广东广州市铁一中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

这是一份广东广州市铁一中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷，共40页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数的共轭复数在复平面内对应的点位（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.，为单位向量，当，的夹角为135°时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.在空间中，下面命题为假命题的个数是（）
①过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直
②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行
③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
④过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.气象台A在早上8:00观测到一台风, 台风中心在气象台A正西方向300km处, 它正向东北方向移动,移动速度的大小为40km/h;距离台风中心100km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变, 该气象台受到台风影响的时段为（ ）
A. 12:00-17:00B. 13:00-18:00C. 13:00-17:00D. 14:00-18:00
6.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是37.7834；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过（ ）天．（参考数据：，）
A. 130B. 230C. 150D. 115
8.已知四边形ABCD是圆内接四边形，，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中，正确的是（）
A. 对于向量，若，，则
B. 向量，可作为所在平面内的一组基底
C. 对于向量，有
D. 设为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件
10.表示不超过实数的最大整数，如：．已知函数为奇函数，函数，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称
B. 函数的值域是
C. 函数有3个零点
D. 方程在区间上有3个实数根
11.如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上，，F是垂足，G在BD上，，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 直线与直线所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的余弦值为．
D. 若平面平面，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则实数 .
13.定义：，则 ．
14.已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设是两个不共线的向量，已知，，．
(1)求证：三点共线；
(2)若与不共线，试求的取值范围．
16.(本小题15分)
已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
17.(本小题15分)
在中，角的对边分别为，若，为边上一点．
(1)求角的大小；
(2)若且，求的周长．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔．德费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何最值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试根据以上知识解决下面问题：
(1)若，求的最小值；
(2)在中，角所对应的边分别为，点为的费马点．
①若，且，求的值；
②若，求实数的最小值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】AD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为
，
所以与共线．
因为与有公共点，所以三点共线．
（2）假设与共线，则存在实数，使．
因为不共线，所以,所以．
因为与不共线，所以．

16.【答案】解：（1）
=，
因为f（x）相邻的对称轴之间的距离为，
所以f（x）的最小正周期为π，所以，解得ω=1，
所以，
令，则，
所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z；
（2）由（1）知，，
将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得：，
令，，则，
所以，因为在上只有一个解，

由y=2sint的图象可得，或，
所以m的取值范围是．
17.【答案】解：（1）根据正弦定理，由
可得，
，
则，
整理得
，则，
得，即，
，
则，即．
（2）如图，由（1）可知，，设，则，
设，则，
在中，根据余弦定理，，
在中，根据余弦定理，，
所以，
整理可得，即．
则在中，根据余弦定理，，
整理得，即，
解得或（舍去），
所以，
所以，的周长为．

18.【答案】解：（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则，
又平面平面，所以平面；
（2）由平面平面，得，
连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，，
又平面，平面，
由平面，所以平面平面；
（3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
故为二面角的平面角，即
设，在中，，作，垂足为，
由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面，
则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，
在中，，
所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.

19.【答案】解：（1）设 ，则 表示点 到 三顶点 的距离之和.
依题意结合对称性可知 的费马点位于虚轴的负半轴上，
且 ，则 .
此时 .
所以 的最小值为 ；
（2）①因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
因为 ，由正弦定理可得 ，所以 是等边三角形，
因为点 为 的费马点，所以点 为 的中心，
由正弦定理可得 ．
所以 .
②因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 或 ，解得 （舍去）或 ，
设 ， ，且 ，则​​​​​​​
所以由余弦定理可得 ，
，
，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 或 （舍去）,
易知当 时等号成立，所以实数 的最小值为 ．