山西省忻州市2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题（含答案）

这是一份山西省忻州市2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题（含答案），文件包含十年2015-2024高考数学真题分类汇编全国通用专题16导数及其应用小题综合教师版docx、十年2015-2024高考数学真题分类汇编全国通用专题16导数及其应用小题综合学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至第三册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.将代数式展开后，共有（ ）
A.11项B.25项C.30项D.36项
2.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A.2B.4C.8D.16
3.已知5对成对样本数据，，，，成线性关系，样本相关系数为，去掉1对数据后，剩下的4对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，则（ ）
A.B.C.D.，的大小无法确定
4.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
5.用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为
A.48B.96C.60D.120
6.某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动.甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.学校要安排一场文艺晚会的12个节目（2个小品节目、2个话剧节目、4个音乐节目、4个舞蹈节目）的演出顺序，要求2个小品节目必须相邻，2个话剧节目不能相邻，则不同的排法数为（ ）
A.B.C.D.
8.在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，这样的点共有个，从这个点中任选2个，则这2个点在同一个部分的概率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若，则下列说法正确的是（ ）
A.的展开式中奇数项的二项式系数之和为
B.
C.
D.除以10的余数为9
10.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（ ）
A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况
B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况
C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况
D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况
11.已知正数，，成等差数列，且随机变量的分布列为
下列选项正确的是（ ）
A.B.
C.D.的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.某图书馆有文化类图书300本，科学类图书400本，若甲从这两类图书中借阅一本，则不同的选法共有______种.
13.若等比数列（）单调递增，且，，成等差数列，则的公比为______.
14.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过且最终到达2的位置的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术是否升级有关？
（2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有件，属于升级后生产的有件，求的概率.
附：，其中.
16.（15分）
某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为，，三个等级，其中等级得3分、等级得2分、等级得1分.甲在笔试中获得等级、等级、等级的概率分别为，，，在面试中获得等级、等级、等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.
（1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率；
（2）求甲笔试和面试的得分之和的分布列与期望.
17.（15分）
已知地物线：（）的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于，两点，且.
（1）求的方程；
（2）过点作轴的平行线（是动点，且异于点），过点作的平行线交于，两点，证明：.
18.（17分）
（1）在的展开式中，求形如（，）的所有项的系数之和.
（2）证明：展开式中的常数项为.
（3）设的小数部分为，比较与1的大小
19.（17分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数的最大值.
高二数学试题参考答案
1. C 共有项.
2. C 由题意得.
3. A 由，，可知5对成对样本数据的样本中心为，去掉1对数据后，.
4. B 直线与平面所成角的正弦值为.
5. A 万位上的数字不能为0，用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为，
所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为.
6. D 用事件，分别表示甲参加，两种抽奖活动，表示甲中奖，
则，，，，由全概率公式得，
所以.
7. B 先捆绑2个小品节目，再和4个音乐节目、4个舞蹈节目排列，然后插入2个话剧节目，不同的排法数为.
8. B 由题意得.从这个点中任选2个，共有种选法.若这2个点在同一个部分，则这2个点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同，所以八个部分中的点的个数分别为，，，，2，2，2，1.故所求的概率为.
9. BC 的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误；
令，可得，令，，
则，故B正确；，故C正确；，
故除以10的余数为1，故D错误.
10. ACD 若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况，A正确.
若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，
共有种不同的获奖情况，B错误.
若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有种不同的获奖情况，C正确.
若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，
共有种不同的获奖情况，D正确.
11. BCD 由得A错误，B正确.
由，得，则，C正确.
，
当时，取得最大值，且最大值为，D正确.
12. 700 不同的选法共有种.
13. 2或3 由题意得，得.
由，可知.当时，不单调递增；当时，，符合题意；
当时，，符合题意；当时，，不符合题意.故的公比为2或3.
14. 质点从原点0出发，经过且最终到达2的位置，需移动8次，其中必然有3次向左，分为两类：第一类，当质点第2次移动到达的位置时，质点先向左移动了2次，在后续的6次移动中，只要向左移动1次即可，则所求的概率为；
第二类，当前3次移动未到达，且第4次移动到达时，质点前4次的移动顺序为0→1→0→→，0→→0→→，后续的4次移动中全部向右移动即可，则所求的概率为.故所求的概率为.
15.解：（1）零假设为：产品的合格率与技术是否升级无关.
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为产品的合格率与技术是否升级有关.
（2）升级前后合格品的比例为4:5，故抽取的9件中有4件属于升级前生产的，有5件属于升级后生产的.
当，时，，
当，时，，
则的概率.
16.解：（1）甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率为.
（2）由题意得的可能取值为2，3，4，5，6，
，
，
，
，
则的分布列为
所以.
17.（1）解：设，.
因为点的坐标为，所以：，
由得，
则，
从而，
得，所以的方程为.
（2）证明：因为点的坐标为，直线的斜率不为0，
所以设直线的方程为.
设，，由可得，
则
所以
.
由（1）可知，，
因为点，的纵坐标分别为，，且，
所以.
可得，即.
18.（1）解：（，）的项即展开式中的所有项，
令，得（，）的所有项的系数之和为.
（2）证明：因为，
所以
，
所以展开式中的常数项为.
（3）解：由，得的整数部分为2，
则，所以，
即
，
所以，
因为，所以.
19.解：（1）
当时，恒成立，所以在上单调递增.
当时，，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，得，即
令，则
.
令，因为在上单调递增，且，
所以，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，所以，
所以，
所以，即的最大值为3.1
2
3
合格品
不合格品
合计
升级前
120
80
200
升级后
150
50
200
合计
270
130
400
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2
3
4
5
6