2025--2026学年山东省滕州市第二中学高二下册4月质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省滕州市第二中学高二下册4月质量检测数学试题 [含答案]，共2页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设在上的导函数为，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合导数定义即可求解.
【详解】由于，则.
故选：C.
2. 某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（ ）
A. 24种B. 12种C. 8种D. 6种
【答案】D
【解析】
【分析】先排甲乙，再根据全排列结合分步乘法公式计算.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①甲，乙必须相邻且甲在乙的右边，将甲乙看成一个整体，有1种顺序，
②将甲乙整体与丙丁全排列，有种情况，
则有种排法.
故选：D
3. 若函数在处有极小值，则实数的值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得.
【详解】，
，解得：或；
当时，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，符合题意；
当时，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，不合题意；
综上所述：.
故选：A.
4. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出.
【详解】因为，所以，令，
则，，令，
则．
故选：A.
5. 已知为函数的导函数，则的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求导得，利用奇偶性即可判断A，计算即可判断D，当时，判断即可判断C，进而求解.
【详解】由题意有，
又，所以为奇函数，排除A；
又，排除D；
由，排除C，故B正确.
故选：B.
6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围.
【详解】由，得，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，
即的取值范围为.
故选：C
7. 已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可推出方程有实根，分离参数即方程有实根．由此构造函数，利用导数求出其最值，即可求得答案.
【详解】由，得，
因为曲线存在与y轴垂直的切线，所以方程有实根，
即方程有实根．
设，则，当时，单调递增，
当时，单调递减，故，
又当趋向于负无穷大时，也趋向于负无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于0，
所以，
则a的最大值为，
故选：C．
8. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，得到其定义域，奇偶性，求导得到其单调性，从而分和两种情况，得到不等式解集，求出答案.
【详解】令，的定义域为，故的定义域为，
则，
当时，，故在上恒成立，
故在上单调递增，
又是定义在上的奇函数，故，
所以，
所以为偶函数，，则，故
在上单调递减，
当时，，即，
由于在上单调递增，故，
当时，，即，
由于在上单调递减，故，
则不等式的解集为.
故选：D
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列计算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项.
【详解】，则，故A正确；
，则，故错误；
，则，故C正确；
，则，故D错误．
故选：AC
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，只有一个零点
B. 若有极值点，则的取值范围为
C. 存在负数，使得在上单调递增
D. 过点且与曲线相切的直线只有一条
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项A，设，当时，得到，即在上单调递增，，，从而得解；
对于选项B，若有极值点，有两个不等实数根，通过求出的范围即可；
对于选项C，当时，，设，为的两根，得到在上单调递减；
对于选项D，不妨设切点为，则，求出切线方程，代入 ，解得，从而得解.
【详解】对于选项A，，令，，
当时，，则，在上单调递增，，，故A正确；
对于选项B，若有极值点，有两个不等实数根，，解得，B错误；
对于选项C，当时，由，可得，
设，为的两根，则，，
所以，故在上单调递减，C错误；
对于选项D，不妨设切点为，则，
切线方程为，
整理得，又切线过点，
所以，即，解得，
所以过点且与曲线相切的直线只有一条，D正确.
故选：AD.
11. 对于函数，则（ ）
A. 函数的单调递减区间为
B.
C. 若方程有6个不等实数根，则
D. 对任意正实数，且，若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D.
【详解】函数的定义域为，求导得，
对于A，由，得或，由，得，
因此函数的单调递减区间为和，A错误；
对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确；
对于C，为偶函数，当时，，
由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为，
又当时，，当时，，
当时，，时，，
当时，，当时，，时，，
函数的图象如图：

观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确；
对于D，不妨设，由，得，即，
令函数，，
求导得，
当时，，，在上单调递增，
由，得，即，因此，
函数，求导得，当时，，在上单调递减，
而，则，即，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数______
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，求出，结合已知条件两直线平行斜率相等，得：，解出值即可.
【详解】由题可知，所以，
又直线的斜率为，所以，解得：.
故答案为：.
13. 4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有多少种不同的站法.
【答案】种
【解析】
【分析】首先对所有男女生作全排，再去掉男生甲站在最左端、女生乙站在最右端，最后加上重复减掉的男生甲站在最左端且女生乙站在最右端的情况，即可得.
【详解】将4名男生和2名女生站成一排共有种，
其中男生甲站在最左端有种，女生乙站在最右端有种，
男生甲站在最左端且女生乙站在最右端有种，
综上，满足条件的不同站法有种.
14. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可.
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数在单调递增，所以，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）解方程：；
（2）解不等式：.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据排列数的定义化简可求解；
（2）根据排列数的定义化简可求解.
【详解】（1）原方程可化为，
化简得，
解得，或，或，或.
由，得，且.
所以原方程的解为.
（2）原不等式可化为，其中，，整理得，即，
所以或.
因为，，所以，.
所以原不等式的解集为.
16. 给定函数
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程的解的个数
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极小值，无极大值；
（2）作图见详解； （3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.
（3）利用数形结合法即可求解.
【小问1详解】
由，定义域为
，
令，即，
令，即，
令，即，
所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，为极小值点，
所以函数的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
函数的大致图象，如图所示：
【小问3详解】
方程解的个数等价于与的交点个数.
由（2）可知当时，方程的解为个；
当或时，方程的解为个；
当时，方程的解为个.
17. 某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出．
（1）写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）；
（2）当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）生产量为12吨时，总利润最小为56千元
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数关系式，及利润的计算公式即可求解，
（2）根据二次函数、对数函数的单调性求最小值，比较大小即可求解.
【小问1详解】
由已知可得，又，
当时，，
当时，，
故；
【小问2详解】
当时，，．
当时，，易知函数单调递增，
故．
因为，所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）对于，，求实数的取值范围．
【答案】（1）时在上单调递减，
时在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）应用导数及分类讨论研究函数在区间上的单调性即可；
（2）结合（1）结论，讨论与区间的位置关系求区间单调性，进而求的最小值，即可求范围.
【小问1详解】
由f'x=ax+2a−1−2x=ax2+(2a−1)x−2x=(ax−1)(x+2)x且，
当时，，则在上单调递减，
当时，时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，
时在上单调递减，
时在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由题设，恒成立，
由（1）知，时，即在上单调递减，
此时f(x)≥fe=a2e2+2a−1e−2，只需a2e2+2a−1e−2≥2，
所以(e22+2e)a≥e+4⇒a≥2e，显然不成立；
时，在上单调递减，在上单调递增，
若，则在上单调递增，此时f(x)≥f1=a2+2a−1，
只需a2+2a−1≥2⇒5a2≥3⇒a≥65，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)≥f1a=a2×(1a)2+2a−1×1a−2ln1a=2+2lna−12a，
只需2+2lna−12a≥2⇒4alna≥1，而且，显然不满足前提，
若，则在上单调递减，此时f(x)≥fe=a2e2+2a−1e−2，
所以a2e2+2a−1e−2≥2⇒a≥2e不满足前提，
综上，.
19. 已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】(1)a=；增区间为，减区间为．(2)证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先确定函数的定义域，利用，求得a=，从而确定出函数的解析式，再解不等式即可求出单调区间；
（2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当时，，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得，利用不等式的传递性，证得结果.
【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且，
由解得：；由解得：，
所以的增区间为，减区间为．
（2）［方法一］：【最优解】放缩法
当时，.
设，则.
当时，；
当时，.所以是的最小值点.
故当时，.因此，当时，.
［方法二］：【通性通法】隐零点讨论
因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以．
设，则．
所以在区间内单调递减，故，即成立．
［方法三］：分离参数求最值
要证时，即，则证成立．
令，则．
令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减．
所以，而，所以恒成立，原命题得证．
［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式
，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以．
由，得．
．
当且仅当，即时，，所以．
［方法五］：异构
要证明，即证，
即证明，再证明即可．
令，．
设，则．
若时，在上恒成立，所以；
若时，当时；当时，．
所以为的极小值点，则．
因为，所以，所以．
令．
当时，；当时，，所以为的极小值点．
则，所以，即．
所以．
［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数
．
令，则．
令．显然为定义域上的增函数．又，故当时，，得；当时，，得．即在区间上为减函数，在区间上为增函数，故．即恒成立，而恒成立．
【整体点评】（2）方法一：利用的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解；
方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法；
方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法；
方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不一样；
方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐；
方法六：基本类似于方法三．