2025--2026学年山东省日照市高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省日照市高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知等差数列的首项,公差,则
A. 5B. 7C. 9D. 11
2. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. 2D. 0
3. 函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不必要也不充分条件
4. 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 记数列的前项和满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
7. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
8. 若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. 1B. C. 4D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. 和的等比中项为4
C. 取最大值时，的值为2或3D. 若，的最大值为5
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 函数有两个极值点
C. 方程有两个不同的根
D. 若函数 在定义域内为增函数，则
11. 已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，.数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数，则__________.
13. 已知函数在处有极小值，则__________.
14. 已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列数列的前项和为，求．
16. 已知函数，.
（1）若函数在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
17. 已知函数的一个极值点是.
（1）当时，求的单调区间；
（2）设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围.
18. 已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设第个群中所有项的和为，求；
（3）在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围.
19. 已知函数和，直线与两条曲线和均相交.
（1）若直线与两条曲线共有2个不同的交点，求实数的取值范围；
（2）求同时与曲线和相切的直线条数；
（3）若直线与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为，，，，是否存在，使得，，，依次成等比数列？请说明理由.
（注：，）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等差数列的首项,公差,则
A. 5B. 7C. 9D. 11
答案：C
解析：
思路：
直接利用等差数列的通项公式，即可得到本题答案.
解答过程：由为等差数列，且首项，公差，得.
故选：C
方法提示：本题主要考查利用等差数列的通项公式求值，属基础题.
2. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. 2D. 0
答案：A
解析：
解答过程：由已知，，，，
，，
.
3. 函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不必要也不充分条件
答案：A
解析：
解答过程：若在上恒成立，则在区间单调递增，充分性满足；
若在区间单调递增且可导，则在上（等号在某些点处取得），不能得到，
比如在单调递增，但，以及还有不可导的情况，必要性不满足，
因此“在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的充分不必要条件.
4. 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由的图象可得，在轴的左侧，图象下降，递减，即有导数小于0，可排除C，D；
再由轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．
5. 记数列的前项和满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用与的关系求解即可.
解答过程：因为，
当；
所以，
当时，，符合上式，所以，
故选：C.
6. 已知函数，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先判断为定义域上的奇函数且导数恒正单调递增,再利用奇偶性把不等式化为,借助单调性得到二次不等式,求解得或.
解答过程：函数的定义域为，且.
即为上的奇函数.
求导得.
故在上单调递增.
原不等式等价于.
由单调性得，即，解得或.
7. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
答案：D
解析：
思路：由与的关系及等差中项的性质结合题意计算可得.
解答过程：因为，所以，
，所以，
因为是等差数列，则，即是递增数列，
因为所以，
又，，
所以当时，；当时，；
所以仅有，即满足的正整数n的值为16.
8. 若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. 1B. C. 4D.
答案：C
解析：
思路：令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解.
解答过程：令，其中，
则，当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减．
所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立．
令得，由图可知，
因此实数的最大值为4．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. 和的等比中项为4
C. 取最大值时，的值为2或3D. 若，的最大值为5
答案：AC
解析：
思路：先设等差数列首项、公差，由、求出、，推出通项判定A正确，再算出得其等比中项为±4判定B错误，求出前项和，由二次函数性质知取2或3时最大判定C正确，解不等式得最大为4判定D错误，最终得正确选项为AC.
解答过程：设等差数列的首项为，公差为.
已知，，由得.由得.
等差数列的通项公式为，故选项A正确.
由通项公式可得，，
设和的等比中项为，则，解得，因此选项B错误.
等差数列的前项和公式为，
配方得，因为，所以或时，取得最大值，选项C正确.
令，即，解得，因为，所以满足的的最大值为，选项D错误.
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 函数有两个极值点
C. 方程有两个不同的根
D. 若函数 在定义域内为增函数，则
答案：ACD
解析：
思路：先对求导代入求出,判定A正确,再代入得到解析式与导数,由导数零点仅有知只有一个极值点,判定B错误,构造求导分析单调性与最值,结合两端趋势知有两个零点,判定C正确,整理增函数对应的导数恒非负,用基本不等式求出最小值为4,得,判定D正确,最终选ACD.
解答过程：已知，定义域为，求导得.
令，则，解得，故选项A正确.
将代入得，.
令，得（舍去），当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故仅有一个极小值点，无极大值点，选项B错误.
令，求导得.
令，得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，且和时，
由零点存在定理有两个不同根，即方程有两个不同根，选项C正确.
由在内为增函数，得恒成立，即恒成立.
由基本不等式得，当且仅当时取等号，故，选项D正确.
11. 已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，.数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
答案：ABD
解析：
思路：对于选项A，直接枚举满足条件的最小几项和并按升序排列.对于选项B，在给定区间内固定最大指数，通过枚举较小指数的可能组合并分类计数，得到区间内项数.对于选项C，先用2的幂表达，再求即可.对于选项D，利用区间端点均为2的幂的性质，确定区间内所有组合必以区间右端点的指数为最大指数，进而利用组合数与裂项相消法求和.
解答过程：因为，，
而．
对于选项A，依次列举较小的的值，，
，故A正确；
对于选项B，，从中找落在内的项，
当时，共4种情况；
当时，共3种情况；
当时，共2种情况；
当时，共1种情况；
所以种情况，故B正确；
对于选项C，，中在前面的有
当，恰好是从中选3个不同的数组合，共个；
当，，恰好是从中选2个不同的数组合，个；
当，，有，共2个；
3种情况共个，则是第个，即，C错误.
对于选项D，表示从中找落在内的项数．
当时，共种情况；
当时，共种情况；
．．．．．．
当时，共1种情况；
所以，故
所以，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数，则__________.
答案：4
解析：
解答过程：函数，则.
则，.
13. 已知函数在处有极小值，则__________.
答案：
解析：
思路：先对求导因式分解得到，求出导数零点为与，由是极小值点推出或，再分别检验两处零点左右导数符号，判断单调性变化，排除后得到.
解答过程：
所以.
令，得或.
因为在处有极小值，所以是的变号零点，即或.
①当时，，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
故处取极小值，符合题意.
②当即时，，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
是函数的极大值点，不合题意，舍去.
综上得.
14. 已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为__________.
答案：25
解析：
思路：分和两种情况讨论最小值.
解答过程：若，则要使最小,取，
，，，，，，，，时，最小，
此时的最小值为.
若，则必有，
取，，，，，，，，时，才能使得最小，
此时，
因为，
所以的最小值为25.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列数列的前项和为，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）利用分组求和法求解即可.
（1）设数列的公差为．因为，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
．
16. 已知函数，.
（1）若函数在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：(1)求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出的值并验证即可
(2)求出函数及导数，再由在上恒成立求出的范围
（1）由题，，因为在处的切线为，所以，
代入得切点为，切点在切线上，则.
（2）由题，求导得，
由在上单调递增，得在上恒成立，
当时，，因此在上恒成立，又，则
17. 已知函数的一个极值点是.
（1）当时，求的单调区间；
（2）设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围.
答案：（1）在上单调递增，在和上单调递减
（2）解析：
思路：（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数讨论，分析函数单调性；
（2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解．
（1）（），
，
因为函数的一个极值点是，
，即，则有，
则f'x=−x2+2−ax+2aex=−x−2x+aex（），
当时，令得或，列表如下：
满足是函数的极值点；
综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减．
（2）由（1）知，，且，
在单调递增，在单调递减，
又，，
在上的最大值为，最小值为，
又时函数在单调递增，
在上的最大值为，最小值为，
因为存在，，使得成立，
即存在，，使得成立，
则−a−a2e−2e2，
又，解得，
所以实数的取值范围为．
18. 已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设第个群中所有项的和为，求；
（3）在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由递推式取倒数构造等差数列,结合,求出首项与公差,进而得出通项公式.
（2）先找准分群规律,确定第群的项数、首项和末项的下标,再利用等差数列求和公式,代入通项化简得到群和.
（3）由递推累乘求出表达式,分离参数构造数列,作商判断单调性,求出最小值,进而得到的取值范围.
（1）由，两边取倒数得.
由，得.又，故.
所以是以为首项，为公差的等差数列.
故.
（2）分群规律：第个群项，第个群项，，第个群有项.
前群共有项数.
所以第群首项为，末项为.
,
项数为，则
.
（3）时，，
.
时也满足，故.
由，得.
令..
又，.
时，时.
故最小值为.
所以，实数取值范围为.
19. 已知函数和，直线与两条曲线和均相交.
（1）若直线与两条曲线共有2个不同的交点，求实数的取值范围；
（2）求同时与曲线和相切的直线条数；
（3）若直线与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为，，，，是否存在，使得，，，依次成等比数列？请说明理由.
（注：，）
答案：（1）
（2）2 （3）存在，理由见解析
解析：
思路：（1）根据导数得出的单调性，结合图象，即可求解；
（2）由已知表示出和的切线方程，结合已知得出，，消去，构造函数，，根据导数及零点存在性定理即可求解；
（3）由的性质画出图象，可得，再利用函数值相等，借助同构的思想推理即得．
（1）函数和的定义域分别为和，
又，，
令得，令得，
当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，
当时，；当时，；当时，，，
又，
如图，因为直线与两条曲线和共有2个不同的交点，
所以t的取值范围为.
（2）设函数和在点和处的切线分别为和，
即和，
由题意可得，，
由于，消去可得，即，
令，，
由和可知，
则，
当时，，，则；
当时，，
则在上单调递增，此时，
所以当时，，
当时，，当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
而，，
当时，，由零点存在定理，存在，使得，
故存在两个零点和，则与这两条曲线都相切的直线条数为2．
（3）由（1）可知且，
再由可知，而，
函数在上递减，因此，
同理可得，
又，于是，从而有，
要使，，，依次成等比数列，只需保证，即，
利用，可得，，则，
故，
于是，
即，
令，则，
令，则，
令，则，
则在单调递增，
又，，故存在使得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
又，则，
而，，
故在上存在两个零点，且，
当时，由可知，
两边同时减去整理得，
令，则，故在单调递减，
因为，
而，由在单调递增可知，
即，故，则，
再由可知，与矛盾，
所以区间上满足题意的是唯一的，即，此时的值也是唯一的，
故存在唯一的t，使得，，，依次成等比数列．2
－
0
＋
0
－
减
增
减