2025--2026学年广东深圳市光明区光明中学高二下册续期期中考试数学试题 [含解析]

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1. 已知数列的前项和，则等于（ ）
A. 15B. 18C. 21D. 24
2. 给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后2个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有
A. 8本B. 9本C. 12本D. 18本
3. 已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，该运动员的滑雪速度为（ ）
A. B. C. D.
4. 的展开式的第7项为（ ）
A. B. 35C. D.
5. 在单调递减的等比数列中，若，，则（ ）
A. 9B. 3C. D.
6. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
7. 现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）

A. 180种B. 192种C. 300种D. 420种
8. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分、部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. B.
C. 为常数D. 为等比数列
10. 下列数中，与不相等的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的极值点为B. 的极大值为
C. 的最大值为D. 只有1个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上
12. 已知，则__________．
13. 函数在上是增函数，则的取值范围是_____________.
14. 已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值．
16. 已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
17. 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
18. 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列.
（1）若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求；
（2）若，且满足，
（i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论；
（ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若函数有2个不同的零点．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列的前项和，则等于（ ）
A. 15B. 18C. 21D. 24
答案：C
解析：
思路：根据即可求解.
解答过程：由可得，
故选：C
2. 给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后2个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有
A. 8本B. 9本C. 12本D. 18本
答案：D
解析：
思路：先安排首字符，再安排后面的两个字符，再利用分步计数乘法原理求解.
解答过程：先安排首字符有种，再安排后面的两个字符有种，
所以由分步计数原理得，不同的编号共有种，
故选：D
3. 已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，该运动员的滑雪速度为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据导数的几何意义，对求导，再将代入求解即可.
解答过程：因为，所以，
故，
所以该运动员的滑雪速度为.
故选：B.
4. 的展开式的第7项为（ ）
A. B. 35C. D.
答案：A
解析：
思路：根据展开式通项写出第7项即可．
解答过程：由题意可得二项式展开式的通项为：，
将代入上式，可得：，
所以的展开式的第7项为．
故选：A．
5. 在单调递减的等比数列中，若，，则（ ）
A. 9B. 3C. D.
答案：A
解析：
思路：利用等比数列的通项公式可得，结合条件即求.
解答过程：设等比数列的公比为，则
由，，得
，解得或，
又单调递减，
故，.
故选：A.
6. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据函数的奇偶性排除BD，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解.
解答过程：函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故排除BD；
当时，，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以函数在上单调递增，故排除C
故选：A.
7. 现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）

A. 180种B. 192种C. 300种D. 420种
答案：D
解析：
思路：先涂区域，再涂区域，然后涂区域，分区域与区域同色、区域与区域不同色两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得.
解答过程：先涂区域有种选择，再涂区域有种选择，然后涂区域有种选择，
若区域与区域同色，此时区域有种选择，
若区域与区域不同色，则区域有种选择，区域有种选择，
故有种涂色方法.
故选：D
8. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可.
解答过程：易知函数的定义域为，
设切点坐标为，则可得，
此时切线斜率为，因此切线方程为，
代入点可得，即，
解得，即切点坐标为.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分、部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. B.
C. 为常数D. 为等比数列
答案：ACD
解析：
思路：根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可.
解答过程：设公比为，则，解得，故，
则，.
对A，，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，为常数，故C正确；
对D，，，故为等比数列，故D正确；
故选：ACD
10. 下列数中，与不相等的是（ ）
A. B. C. D.
答案：AB
解析：
思路：根据排列数和组合数的运算分别计算，即可得到答案.
解答过程：，
A选项，，与不相等；
B选项，，，
所以，
与不相等；
C选项，；
D选项，.
故选：AB.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的极值点为B. 的极大值为
C. 的最大值为D. 只有1个零点
答案：BCD
解析：
思路：利用导函数可得，进而可求函数的极值，可判断ABC，利用对数函数的性质可判断D.
解答过程：∵函数，
∴，
由，得，由，得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴是函数的极大值点，函数在上取得极大值，，且为函数的最大值，故Ａ错误，BC正确；
又因为，且当时，，当时，，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上
12. 已知，则__________．
答案：
解析：
思路：应用赋值法求得、，即可求值.
解答过程：令，则，
令，则，
所以.
故
13. 函数在上是增函数，则的取值范围是_____________.
答案：
解析：
思路：根据函数单调性与导数的关系，得在上恒成立，由此求解即可．
解答过程：∵函数，∴，
∵函数在上是增函数，
∴在上恒成立，
∴，解得，
∴实数的取值范围是．
故．
14. 已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______.
答案： ①. 2 ②. 3989
解析：
思路：将数列各项排成三角数阵，确定的位置，可得出的值，确定数列的前项中，项的值为的项数，即可求得的值.
解答过程：由题意，将数列各项按如下数阵排列：
其中第行有项，
则该数阵中第行最后一项对应数列中的第项，
因为，且，
所以位于数阵的第行第项，故，
数列的前项中，项的值为的共项，项的值为的共项，
因此.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值．
答案：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）最大值为16，最小值为.
解析：
思路：(1)利用导数求解函数的单调区间即可.
(2)利用导数求解函数在闭区间上的最值即可.
（1）令.则，
则当和时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）由(1)知当时，取极大值为，当时，取极小值为，
，则在上最大值为16，最小值为.
16. 已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据给定条件，利用，结合等比数列定义求出通项公式.
（2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得.
（1）时，，整理得，而，
因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，
于是，
两式相减得，
所以.
17. 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
答案：（1）1200
（2）3600 （3）3456
解析：
思路：（1）采用分步计数原理，特殊元素先排计算出结果即可；
（2）采用分步计数原理，特殊元素先排，再用插空法即可；
（3）先分三类，一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目；另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目；最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个；再分步计算，最后求和即可.
（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：
先排第1个节目，有种安排方法，
再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，
最后余下的节目随便排，有种排法，
由分步计数原理得共有种排法.
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，
将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，
故种排法.
（3）前3个节目共三种情况：
一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，
另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，
最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个，有种排法，
故共有种排法.
18. 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列.
（1）若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求；
（2）若，且满足，
（i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论；
（ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）1，4，9，16；，；
（2）（i）不是，证明见解析；（ii）
解析：
思路：（1）由二阶等差数列的定义，计算可得数列的前4项，由数列恒等式和等差数列的求和公式，可得；
（2）（i）由数列的递推式推得，由等比数列的通项公式求得，，，由二阶等差数列的定义，可得结论；（ii）由等比数列的求和公式可得，由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
（1）若，，，
则，即，
由，可得，
则，可得，，解得，
由，
可得，
上式对也成立，即有，；
（2）（i）若，且满足，可得，
即，即有，
可得数列是首项和公比均为3的等比数列，即有，即，
可得，，不为非零常数，故不为二阶等差数列；
（ii）数列的前n项和，
不等式，即，即为对恒成立．
设，，
当时，，当时，可得，即有，
可得数列中最小项为，
则，即有，则实数的取值范围是
19. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若函数有2个不同的零点．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
答案：（1）极小值为，无极大值．
（2）（i）（ii）证明见解析
解析：
思路：（1）根据题意，求得，令，求得，得到的单调性，进而求得函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解.
（2）（i）由题意得，令，求得，得到在单调递增，再令，得到在有2个零点，且，进而得到，求得函数，即可求解；
（ii）根据题意，转化为证明，设，得到，令，求得，得到，进而转化为，令，利用导数求得单调性，结合，即可得证.
（1）解：当时，函数，可得，
令，则，
当时，；当，，
所以在单调递减，在单调递增，
因为时，，则，，
所以当时，；，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
（2）解：（i）由函数，
令，因为，所以在单调递增，
令，即在有2个零点，且，
因为，所以时，，在单调递增，
此时不存在2个零点，所以，
因为时，；时，，所以在单调递减，
在单调递增，因为时，；时，，
所以，所以．
（ii）证明：由，可得，即证，即证，
不妨设，因为，
由（i）知，，
令，则且，
又因为，可得，即，
所以，可得，所以，
则，
所以等价于，即，
即为，
令，则，
所以在单调递增，所以，
即，可得，所以，即可得证.