2025--2026学年广东佛山市第三中学高二下册期中阶段检测高二数学试题 [含解析]

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第I卷（共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列的前项和为，则（ ）
A. 35B. 11C. D.
2. 已知数列中，，且为等比数列，则（ ）
A. 50B. 90C. 162D. 242
3. 函数点处的切线方程为，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 6
4. 已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
5. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ）
A. 20B. 24C. 48D. 72
8. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列满足，其前项和为，且，则（ ）
A. B. 是递减数列
C. D. 是等差数列
10. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A. 是函数的极值点
B. 是函数的极值点
C. 在区间上单调递增
D. 是函数的极值点
11. 现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（ ）
A. 若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种
B. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有360种放法
C. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种
D. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种
第Ⅱ卷（共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是等比数列的前项和，，则__________．
13. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成______个没有重复数字且可以被5整除的4位数（结果用数字作答）
14. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为_____________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
16. 有4名男生､3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）.
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，女生互不相邻；
（3）全体排成一排，已知甲､乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾；
17. 已知函数在处取得极大值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的零点的个数．
18. 已知数列满足
（1）求的通项公式；
（2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
数学
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列的前项和为，则（ ）
A. 35B. 11C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，即，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列，
则，所以.
2. 已知数列中，，且为等比数列，则（ ）
A. 50B. 90C. 162D. 242
答案：B
解析：
思路：设其公比为，根据题意，求得，结合等比数列的通项公式，即可求解.
解答过程：由，可得，
因为数列为等比数列，设其公比为，可得，
则，所以.
3. 函数点处的切线方程为，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 6
答案：D
解析：
解答过程：由题意已知，可得.
4. 已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：求导，根据导函数的符号确定的减区间.
解答过程：解：函数的定义域为，
，
当时，单调递增，当时，单调递减；
的减区间是．
5. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：根据题意，三人的选择组合共有种，
其中看同一部电影的情况有种，
所以三人看同一部电影的概率为．
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案.
解答过程：依题意，，
令，得，
，
所以
，
当时上式也符合，所以，则，
所以.
7. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ）
A. 20B. 24C. 48D. 72
答案：D
解析：
解答过程：
如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色，
以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类：
第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ，
第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ，
由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确.
8. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：设，则，所以在上单调递增，则，即，所以.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列满足，其前项和为，且，则（ ）
A. B. 是递减数列
C. D. 是等差数列
答案：ACD
解析：
思路：求出的值，分析可知数列为等比数列，确定该数列的公比，可得出数列的通项公式，可判断AB选项；利用等比数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的定义可判断D选项.
解答过程：因为数列满足，所以，，
所以，故，A对，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
故数列是单调递增数列，B错，
，C对，
，故数列是等差数列，D对.
故选：ACD.
10. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A. 是函数的极值点
B. 是函数的极值点
C. 在区间上单调递增
D. 是函数的极值点
答案：BD
解析：
思路：由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可.
解答过程：由图可得，当，，单调递减，当，，单调递增，
可知是函数的极值点，故A正确，不是函数的极值点，故B错误，
当，，故在区间上单调递增，故C正确，不是函数的极值点，故D错误.
11. 现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（ ）
A. 若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种
B. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有360种放法
C. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种
D. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种
答案：AC
解析：
思路：对于相同小球的放置问题，可利用隔板法;对于不同小球的放置问题，可根据分步乘法计数原理，结合排列组合的相关知识进行求解。
解答过程：对于A，6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有种情况，
然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，所以不同的放法种数为种，故A正确；
对于B，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有种，故B错误；
对于C，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个空盒，先指定空盒的编号，有种情况，
然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为4､1､1或3､2､1或2､2､2，
然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子，不同的放法种数为C41C64C21C11A22+C63C32C11+C62C42C22A33A33=2160 ，故C正确；
对于D，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，先指定空盒的编号，有种情况，
然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为5､1或4､2或3､3，
然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中的放法共有C42C65+C64+C63C33A22A22=372 ，故D错误.
第Ⅱ卷（共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是等比数列的前项和，，则__________．
答案：381
解析：
解答过程：由题知，，且
因为成等比数列，
该等比数列的首项为3，公比为2，
则.
13. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成______个没有重复数字且可以被5整除的4位数（结果用数字作答）
答案：
解析：
思路：根据分类，分步计数原理，先安排个位数字，再安排其他数位的数，即可求解.
解答过程：当个位数为时，有种；
当个位数为时，千位数不能为，从中选一个放在千位，有种，
百位和十位，从剩下的个数中任选两个的排列，有种，
则有种；
综上：满足题意的位数共有个.
14. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为_____________.
答案：
解析：
思路：分析可知在区间内恒成立，整理可得，结合对勾函数单调性运算求解.
解答过程：由题意可知：在区间内恒成立，
可得在区间内恒成立，
因为在区间内单调递增，则，
可得，所以实数的取值范围为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式；
（2）分析和两种情况，即可数列的前n项和．
（1）当时，，即，
当时，，
时，满足上式，所以.
（2）.令，解得，且，
所以当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：．
16. 有4名男生､3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）.
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，女生互不相邻；
（3）全体排成一排，已知甲､乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾；
答案：（1）720 （2）1440
（3）3720
解析：
思路：（1）利用相邻问题捆绑法列式求解.
（2）利用不相邻问题插空法列式求解.
（3）利用全排列问题，结合排除法列式求解.
（1）依题意，女生相邻，先排3名女生，有种；
再将这3名女生捆绑到一起，看成1人，这1人和4名男生排成一排，有种，
所以全体排成一排，女生必须站在一起有种.
（2）先排4名男生，有，这4名男生产生5个空隙，
在这5个空隙中插入3个女生，有种，
所以全体排成一排，女生互不相邻有种.
（3）7人全排列有，甲站在排头的有种，
乙站在排尾的有种，甲站在排头且乙站在排尾的有种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的有种.
17. 已知函数在处取得极大值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的零点的个数．
答案：（1），
（2）函数的零点的个数为1
解析：
思路：（1）根据极大值点导数为0及列方程求解，再检验即可；
（2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理即可得解.
（1）对求导得，
由，且，解得，．
经检验，，符合题意，所以，．
（2）由，
令或
令，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
所以可得函数的极小值为，又极大值为，
而，
综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间内．
18. 已知数列满足
（1）求的通项公式；
（2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案；
（2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可.
（1）解：因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足，
故的通项公式为．
（2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为，
所以，即，，
所以①
②
①－②得：，
所以．
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.