福建省泉州市四校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份福建省泉州市四校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题（含答案），共100页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1 ．若f (x) = ln (2 - x) - x ，则 ( )
A ．0 B ．2 C ．－2 D ．－4
2 ．某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有 300 件，200 件，100 件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为 ，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为( )
A．
97
120
B．
77
120
3 C ．
5
D．
3
4
3 ．设A ，B 是一个随机实验中的两个事件，若P ，则P ( )
1 1 1 1
A ． B ． C ． D ．
6 4 3 2
4 ．已知(x2 - x + 2)5 = a0 + a1x + a2x2 +…+ a10x10 ，则 a3 = ( ).
A ．-120 B ．-160 C ．-200 D ．-440
5 ．某中学准备在校园科技节展示 5 款不同的 AI 学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、
即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式．
A ．12 B ．24 C ．36 D ．48
6 ．盒中有10 个玩具，其中有3 个是坏的，现从盒中随机地抽取2 个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是( )
3 7 7 8
A ． B ． C ． D ．
10 9 8 9
7 ．若函数y = f (x) 的导函数y = φ (x) = f , (x) 图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A ． φ, (x) < 0 的解集为(-∞, -3)
B ．函数y = f (x)有 2 个极值点
C ．函数y = f (x) 的单调递增区间为(-1,+∞ )
D ．-3 是函数y = f (x) 的极小值点
8 ．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共 10 张券，客户从中任意抽取 2 张，若至少抽中 1 张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加 1 次抽奖活动，一个月（30 天）下来，发现自己共中奖 11 次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有( )
A ．1 张 B ．2 张 C ．3 张 D ．4 张
二、多选题
9 ．下列各式正确的是( )
A ．已知CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(x),1)2 = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),1)EQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(x),5)-5 ，则 x 的取值为 6 或 7
B ．CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),3) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),4) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),5) +…+ CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),2)025 = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),2026) -1
C ．将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有 70 种不同放法
D ．(2 - x )(1- x )4 的展开式中x3 的系数为-14
10 ．下列说法正确的是( )
A ．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M = “ 出现奇数点”，事件 N = “ 出现3 点或4 点”，则 M和N 相互
独立
B ．已知随机变量X 服从正态分布N(2, σ 2)，且P(X < 4) = 0.9 ，则P(0 < X < 2) = 0.4
C ．甲、乙、丙三人均准备在3 个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，
1
恰有2 个景点未被选择的概率是 7
D ．E (2X + 3) = 2E(X )+ 3 ，D (2X + 3) = 2D(X )+ 3
11 ．已知函数f (x) = x3 + 3x2 + ax + b, $b ∈ R ，使得f (x)有三个零点x1，x2，x3 ，且x1 < x2 < x3 ，则下列说法
正确的是( )
A ．a 的取值范围为(-∞,3) B ．x2 < -1 < x3
C ．若f (2 - x) + f (x - 4) >4 ，则 b > a D ．函数f (x)在三个零点处的切线斜率的倒数之和为 0
三、填空题
12 ．6 名学生参加数学竞赛，决出第 1 名到第 6 名的名次（没有同分或者并列的情况）. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第 1 名，也不是第 6 名”，对乙说：“你和甲的名次相邻” .从这个回答分析，6 人的名次排列共可能有 不同的情况.（用数字作答）
13 ．已知函数f (x) = m2lnx + x2 - 3mx 在x = 1 处取得极大值，则实数m 的值为
14．2026 年春节，甲，乙等 5 个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有 1 个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外 4 个人等可能地领到．记第 n 次发出红包的人是乙的概率为an ．则a4 = ，an = ．
四、解答题
15 ．在①第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是14 : 3 ，②第 2 项与倒数第 3 项的二项式系数之和为 55 ，③ CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),n)+1 - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n),n)-2 = 10 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．
问题：已知在 n 的展开式中， ．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中含x2 的项．
16 ．已知函数f ex ax2 + ax
(1)当a = 1 时，求曲线y = f (x)在点(2,f (2))处的切线方程；
(2)当x ≥ 2 时，f (x )≥ 0 恒成立，求a 的取值范围．
17 ．2026 年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过 500 元（含 500 元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.
方案一：从装有 10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球 2 个，白球 3 个，黑球 5 个）的抽奖盒中，一次性摸出 3 个球.其中奖规则为：若摸到 2 个红球和 1 个白球，享受免单优惠；若摸出 2 个红球和 1 个黑球，则消费金额打五折；若摸出 1 个红球，2 个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折.
方案二：从装有 10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球 4 个，黑球 6 个）的抽奖盒中，有放回每次摸取 1 球，连摸 3 次，每摸到 1 次红球，立减 100 元.
(1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500 元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率；
(2)若某顾客消费恰好满 800 元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
18 ．已知函数f (x) = ln x - mx2 + (1- 2m)x +1 ，g
(1)若m = 1，求 f (x) 的极值；
(2)讨论f (x) 的单调性；
(3)若0 < x1 < x2 ，且满足g(x1) = g (x2) ，证明：
19 ．某省2021 年开始将全面实施新高考方案．在6 门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5 个等级，各等级人数所占比例分别为15% 、35% 、35% 、13% 和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得 A 等级的共有 10 名学生，其原始分及转换分如下表：
现从这 10 名学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中生物转换分不低于95 分的人数为X ，求 X 的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布N(75.8，36) ．若Y ~ N(μ, σ 2) ，令 ，则
η ~ N(0,1) ，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省800 名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71 分的学生人数，求P(ξ = k)取得最大值时k 的值．
附：若η ~ N(0,1) ，则 P(η „ 0.8) ≈ 0.788 ，P(η „ 1.04) ≈ 0.85 ．
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
参考答案
1 ．C
【详解】f ,
所以f
因为 EQ \* jc3 \* hps18 \\al(\s\up 2147483646(l),Δ) f , = -2 .
故选：C .
2 ．A
【详解】设任取一件甲产品为事件A ，任取一件乙产品为事件B ，任取一件丙产品为事件C ，设任取一件是合格品为事件D ，
则P 故P
3 ．C
【详解】因为 P(A) = ，所以 P(A) = 1- P(A) = .
又P+ P
且P ，所以 P(AB ) = ，P (B∣A) = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(P),P)()) = = .
2
4 ．C
【详解】依题意，(x2 - x + 2)5 展开式中含x3 的项为CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(1),5)x2 CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(1),4)( - x) CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),3)23 + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),5)( - x)3 CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),2)22 = -200x3 ，
所以a3 = -200 .
5 ．B
【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) = 2 ，
将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) = 2 ，
2 个元素排完后会产生 2 +1 = 3 个空位，
又因为文心一言和讯飞星火不相邻，
所以从 3 个空位中选 2 个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),3) = 3 ´ 2 = 6 ，
所以总方法数为：AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) ´ AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) ´ AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),3) = 2 ´ 2 ´ 6 = 24 .
6 ．C
【详解】记事件 A:从盒中随机地抽取2 个，至少有一个玩具是坏的，记事件B:从盒中随机地抽取2 个，恰好为一个是好的，一个是坏的，则P
由条件概率公式可得P
7 ．D
【详解】对 A：由图可得，y = φ (x )在(-∞, -2) 、(-1,+∞ )上单调递增，在(-2, -1)上单调递减，故φ, (x)< 0 的解集为(-2, -1)，故 A 错误；
对 B 、C 、D：由图可得，当x ∈(-∞, -3)时， f , (x ) < 0 ，
当x ∈(-3,+∞ ) 时，f , (x) ≥ 0 ，
故f (x)在(-∞, -3)上单调递减，在(-3,+∞ )上单调递增，
故函数y = f (x)有且仅有一个极小值点x = -3 ，故 B 、C 错误，D 正确.
8 ．B
【详解】设中奖的概率为p ，30 天中奖的天数为X ，则 X ~ B(30, p )若盒子中的有奖券有 1 张，
则中奖的概率为p
若盒子中的有奖券有 2 张，
则中奖的概率为p
若盒子中的有奖券有 3 张，
则中奖的概率为p
若盒子中的有奖券有 4 张，
则中奖的概率为p
根据题意盒子中的有奖券有 2 张，更有可能 30 天中奖 11 天，故选：B.
9 ．ABD
【详解】对于 A，因为CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(x),1)2 = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),1)EQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(x),5)-5 ，
所以x + 2 = 2x - 5 或x + 2 + 2x - 5 = 15 ，解得x = 7 或x = 6 ,故 A 正确；
对于 B，由组合数的性质可知：
n(n -1)…(n - k + 1) n(n -1)…(n - k + 1)(n - k)
= +
k ! (k + 1) . k !
n(n -1)…(n - k + 1)[(k + 1) + (n - k)]
=
(k + 1) . k !
(n + 1)n(n -1)…(n - k + 1)
=
(k + 1)!
=CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(k),n)EQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(1),1) ，
所以CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(k),n) = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(k),n)EQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(1),1) - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(k),n)+1 ，
所以CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),3) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),4) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),5) +…+ CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),2)025 = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),4) - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),3) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),5) - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),4) +…+ CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),2026) - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),2025) =CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),2026) - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),3)
=CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(3),2026) -1，故 B 正确；
对于 C，利用隔板法可知，原问题即为将 8 个相同小球排成一列，在中间7 个空隙中放入 3 个隔板即可，所以共有C种不同放法，故 C 错误；
对于 D，因为(1- x )4 的展开通项为：Tr+1 = CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(r),4)(-x)r ，而(2 - x )(1- x )4 的展开式中x3 的系数由两部分组成：
第一部分是2 与(1- x )4 的展开式中x3 的系数的积，即2´ (-CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(3),4)) = -8 ；
第二部分是-x的系数-1 与(1- x )4 的展开式中x2 的系数的积，即-CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),4) = -6 ，所以(2 - x )(1- x )4 的展开式中x3 的系数为-8 - 6= -14 ，故 D 正确.
10 ．ABC
【详解】对于 A，掷一枚质地均匀的骰子一次，则P 而MN 表示“ 出现3 点”，所以 P ，则 P(MN) = P (M ) . P(N) ，
故事件M和N 相互独立，故 A 正确；
对于 B，因为随机变量 X 服从正态分布N(2, σ 2)，所以正态曲线的对称轴是直线 x = 2 ．因为P(X < 4) = 0.9 ，所以P(X ≥ 4) = P (X ≤ 0) = 0.1，
所以P(0 < X < 2) = P (2 < X < 4) = 0.4 ，故 B 正确；
对于 C，设事件 A 为至少有1个景点未被选择，事件B 为恰有2 个景点未被选择，则P ，所以P ，故 C 正确；
对于 D ，E (2X + 3) = 2E(X )+ 3 ，D (2X + 3) = 4D(X ) ，故 D 错误．
11 ．ACD
【详解】对于 A，因为 f (x)有三个零点，得函数f (x)至少有两个极值点.因为f , (x) = 3x2 + 6x + a ，所以 f , (x) = 0 有两个不相等的实数根.
所以 Δ = 36 -12a >0 ，解得 a < 3 ，所以 A 正确.
对于 B ，f , (x) = 0 的两个不相等的实数根为m, n .
由m + n ，且 m, n 关于x 对称.
六x1 < m < -1, m x2 n x,3 n -1 ，x2 与-1的大小关系不能判断，无法比较大小，所以B 错误.对于 C ，f (2 - x) + f (x - 4) = (2 - x)3 + 3(2 - x)2 + a (2 - x)+ b + (x - 4)3 + 3(x - 4)2 + a (x - 4)+ b
= -2a + 2b + 4 > 4 ，所以 2b > 2a ，所以 b > a ，所以 C 正确.
对于 D，由题得 f (x) = x3 + 3x2 + ax + b = (x - x1)(x - x2)(x - x3) ，其简图如下：
所以f , (x1) = (x1 - x2)(x1 - x3) ，
同理f , (x2) = (x2 - x1)(x2 - x3)，f , (x3) = (x3 - x1)(x3 - x2)，
故 . 所以 D 正确.
故选：ACD.
12 ．144
【详解】第一步：根据约束条件，甲、乙不为第 1 、6 名且相邻，排名可能为(2,3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4) ，共 6 种排法；
第二步：剩余4 名学生全排列，排法数为AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(4),4) = 24 种；
第三步：由分步乘法计数原理，总排列数为6× 24 = 144 ，综上，6 人的名次排列共有144 种不同情况.
13 ．2
【详解】由题意可知，f (x) = m2lnx + x2 - 3mx ，
函数的定义域为{x | x > 0}，
求导得f , x - 3m ，
因为函数在x = 1 处取得极大值，所以有f , (1) = 0 ，
即m2 + 2 - 3m = 0 ，整理得 m2 - 3m + 2 = 0 ，解得 m = 1或m = 2 ，当m = 1时， f ,
1
2
当f , (x) > 0 时，2x2 - 3x +1 > 0 ，解得 x 1 ，
则f (x)在 æ|è 0, EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 6(1 ö),2 ø)| 和(1,+∞ )上是单调递增函数；
2
当f , (x) < 0 时，2x2 - 3x +1< 0，解得 1 < x < 1，
则f (x)在 上是单调递减函数；
故f (x)在x = 1 处取得极小值，不满足题意；
当m = 2 时，f ,
当f , (x) > 0 时，2x2 - 6x + 4 > 0，解得 x > 2 或x < 1，则f (x)在(0,1)和(2,+∞ )上是单调递增函数；
当f , (x) < 0 时，2x2 - 6x + 4 < 0，解得1< x < 2 ，则f (x)在(1, 2)上是单调递减函数；
故f (x)在x = 1 处取得极大值，满足题意；因此m = 2 .
【详解】设第 n 次发出红包的人是乙为事件An ，n ∈ N* ，则P(An) = an ，且 a1 = 0 ，
因为P(An+1 | An) = 0 ，P
由全概率公式可得P = P + P
即an+1 = an × 0 + an ，可得 anan
且a ，可知数列〈an - EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(1 ü),5 J)〉是以首项为- ，公比为 - 的等比数列，
则an ，所以 an
(2)T3 = 45x2 .
【详解】（1）若选①,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是14 : 3 ，
则CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(4),n) : CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),n) = 14 : 3 ，求得 n = 10 ，
当二项式系数CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(r),n) 最大时，r = 5 ，即第六项的二项式系数最大，
5 · 5 æ 1 ö5 - 5
.
è x ø
此项为T6 = C10 ( x ) | | = 252x 2
若选②,第 2 项与倒数第 3 项的二项式系数之和为 55，则C
\n = 10 ，当二项式系数CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(r),n) 最大时，r = 5 ，即第六项的二项式系数最大，
æ 1 ö5 - 5
此项为T6 = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 7(5),1)0 ·(x )5 |è x ø| = 252x 2 ．
若选③ , Cn = 10 ，
当二项式系数CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(r),n) 最大时，r = 5 ，即第六项的二项式系数最大，
æ 1 ö5 - 5
.
è x ø
此项为T6 = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(5),1)0 ·(x )5 | | = 252x 2
（2）该二项式的通项公式为 r = Cr ，令 ，求得 r = 2 ，故展开式中含 x2 的项为T3 = 45x2 ．
16 ．(1) (e2 -1)x - y - 2(e2 -1) = 0
(2) (-∞ , e2
【详解】（1）当 a = 1 时，f ex x2 + x ，得 f (2) = 0 ， f , (x) = (x -1)ex - x +1 ，则k = f , (2) = e2 -1 ，
所以切线方程为：y = (e2 -1)(x - 2) ，即 (e2 -1)x - y - 2(e2 -1) = 0 ；
（2）解法一：f , (x ) = (x -1)(ex - a )，
当a ≤ 0 时，因为x ≥ 2 ，所以 x -1 > 0 ，ex - a > 0 ，所以 f , (x) > 0 ，则f (x)在[2,+∞ )上单调递增， f (x)≥ f (2) = 0 成立，符合题意；
当0 < a ≤ e2 时，f , (x) ≥ 0 ，
所以f (x)在[2,+∞ )上单调递增，所以f (x)≥ f (2) = 0 成立，符合题意；
当a > e2 时，在区间(2, ln a ) 上，f , (x) < 0 ；在区间 (ln a, +∞ ) ，f , (x) > 0 ，所以f (x)在(2, ln a )上单调递减， (ln a, +∞ )上单调递增，
所以在区间(2, ln a )上有f (x)< f (2) = 0 ，不符合题意，综上所述，a 的取值范围是
解法二：当x ≥ 2 时，f (x)≥ 0 恒成立，等价于“ 当x ≥ 2 时， ex ax2 + ax ≥ 0 恒成立”，即 x2 - x a ≤ ex 在[2,+∞ ) 上恒成立，
当x = 2 时，0 . a ≤ 0 ，所以 a ∈ R ，
当x > 2 时， x2 - x > 0 ，所以 a 恒成立，设g 则g,
因为x > 2 ，所以g, (x) >0 ，所以g(x )在区间(2,+∞ )上单调递增，所以g(x) > g (2) = e2 ，所以 a ≤ e2 ，
综上所述，a 的取值范围是
17 ．
(2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算
【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2 个红球和 1 个白球，选择方案一若消费金额打八折，则需摸出 1 个红球和 2 个黑球，
设甲顾客享受到免单优惠为事件A ，则P
设乙顾客消费金额打八折为事件B ，则P 所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为
（2）若选择方案一，设实际付款金额为 X ，则 X 的可能取值为 0 ，400 ，640 ，800.
所以E
若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为 Z ，则 Z = 800 -100Y .
由题意知，Y ~ B ，故 E
所以E = E = 800 -100E 因为E(X ) > E (Z )，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
1
18 ．(1)极大值为 - ln 2 ，无极小值
4
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）f (x) 的定义域为(0,+∞) ，
当 m = 1时， f (x) = ln x - x2 - x +1，
令f , ，解得 x = -1, x
1 æ 1 ö
2 è 2 ø
当0 < x < 时，f ,(x) > 0 ，则 f (x) 在l0, |上单调递增；
当x > 时，f ,(x) < 0 ，则 f 上单调递减；
\f (x) 在x 时取得极大值为f ln 2 ，无极小值．
当m ≤ 0 时，f ,(x) > 0 在(0,+∞)上恒成立，此时f (x) 在(0,+∞)上单调递增，
当m > 0 时，若0 < x < 时，f ,(x) > 0 ，则 f (x) 在 上单调递增；
若 < x 时，f ,(x) < 0 ，则 f 上单调递减；
综上可知：当m ≤ 0 时，f (x) 在(0,+∞)上单调递增；当m > 0 时，f 上单调递增，在 上单调递减．
（3）由题意，记g(x1) = g (x2) = u ，那么 x1 ，x2 是 u 的两根，
u ln ，可转化为 t1 = ，t2 = 是t (3 - lnt ) = u 的两根，
令F(t ) = t (3 - lnt )，求导得F, (t ) = 2 - lnt ，
令F, (t ) = 0 ，解得t = e2 ，
若F, (t ) > 0 ，则 t < e2 ；若F, (t ) < 0 ，则 t > e2 ，
\F(t )在(0, e2)上单调递增，在(e2 , +∞ )上单调递减，
不妨设0 < t1 < e2 < t2 ，要证 e2 ，即证 t1 + t2 > 2e2 ，只需证 t2 > 2e2 - t1 > e2 ，只需证F(t2) = F (t1) < F(2e2 - t1) ① ,
令G(t ) = F (t )- F(2e2 - t )，求导得：
G, (t ) = (2 - lnt ) - 2 - ln (2e2 - t ) . (-1) = 4 - ln (-t2 + 2e2t )，当t ∈(0, e2) 时，-t2 + 2e2t ∈(0, e4) ，ln (-t2 + 2e2t ) < 4 ， \ 此时G, (t ) > 0 ，G (t )在(0, e2)上单调递增，
\ G(t1) < G(e2) = 0 ，即①式得证，故命题得证．
3
19 ．（1）分布列详见解析，数学期望为 ；（2）①69 分；② k = 631．
2
【详解】（1）随机变量 X 的所有可能的取值为0,1, 2，3 .
由题意可得：P
\ 随机变量X 的分布列为
数学期望E
（2）①设该划线分为m ，由 Y ~ N(75.8,36) 得 μ = 75.8, σ = 6 ，
X
0
1
2
3
P
1
12
5
12
5
12
1
12
令 ，则 Y = 6η + 75.8 ，
由题意，P (Y ≥m) ≈ 0.85 ，即 P = P ， Qη ~ N(0,1) ，P(η „ 1.04) ≈ 0.85 ，\ P (η ≥ -1.04) ≈ 0.85 ，
m - 75.8
\ ≈ -1.04 ，\m ≈ 69.56 ，取 m = 69．
6
②由①讨论及参考数据得
P (Y ≥71) = P (6η + 75.8≥71) = P (η ≥ - 0.8) = P (η ≤0.8) ≈ 0.788 ，即每个学生生物统考成绩不低于71 分的事件概率约为0.788 ，
\ ξ ~ B(800, 0.788) ，P(ξ = k) = CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 3(k),80)0 0.788k (1 - 0.788)800-k ．
由
即 解得630.188 ≤k ≤ 631.188 ，
丫k ∈ N ，\k = 631，