2025--2026学年安徽合肥一六八中学高一下册期中检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽合肥一六八中学高一下册期中检测数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若向量满足，则（ ）
A. B. C. 8D. 12
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 直四棱柱是长方体
B. 正六棱锥的侧面都是正三角形
C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
4. 已知向量，满足，，则（ ）．
A. B. C. D.
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( )
A. 正三角形B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形
6. 打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（ ）
A. 105.5cm2B. 111cm2C. 92.8cm2D. 100.8cm2
7. 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面四边形ABCD中，，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 若，则存在实数，使得
D. 若，则
10. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个结论正确的是（ ）
A. 与是异面直线；B. 、、相交于一点；
C. ；D. 平面.
11. 设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示）
13. 在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___
14. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为__________．
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，求几何体的体积.
16. 已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2.
（1）求复数z；
（2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值.
17. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
18. 在中，点分别在边和边上，且，交于点，设.
（1）若，求实数；
（2）若且，求；
（3）设，，的面积分别为，求.
19. 如图，在矩形中，，点是线段的中点，点分别为线段上的一点，且，点是线段的中点．
（1）求的值；
（2）若，求线段的长度；
（3）设，求的取值范围．
数学
分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：直接利用复数的运算法则化简求解即可.
解答过程：复数在复平面内对应的点为，则
故选.
2. 若向量满足，则（ ）
A. B. C. 8D. 12
答案：A
解析：
思路：根据数量积的运算求得，再利用模长与数量积的关系求解即可.
解答过程：，得，
所以.
故选：A.
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 直四棱柱是长方体
B. 正六棱锥的侧面都是正三角形
C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
答案：C
解析：
思路：由正棱柱、正棱锥的概念判断A、B；由旋转体的结构特征判断C、D．
解答过程：对于A，长方体是底面为矩形的直四棱柱，故A不正确；
对于B，正棱锥的侧面都是等腰三角形，所以正六棱锥的侧面都是等腰三角形，故B不正确；
对于C，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台,故C正确；
对于D，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故D不正确.
故选：C.
4. 已知向量，满足，，则（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：计算出，，再利用夹角公式求解即可.
解答过程：由，，两式相加，得，
所以，，所以，
所以.
故选：A．
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( )
A. 正三角形B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形
答案：C
解析：
思路：利用三角恒等变换化简已知条件可得B，故可判断三角形形状.
解答过程：由知，，
∴＝，
，，
，
∴，
∵在△ABC中，，
∴，
∵，∴，
即△ABC为直角三角形．
故选：C．
6. 打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（ ）
A. 105.5cm2B. 111cm2C. 92.8cm2D. 100.8cm2
答案：A
解析：
思路：将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆锥侧面积公式求出圆台的侧面积.
解答过程：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大圆锥和小圆锥的侧面积之差，
因为顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，
所以相应半径为3.4cm，1.4cm.
设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，
由相似得，xx+7=1.43.4，即，
所以羽毛所在曲面面积
S=π·3.4·7+4.9−π·1.4·4.9=33.6π≈105.5cm2.
7. 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：首先把AC→,AE→,AF→用表示出来，然后利用共线定理设，AP→=xAF→+(1−x)AE→，联立方程即可求解.
解答过程： 在矩形中，AC=AB+AD=a+b，
由题意：为靠近的三等分点，故AE=13AD=13b；
为靠近的四等分点，故AF=34AB=34a，
因为在上，设AP=λAC=λa+λb，
又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： AP=xAF+(1−x)AE，
代入AF,AE得： AP=x⋅34a+(1−x)⋅13b=3x4a+1−x3b，
两个表达式对应系数相等： λ=3x4λ=1−x3， 联立得3x4=1−x3，解得x=413，代入得λ=313.
因此AP=313a+313b.
8. 在平面四边形ABCD中，，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
答案：A
解析：
思路：建立坐标系，利用平面向量的坐标法求解.
解答过程：以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系（点D在x轴上方），
设，则，
，
因为，所以
所以，解得，所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 若，则存在实数，使得
D. 若，则
答案：AC
解析：
解答过程：结合复数运算法则及复数几何意义化简计算即可.
对A，即，两边平方可得，A对；
对，取，则，当，B错；
对，即，两边平方可得，
故，故，因此存在实数，使得，C对；
对，取，但，D错.
故选：AC
10. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个结论正确的是（ ）
A. 与是异面直线；B. 、、相交于一点；
C. ；D. 平面.
答案：BD
解析：
思路：本题首先可根据、判断出A错误，然后根据平面平面得出B正确，再然后根据得出C错误，最后根据线面平行的判定即可证得D正确.
解答过程：A项：如图，连接、、，
因为、分别是、的中点，多面体是正方体，
所以，，，
因为，所以与是同一平面内的相交直线，A错误；
B项：因为平面平面，平面，平面，
所以、、相交于一点，B正确；
C项：如图，连接与交于点，连接、，
由正方体性质易知，是中点，
因为是中点，所以，，
因为，，所以，，
故四边形是平行四边形，，易知C错误；
D项：因为，平面，平面，
所以平面，D正确，
故选：BD.
11. 设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：ABC
解析：
思路：利用余弦定理与基本不等式可判断AB选项的正误；利用反证法结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.
解答过程：对于A选项，由余弦定理可得，
，故，A选项正确；
对于B选项，，则，则，
由余弦定理可得，
，故，B选项正确；
对于C选项，假设，则，则，
所以，，与矛盾，
假设不成立，故，故C选项正确；
对于D，取，，满足，
且，则为锐角，故D选项错误.
故选：ABC.
方法提示：方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示）
答案：
解析：
思路：由向量坐标可求出，从而可求方向相同的单位向量；由向量的数量积坐标表示求数量积，进而求出，即可求在向量方向上的投影向量.
解答过程：由于，则，即与向量方向相同的单位向量为，
又，则，
∴向量在向量方向上的投影向量为.
故
13. 在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___
答案：
解析：
思路：由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．
解答过程：如图，设，则,

在和中，分别由余弦定理可得，
两式相加，整理得，
∴．①
由及正弦定理得，
整理得，②
由余弦定理的推论可得，所以．
把①代入②整理得，
又，当且仅当时等号成立，
所以，故得．
所以．
即面积的最大值是．
故答案为．
方法提示：本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．
14. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为__________．
答案：
解析：
思路：连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解即可.
解答过程：连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有，如图，

当三点共线时，则即为的最小值，
在三角形中，，，
由余弦定理得，
所以，即，
在中，，，
由勾股定理可得且.
同理可求，因为，
所以为等边三角形，所以，
所以在中，，，
由余弦定理得.
故答案为.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，求几何体的体积.
答案：（1）证明见解析；
（2）．
解析：
思路：（1）连接交于，连接，证明后得证线面平行；
（2）由直三棱柱的体积减去三棱锥的体积可得．
（1）连接交于，连接，如图，则是中点，又是中点，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）因为，，所以，所以，，
．
16. 已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2.
（1）求复数z；
（2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值.
答案：（1）1+i；（2）﹣2.
解析：
思路：
（1）先设出复数的表达式,结合已知条件中,实部大于,和的虚部为,列出方程求解出复数的表达式.
（2）由（1）求出复数的表达式,即可得到,,在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.
解答过程：（1）设复数z=x+yi,x、y∈R;
由|z|,得x2+y2=2;
又z的实部大于即x>0,
z2=x2﹣y2+2xyi的虚部为2xy=2,
所以xy=1;
解得x=1,y=1;
所以复数z=1+i;
（2）复数,则,;
则A（1,1）,B（0,2）,C（1,﹣1）;
所以.
方法提示：本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.
17. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）．
（2）．
解析：
思路：（1）由余弦定理可得，再与已知等式比较，即可求出的值．
（2）先由第（1）问求出，再由得到，利用正弦定理把表示为3⋅sin3Asin2A，最后用二倍角公式和两角和的正弦公式计算即可．
（1）在中，由余弦定理得.
又因为b2+c2−32bc=a2，所以b2+c2−2bccsA=b2+c2−32bc .
因为，是三角形的边长，所以，故−2csA=−32.
解得.
（2）由第（1）问知.
因为是三角形内角，所以，且，于是sinA=1−cs2A=1−916=74.
由，得C=π−A−B=π−3A .
由正弦定理得.
又因为，所以c=3⋅sinCsinB=3⋅sinπ−3Asin2A=3⋅sin3Asin2A.
由二倍角公式得sin2A=2sinAcsA=2⋅74⋅34=378.
因为，所以.
由二倍角公式得cs2A=2cs2A−1=2⋅916−1=18.
因此sin3A=378⋅34+18⋅74=5716.
所以c=3⋅5716378=52.
故的值为．
18. 在中，点分别在边和边上，且，交于点，设.
（1）若，求实数；
（2）若且，求；
（3）设，，的面积分别为，求.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）设，根据向量的线性运算可得BP=ta+231−tb，BP=13ma+1−mb，结合平面向量基本定理运算求解；
（2）可得AC⃗=a⃗−b⃗，根据向量垂直可得，即可得结果；
（3）由（1）可知：，，不妨设的面积为1，结合比例关系运算求解即可.
（1）因为，则BP=BE+EP=BE+tEC=BE+tBC−BE
=1−tBE+tBC=ta+231−tb，
设，则BP=BA+AP=BA+mAD=BA+mBD−BA
=1−mBA+mBD=13ma+1−mb，
则231−t=1−mt=13m，解得t=17m=37.
（2）由（1）可知：，
因为，即，
又因为，
若，则BP⋅AC=17a+47b⋅a−b=17a2−47b2+37a⋅b=0 ，
即17a⃗2−17a⃗2+37a⃗⋅b⃗=0 ，可得，
则，所以.
（3）由（1）可知：，，
不妨设的面积为1，
因为，则的面积为2，可得的面积，
又因为，则的面积为4，
且，则的面积为8，可得的面积，
由可知的面积为，
所以.
19. 如图，在矩形中，，点是线段的中点，点分别为线段上的一点，且，点是线段的中点．
（1）求的值；
（2）若，求线段的长度；
（3）设，求的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）首先求出，的长度，再根据数量积的运算律计算可得；
（2）首先在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，最后在中利用余弦定理计算可得；
（3）在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由数量积的运算律得到，再利用三角恒等变换公式化简，转化为关于的三角函数，结合的范围及正弦函数的性质计算可得.
（1）在矩形中，点是线段的中点，
所以，又，所以，
所以
．
（2）在矩形中，，所以，所以．
在中，，
根据正弦定理，得．
在中，，，则，
由正弦定理，可得．
在中，，
根据余弦定理，
得，所以．
（3）在中，，
根据正弦定理，得．
在中，，则，
根据正弦定理，可得．
因为，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
即的取值范围为．
方法提示：关键点点睛：本题第三问的关键是通过基底法转化得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后根据正弦型函数的性质求出其值域即可.