；
取，则，，故C错误；
记的外接圆半径为，由，得，故，故D正确．
10. 已知函数的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 当时，的最小值为
D. 当在区间上有最大值且没有最小值时，t的取值范围是
答案：ACD
解析：
思路：由图象上零点所在递减区间确定初相判断B；利用函数在零点的值计算出振幅判断A；通过换元求给定区间上的值域，得到最小值判断C；分析正弦型函数在区间上的单调性，确保最大值点在内、最小值点在外，且区间不包含下降段左端点，由此解得参数范围判断D.
解答过程：由，且在递减区间内，得，，
解得，，又，所以，故B错误；
由，得，故A正确；
当时，令，所以，
在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以在最小值为，
即当时，的最小值为，所以C正确；
函数，令，
当时，，当在区间上有最大值且没有最小值，
即在有最大值且无最小值，
如图，所以，所以，故D正确.
11. 已知，，，，则（ ）
A. 不存在，使得
B. 当时，面积的最小值为
C. 存在，使得当最小时与重合
D. 当且时，的最大值为
答案：ABD
解析：
思路：A选项，若，列方程得判断即可；B选项，用三角形面积公式代入进行化简，然后利用基本不等式求最小值；C选项，设出点坐标，然后表示，然后利用配方法得到取到最小值时的坐标进行判断即可；D选项，由得，再由得到点坐标，最后计算并利用基本不等式即可求得最大值.
解答过程：对于A，若，则，
得，由两个等式分别得，，矛盾，故A正确；
对于B，因为，，所以，，，
所以的面积为
，当且仅当，时取等号，故B正确；
对于C，设，
所以
，
当且仅当时，达到最小值，此时，
即与不重合，故C错误；
对于D，由，得，所以，
设，由，得，
所以，，即，
所以，
当且仅当时取等，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则______．
答案：
解析：
解答过程：，所以，，．
13. 已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______．
答案：
解析：
解答过程：圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，高 ，
所以母线长 ，
侧面积 ，
上底面积 ，下底面积 ，
表面积 ．
14. 设中，，，且点P为的费马点（即满足最小的点），当的内角均小于时，费马点P满足，则______．
答案：
解析：
思路：利用三角形面积公式，将大三角形分割成三个小三角形，面积之和等于大三角形面积，得到三边乘积之和的关系，再分别在三个小三角形中用余弦定理，得到三边平方与交叉项的三个方程，通过联立求解，最终得到三边之和的平方，开方即得结果.
解答过程：由余弦定理得，由，所以，所以的内角均小于.
设，，，由，
得，即．
在中，由余弦定理得，整理得，
同理可得，，
三式相加得，即，
所以，所以，即．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）若，求；
（2）若，且，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据诱导公式及共轭复数的概念求解；
（2）根据复数的模及同角三角函数的基本关系求解.
（1）因为，
，
（或）
所以，所以．
（2），
所以，因为，所以，
，
所以.
16. 已知向量，．
（1）若与共线，求实数k的值；
（2）若，求的最小值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量的坐标运算计算出两个向量的坐标表达式，利用两向量共线的条件建立关于参数 的方程，解方程即得结果；
（2）将所求模的平方用已知向量的模和数量积表示，得到关于参数 的二次函数，通过配方求出二次函数的最小值，开方后即为模的最小值.
（1）因为，，所以，．
因为与共线，所以 ，
所以．
（2）因为，，所以，，
所以
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
17. 已知中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为AB的中点，，．
（1）若，求a；
（2）若，求b．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用已知角的余弦值求出其正弦值，再通过正弦定理建立已知边与所求边的比例关系，从而解出所求边长；
（2）在第一个三角形中，利用余弦定理建立关于未知边长的方程，求解得到该边长；再在第二个三角形中，利用余弦定理计算另一条边的平方，开方即得结果.
（1）在中，，，
由同角三角函数的基本关系得，
由正弦定理得，即，所以．
（2）在中由余弦定理得，
因为，所以，解得，
在中，由余弦定理得，所以.
18. 如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D．
（1）若，证明：；
（2）若，，求a的值；
（3）若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围.
答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）用中点公式表示 ，结合 ，再通过向量减法得到 ；
（2）引入未知的比例系数，将相关向量都用两个不共线的基底表示，利用向量相等的条件，将各分向量表达式代入，得到关于两个未知数的方程组，解方程组求得目标系数.
（3）设 ，将数量积表示为 的二次函数，由 求值域.
（1）证明：因为点为的中点，所以，
因为，所以，
所以.
（2）设，
由，
得，
即，
即，
因为，不共线，所以，解得.
（3）因为是边长为2的正三角形，点为的中点，
所以，，，
设，
则，
因为，所以，
所以的取值范围是.
19. 如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点.
（1）记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求；
（2）若，且三棱柱是直棱柱.
（ⅰ）求点E到平面ABF的距离；
（ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程.
答案：（1）；
（2）（ⅰ）（ⅱ）
解析：
思路：（1）利用中点性质及几何分割，得出三棱锥体积与三棱柱体积的固定比例；
（2）（ⅰ）先用勾股定理证明三角形为直角三角形并计算面积，再通过等体积法，由已知体积反推高；
（ⅱ）将三棱柱的侧面展开为平面，考虑三种不同的展开方式，分别计算两点间的直线距离，取最小值即为最短路径,
（1）因为，点，分别为棱，中点，
所以，，所以，
所以，,所以，
所以，
所以．
（2）（ⅰ）如图1，因为三棱柱是直棱柱，所以，
因为，所以三棱柱的体积，
由（1）知三棱锥的体积为，
在中，，
，，
所以，的面积，
设点到平面的距离为，则，即，
所以．
（ⅱ）沿三棱柱表面从点到点有三种路径：
（1）经过平面与平面，如图2沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为．
（2）经过平面与平面，如图3沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为．
（3）经过平面与平面，如图4沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为．
因为，
所以蚂蚁沿三棱柱表面从点爬行到点的最短路程为．