2025--2026学年山西现代双语学校学校等校高二下册5月期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山西现代双语学校学校等校高二下册5月期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ）
A. 18B. 9C. 8D. 7
2. 已知随机变量的分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
3. 若随机变量，且，则（ ）
A. 0.8B. 0.6C. 0.3D. 0.2
4. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ）
A. 1440B. 2160C. 4320D. 5760
5. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ）
A. 0.16B. 0.32C. 0.64D. 0.96
6. 网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据：
则x与y的样本相关系数（ ）
参考公式：，参考数据：i=15 yi−y2=23.08 ，．
A. 0.99B. 0.98C. 0.97D. 0.96
7. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 61B. 29C. 309D. 308
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线的斜率是负数
B. 变量与变量正相关
C. 相关系数
D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大
10. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ）
A. 6维“立方体”的顶点有36个B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则实数________.
13. 已知随机变量，随机变量，则________.
14. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值．
16. 如图，在四面体中，平面分别为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示：
（1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？
（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望．
附：，其中．
18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．
（1）求的方程；
（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；
（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．
19. 已知函数.
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，求证： .
数学
满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ）
A. 18B. 9C. 8D. 7
答案：C
解析：
思路：根据分类加法计数原理即可求解.
解答过程：由分类加法计数原理，得不同的选法种数为.
故选：C
2. 已知随机变量的分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由随机变量分布列的性质知，解得.
3. 若随机变量，且，则（ ）
A. 0.8B. 0.6C. 0.3D. 0.2
答案：B
解析：
解答过程：因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴是，
所以，
所以.
4. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ）
A. 1440B. 2160C. 4320D. 5760
答案：C
解析：
解答过程：将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，内部排序有种方法，将其和剩余的5个工艺品进行全排，有种情况.
则不同的排法总数共有种.
5. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ）
A. 0.16B. 0.32C. 0.64D. 0.96
答案：D
解析：
思路：结合对立事件及独立事件的乘法公式计算即可.
解答过程：这两粒种子至少有1粒发芽的概率为．
6. 网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据：
则x与y的样本相关系数（ ）
参考公式：，参考数据：，．
A. 0.99B. 0.98C. 0.97D. 0.96
答案：B
解析：
思路：代入相关系数公式求解即可.
解答过程：由题意，得，，， ，所以．
7. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：应用条件概率公式求解即可
解答过程：事件表示甲乙两人都不去A景点，，
事件表示甲乙两人都去A景点，，
所以．
8. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 61B. 29C. 309D. 308
答案：C
解析：
解答过程：的展开式中的常数项为．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线的斜率是负数
B. 变量与变量正相关
C. 相关系数
D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大
答案：AC
解析：
思路：根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解.
解答过程：对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误；
对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误.
故选：AC.
10. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：BC
解析：
思路：A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求.
解答过程：令，得，故A错误；
令，得，故B正确；
令，得，故C正确；
将与这两式的左右两边分别相加，
得，解得，故D错误.
故选：BC.
11. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ）
A. 6维“立方体”的顶点有36个B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断C，D即可.
解答过程：对于6维坐标，其中，
即有2种选择，故共有种选择，
即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误；
当时，在与中有3个坐标值不同，
即有3个满足，
有3个满足，
所以满足的顶点有组，，故B正确；
满足的顶点有组，所以，
即，
，
所以，故C正确；
而
，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则实数________.
答案：或
解析：
思路：根据组合数的性质得解.
解答过程：由组合数的性质得或，
所以或
方法提示：本题考查组合数的性质，属于基础题.
13. 已知随机变量，随机变量，则________.
答案：
解析：
思路：利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算.
解答过程：因为，所以，
故.
故答案为.
14. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法．
答案：8400
解析：
思路：先按人数拆分7名同学为4组（满足每组至少1人），再将分好的4组对应分配到4个不同项目中，最后汇总所有分组情况的方法数即可.
解答过程：先将7名同学分成四组，有1，1，1，4；1，1，2，3和1，2，2，2这三种情况，
当分组为1，1，1，4时，不同的参加方法有；
当分组为1，1，2，3时，不同的参加方法有；
当分组为1，2，2，2时，不同的参加方法有．
综上所述，满足题意的不同的参加方法有种．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值．
答案：（1）
（2）最小值
解析：
思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值.
（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得，
所以．
（2）因为是等差数列，所以．
因为，所以当时，有最小值.
16. 如图，在四面体中，平面分别为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：
思路：（1）由和线面平行判定定理即可证明；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用即可计算求解.
（1）证明：因为分别为的中点，
所以.
因为平面平面，
所以平面.
（2）因为，所以，即.
因为平面平面，所以，
故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
所以.
设平面的一个法向量，
则即不妨设，则，所以.
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示：
（1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？
（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望．
附：，其中．
答案：（1）
认为产品是否合格与制造工艺有关．
（2）．
解析：
思路：（1）零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，计算出，结合小概率值的独立性检验判断即可.
（2）根据分层抽样确定的取值，求出对应的概率，结合分布列及期望计算即可.
（1）2×2列联表如下：
零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否合格与制造工艺有关．
（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，
其中种制造工艺有（件），种制造工艺有（件）．
由题意，得X的取值可以是0，1，2，3，
则，，，．
所以的分布列为：
所以．
18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．
（1）求的方程；
（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；
（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．
答案：（1）
（2） （3）或
解析：
思路：（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程；
（2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程；
（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可.
（1）设的半焦距为，
由题意可知：，且，即，
因为，即，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设，由题意可知，
则，
因为，则，可得，
又因为在椭圆上，即，
可得，化简得，
所以点的轨迹方程为．
（3）由题意可知过点的直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交，

设直线的方程为，，
联立方程，消去x得，
则，
因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点，
则，即，
可得，
化简得，整理可得，
因为，则，解得，
所以直线的方程为，即或．
19. 已知函数.
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，求证： .
答案：（1）
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）求出切点坐标和切线的斜率，从而求出切线的方程.
（2）通过，，这三类进行分类讨论.
（3）第三问，通过隐零点的设而不求，整理代入，从而证明.
（1）当时， ，所以，，
所以 ，
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，即，，所以在上单调递增；
若，即，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，要证 ，即证.
令，则，易得在上单调递增，
又 ，，
所以，使得，故，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以 ，所以 .
1
2
3
4
x
1
2
3
4
5
y
2.5
3.3
4.5
6.2
8.5
种制造工艺
种制造工艺
合计
合格
450
不合格
30
合计
500
500
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
x
1
2
3
4
5
y
2.5
3.3
4.5
6.2
8.5
种制造工艺
种制造工艺
合计
合格
450
不合格
30
合计
500
500
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
种制造工艺
种制造工艺
合计
合格
470
450
920
不合格
30
50
80
合计
500
500
1000
0
1
2
3
种制造工艺
种制造工艺
合计
合格
470
450
920
不合格
30
50
80
合计
500
500
1000
0
1
2
3