2025--2026学年山西省忻州市第一中学校高二下册5月期中联考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山西省忻州市第一中学校高二下册5月期中联考数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下面给出三个随机变量：
①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数；
②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度；
③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
2. 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.4D. 0.9
3. 若随机变量的分布如下表：
则的值为（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.55D. 0.85
4. 甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 48种D. 84种
6. 已知，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一排，则（ ）
A. 不同的坐法有720种
B. 若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种
C. 若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种
D. 若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种
10. 椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ）
A. 的短轴长为B. 的焦距为2
C. 的周长为8D. 的离心率为
11. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ）
A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为
C. 的最大值为D. 当时，越大，越小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种.
13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________．
14. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项的二项式系数．
16. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表．
（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望；
（2）依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？
参考数据：参考公式：，其中．
18. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表：
（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把：
（2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列．
附：为回归直线方程，．
19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的．
（1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；
（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望）
（i）求关于的函数表达式；
（ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数）
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下面给出三个随机变量：
①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数；
②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度；
③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
答案：C
解析：
思路：根据离散型随机变量的定义判断即可.
解答过程：由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的，
故均匀离散型随机变量，而②中的随机变量可以取内的任意值，无法一一列举，
故它不是离散型随机变量．
故选：C.
2. 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.4D. 0.9
答案：D
解析：
解答过程：解：随机变量服从正态分布，，
，．
3. 若随机变量的分布如下表：
则的值为（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.55D. 0.85
答案：B
解析：
思路：根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率.
解答过程：，解得；
，
故选：B.
4. 甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用独立重复事件分析求解即可.
解答过程：甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，
故概率为.
5. 如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 48种D. 84种
答案：C
解析：
思路：由条件可知，若只用3种颜色，则只有和颜色相同，或只有和颜色相同，所以采用分类和分步计数原理，结合排列组合，即可求解.
解答过程：由条件可知，可以分成只有和颜色相同，或只有和颜色相同，
若只有和颜色相同，则有种方法，
只有和颜色相同，也有24种方法，所以一共有种方法.
故选：C
6. 已知，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：令和后作差可得.
解答过程：令，则，
令，则，
作差可得.
故选：A.
7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题.
解答过程：解：由题意知，因为函数在上单调递增，
所以恒成立，即在区间上恒成立.
令，，则，当时，，所以，
因此在上单调递增，则，所以.
8. 已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据两点分布结合数学期望及方差定义计算，再应用充分必要定义判断即可.
解答过程：当时，得，则，，充分性成立；
反之，，即，解得或，必要性不成立.
故选:A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一排，则（ ）
A. 不同的坐法有720种
B. 若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种
C. 若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种
D. 若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种
答案：AB
解析：
思路：根据题意，结合排列与排列数的计算公式，逐项求解，即可得到答案.
解答过程：对于A中，不同的坐法有种，所以A正确；
对于B中，若小明和小强要一起坐，则不同的坐法有种，所以B正确；
对于C中，若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有种，所以C错误；
对于D中，若小明在小强的左边，则不同的坐法有种，所以D错误．
故选：AB．
10. 椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ）
A. 的短轴长为B. 的焦距为2
C. 的周长为8D. 的离心率为
答案：BC
解析：
思路：由题意推得，结合椭圆方程求出，即可逐一判断各选项.
解答过程：由图知，，因，则是正三角形，
又，则，故椭圆的离心率为，故D错误；
由可得，则，
由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误；
焦距为，故B正确；的周长为，故C正确.
11. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ）
A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为
C. 的最大值为D. 当时，越大，越小
答案：AC
解析：
思路：对A，根据抽奖规则建立递推公式，代入算出验证选项；对B，用对立事件概率公式计算两次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对C，将递推公式变形构造等比数列，求出通项后分奇偶讨论验证选项；对D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，进行判断.
解答过程：对于A：由题意可得，
所以，A正确；
对于B：第一次未中奖的概率为，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为，
因此，两次均未中奖的概率为，由对立事件的概率可得其中奖概率为：，B错误；
对于C：由得，所以是等比数列，
首项为，公比为，
所以.
当为奇数时，；
当为偶数时，随增大而减小，当时取得最大值，
综上，的最大值为，C正确；
对于D：当为奇数时，，随的增大而增大；
当为偶数时，随增大而减小，D错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种.
答案：64
解析：
思路：根据分步计数原理的应用即可求解.
解答过程：由题意每个人都有4种选法，故不同的选法有种.
故64.
13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________．
答案：##
解析：
思路：结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可.
解答过程：作，因为，所以是的中点，
过作，由直三棱柱性质得面，
如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，所以，由勾股定理得，
则，，，，
可得，，
设异面直线与所成角为，
则.
14. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________.
答案：
解析：
思路：利用独立事件的性质和条件概率公式建立方程，先求出与，再计算.
解答过程：因为互相独立，所以.
又因为，
把代入可得：，
故.
由相互独立，得.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项的二项式系数．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用二项式系数的定义列出和的方程，求解即得；
（2）利用二项式的通项公式确定展开式中含的项，计算即得答案.
（1）第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为．
又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，
，，，故的值为；
（2）因，
由解得，
故展开式中含的项的二项式系数为.
16. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据等差数列性质计算即可；
（2）先求得数列的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.
（1）设等差数列的首项为 ，公差为，
则，解得，
因此通项公式为.
（2）将代入，裂项得，
所以.
即.
17. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表．
（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望；
（2）依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？
参考数据：参考公式：，其中．
答案：（1）分布列见解析，
（2）答案见解析
解析：
思路：(1)利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望；
(2)根据列联表中的数据，经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论.
（1）解：在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人访谈，记参与访谈的男性人数为，样本中感冒的男性有人，女性有人，比例为，按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）解：提出零假设：岁年轻人的体质健康与性别无关，
根据列联表中的数据，得到，
因为，不能拒绝零假设，
所以没有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关.
18. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表：
（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把：
（2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列．
附：为回归直线方程，．
答案：（1）答案见解析
（2）答案见解析
解析：
思路：（1）根据题中公式求出关于的线性回归方程，再运用代入法进行求解即可；
（2）运用二项分布的定义和性质进行求解即可.
（1），
，
，
，
，
所以关于的线性回归方程为；
当，
所以预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把.
（2）该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，
所以2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为，
由题意可知：，
所以，
，
，
，
所以其中线上售出数量的分布列为：
19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的．
（1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；
（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望）
（i）求关于的函数表达式；
（ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数）
答案：（1）分布列见详解，
（2）（i）
（ii）证明见详解，时，最大期望利润为
解析：
思路：（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算；
（2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式；
（ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润.
（1）实际支付金额的所有可能取值为，
，
，
，
，
，
的分布列为：
.
（2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算：
支付金额期望：，
商品成本，
优惠券成本期望：基础券成本，
进阶券成本，
总成本期望，
购买概率，
代入公式：
.
(ii)对求导得：
令，整理得，解得根为，（舍去，不在内），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点，
计算最大期望利润.
1
2
3
P
0.2
0.1
2m
0.25
m
A
B
C
D
性别
健康状况
感冒
不感冒
男
8
14
女
4
24
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年份t/年
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
1
2
3
4
5
销量/万把
7
8
10
11
14
1
2
3
P
0.2
0.1
2m
0.25
m
A
B
C
D
性别
健康状况
感冒
不感冒
男
8
14
女
4
24
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年份t/年
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
1
2
3
4
5
销量/万把
7
8
10
11
14