山西阳泉市第二中学校等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析）

这是一份山西阳泉市第二中学校等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析），共49页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加减法法则求解即得.
【详解】.
故选：D
2. 已知向量与的夹角为，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积公式代入计算即可.
【详解】因为向量与的夹角为，
所以.
故选：B.
3. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数的除法法则得到，根据共轭复数的概念得到答案.
【详解】，所以共轭复数为.
故选：A.
4. 在中，若，则B为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求角的大小.
【详解】由，又且，
所以或.
故选：B
5. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆柱体积公式求出圆柱的高，再代入侧面积公式求解即可.
【详解】设圆柱的高为h，
，解得，
.
故选：D
6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设该圆锥底面圆的半径为，则，解得，
所以该圆锥的高为，
所以该圆锥的体积为.
7. 在中，内角所对的边分别为，已知，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由正弦定理得
选B.
8. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可求得答案.
【详解】由题意在中，，点是的中点，
故
，
故选：A
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A. 复数的虚部等于B.
C. D. 若是实数，是纯虚数，则
【答案】CD
【解析】
【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，复数，
对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误；
对于B项：，故B错误；
对于C项：，故C正确；
对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确．
故选：CD.
10. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则与的夹角为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D.
【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误；
选项B，若，则，解得，
则，故B项正确；
选项C，若，则，所以，故C项正确；
选项D，，则，，，
所以，所以与的夹角不是，故D项错误，
故选：BC
11. 在中，若，则的形状可能为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦定理及余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状.
【详解】法一：由正弦定理及余弦定理知，
原等式可化为，
整理得：，
或，
故三角形为等腰三角形或直角三角形．
法二：由正弦定理，原等式可化为，
，，
又，，
或，
或，
故为等腰三角形或直角三角形．
故选：AC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设母线为，高为，由侧面积公式求出，即可求出，再由圆台的体积公式计算可得.
【详解】因为圆台的上底面半径，下底面的半径，其侧面积为，设母线为，高为，
所以，即，解得，
所以，
所以该圆台的体积.
故答案为：
13. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为________.
【答案】
【解析】
【详解】因为，，，
所以，
则向量在方向上的投影向量为.
14. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为，则其外接球的表面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】可把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，得到三棱锥的外接球与该长方体的外接球是同一个球，设外接球的半径为，结合长方体的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，可把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，
则三棱锥的外接球与该长方体的外接球是同一个球，设外接球的半径为，
因为长方体的对角线长为，可得，即，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知，，与的夹角是．
（1）计算；
（2）当为何值时，？
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出的值．
【小问1详解】
解：由已知，
所以．
【小问2详解】
解：若，则，
，则，
．
16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A；
（2）若，，求边c及的面积；
【答案】（1）
（2）3；
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；
（2）利用余弦定理可得，结合面积公式运算求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
且，则，
可得，则，
又因为，所以．
【小问2详解】
由余弦定理得，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以的面积．
17. 如图，在正方体中，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行.
（2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行.
【小问1详解】
如图：连接BD，设，连接OM，
∵在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面，平面，
平面.
【小问2详解】
如图：连接，NB，
为的中点，为的中点，
，又，
∴四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面
由（1）知平面，，平面，平面，
∴平面平面.
18. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的值；
（2）若，判断的形状；
（3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.
【答案】（1）60°；
（2）等边三角形； （3）.
【解析】
【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围.
【小问1详解】
∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即，
由余弦定理得，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形.
【小问3详解】
因为,
由正弦定理,得
所以
因为为锐角三角形,则,
从而,
所以.
19. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）；
（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．
【解析】
【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果；
（2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论.
【小问1详解】
正四棱锥中，，，
侧面的高，
正四棱锥的表面积．
【小问2详解】
在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：
取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面，