2025--2026学年广东省佛山市顺德德胜学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省佛山市顺德德胜学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 2B. 2或C. D.
2. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，，则角A的大小为（ ）
A. B. 或C. D. 或
4. 已知为不共线的非零向量，，，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
5. 要得到函数y=sin(2x+)的图像,只需把函数y=sin2x的图像
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8. 如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则的虚部为
C. 若，则D. 若，则
10. 已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若是的重心，则
C. 若为的垂心，，则
D. 若分别表示的面积，则
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可以得到的图象
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 若函数在有且仅有4个零点，则的取值范围是
三、填空题
12. 已知，，则在方向上的投影向量为______（用坐标表示）
13. 已知，则=________.
14. 如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________.
四、解答题
15. 已知平面向量．
（1）若，求的坐标和；
（2）若，与共线，求实数m的值；
（3）若在上的投影的数量为2，求．
16. 已知中，分别为内角的对边，且，
（1）求角的大小；
（2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
17. 石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米．
（1）求该石凳的体积；
（2）求该石凳的表面积（不包含底面）．
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．
19. 在面积为的中，内角，所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的周长；
（3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围.
数学
本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．
一、单选题
1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 2B. 2或C. D.
答案：C
解析：
思路：根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.
解答过程：因为复数为纯虚数，则有，解得，
所以实数的值为.
故选：C
2. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据向量垂直的坐标表示直接列方程，解方程即可.
解答过程：由已知，，且，
则，
解得，
故选：B.
3. 在中，，，则角A的大小为（ ）
A. B. 或C. D. 或
答案：D
解析：
思路：利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
解答过程：由题意知中，，，
故，即，
由于，故，则或，
故A的大小为或，
故选：D
4. 已知为不共线的非零向量，，，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
答案：B
解析：
思路：将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
解答过程：对于A，因为，，则，
若，则，又为不共线的非零向量，
则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误，
对于B，因为，，，则，
所以，则三点共线，故B正确，
对于C，，，若，则，
又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误，
对于D，由选项A知，又，若，则，
又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误，
故选：B.
5. 要得到函数y=sin(2x+)的图像,只需把函数y=sin2x的图像
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
答案：B
解析：
思路：将目标函数变为，由此求得如何将变为目标函数.
解答过程：依题意，目标函数可转化为，故只需将向左平移个单位，故选B.
方法提示：本小题主要考查三角函数图像变换中的平移变换，属于基础题.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：将已知的两个等式分别平方，然后相加得到一个关系式，然后利用三角函数的两角差公式来求解.
解答过程：因为，
所以分别平方得：①
②
①+②得.
进一步化简得：，所以.
因为，所以.
故选：A.
7. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
答案：D
解析：
思路：利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解.
解答过程：由及正弦定理，得
,
所以,
所以,
即，
即，解得或,
当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形;
当时，又，所以，所以为直角三角形;
综上所述，为等腰或直角三角形.
故选：D.
8. 如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意结合余弦定理求得，从而可求得，设，则，利用二次函数的性质即可求解.
解答过程：因为是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，
又，
，
则，即，
设，
则
又，则时，取最小值.
故选：C
二、多选题
9. 下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则的虚部为
C. 若，则D. 若，则
答案：ACD
解析：
思路：根据复数的运算､复数的概念､复数模的计算及几何意义判断各选项.
解答过程：对于A，，则，故A正确；
对于B，，则的虚部为，故B不正确；
对于C，设，由得，所以，故C正确；
对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确.
故选：ACD.
10. 已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若是的重心，则
C. 若为的垂心，，则
D. 若分别表示的面积，则
答案：BCD
解析：
思路：对于A，由数量积的定义，可得夹角余弦值小于零，可得其正误；对于B，由重心的性质，根据平面向量的加法，可得其正误；由垂心的定义，根据数量积定义式以及锐角三角函数，可得其正误；对于D，由平面向量的加法与数乘，可得点的位置，根据三角形的等积变换，可得其正误.
解答过程：对于A，由，则，即，
所以仅仅只可得一个角为锐角，故A错误；
对于B，由题意可作图如下：
则为的中点，且，所以，故B正确；
对于C，由题意可作图如下：
则，所以，故C正确；
对于D，由题意可作图如下：
则分别为的中点，，
可得为上靠近的三等分点，易知，即，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可以得到的图象
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 若函数在有且仅有4个零点，则的取值范围是
答案：ABD
解析：
解答过程：由图像可知，振幅；最高点横坐标为，相邻零点横坐标为，
因此，最小正周期，则；
将代入，得，
即，结合得，因此，
选项A：的最小正周期，A正确；
选项B：将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），横坐标变换为，
代入得：，B正确；
选项C：将代入：
，
因此不是对称中心，C错误；
选项D：，
当时，，
要求有且仅有4个零点需满足：，解得，D正确.
三、填空题
12. 已知，，则在方向上的投影向量为______（用坐标表示）
答案：
解析：
解答过程：因为，，所以在方向上的投影向量为.
13. 已知，则=________.
答案：
解析：
解答过程：由题可得：,
所以
14. 如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________.
答案： ①. ②.
解析：
思路：利用正弦定理、余弦定理求解即可.
解答过程：在中， ，
根据正弦定理，代入，，，
得，解得.
在中，，，，
所以，且，
根据余弦定理，在中，，
代入得，
因此.
故答案为.
四、解答题
15. 已知平面向量．
（1）若，求的坐标和；
（2）若，与共线，求实数m的值；
（3）若在上的投影的数量为2，求．
答案：（1），
（2） （3）
解析：
思路：（1）由向量加法、模的坐标计算公式求解即可；
（2）由向量共线的充要条件列式求解即可；
（3）由投影数量的定义、数量积的运算律即可求解.
（1）因为，
所以，
从而．
（2）因为，所以
因为与共线，所以，即．
（3）因为在上的投影的数量为2，，所以，
所以．
16. 已知中，分别为内角的对边，且，
（1）求角的大小；
（2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
答案：（1）
（2）2
解析：
思路：（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案
（2）利用三角形的面积关系解出即可
（1）在中，由正弦定理及得：，
化简可得：，
由余弦定理得，
又，所以
（2） 是的角平分线，则，
由可得
因为，，即有，
故.
17. 石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米．
（1）求该石凳的体积；
（2）求该石凳的表面积（不包含底面）．
答案：（1）该石凳的体积立方厘米
（2）该石凳的表面积平方厘米
解析：
思路：（1）由体积公式即可直接求解；
（2）由表面积概念，逐个面计算即可求解.
（1）由题意可得正方体的体积立方厘米，
四面体的体积立方厘米，
则该石凳的体积立方厘米
（2）由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形IJKL是边长为厘米的正方形，
则的面积平方厘米，
正方形的面积平方厘米，
五边形的面积平方厘米，
故该石凳的表面积平方厘米．
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．
答案：（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）解析：
思路：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对进行化简，根据正弦函数性质列不等式计算即可求出答案；
（2）利用换元法令，根据的范围求出的范围，结合正弦函数图象求出的范围，即可求出在上的值域，即可求出答案；
（3）求出变换后的函数解析式，将函数的零点转化为方程的解，求出的值，再结合，即可求出在上的零点，求和即可得到答案.
（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）令，因为，所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为，，所以，
所以当时，取得最大值，
即，则，
则在区间上的最大值为，最小值为.
（3）函数的图象向左平移个单位得，
纵坐标伸长为原来的2倍得，
所以，
令，即，
所以或，
即或，
又，所以只能取，所以或或或，
即函数在上的零点为，
所以函数在上所有零点之和为.
19. 在面积为的中，内角，所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的周长；
（3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角.
（2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长.
（3）根据三角形面积公式得到与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出面积的取值范围.
（1）由正弦定理得，所以，
所以，由余弦定理，，
因，则.
（2）由余弦定理，，即，
又，由条件知，所以，
所以，，.
所以周长为.
（3）由可得：
由正弦定理，，即得：，
则
由为锐角三角形可得，，解得：，
则，，故得，
即面积的取值范围为.