山东省日照市2025^2026学年高二上学期开学考试数学试题[有解析]

这是一份山东省日照市2025^2026学年高二上学期开学考试数学试题[有解析]，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为（ ）
A．B．3cmC．D．1cm
5．若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( )
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
8．在中，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．已知非零实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
10．设为两个事件，且，下列说法正确的有（ ）
A．若互斥，则B．若互斥，则
C．若独立，则D．若独立，则
11．已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ）
A．四面体的体积为定值
B．存在点，使平面
C．二面角的正切值为
D．当为的中点时，四面体的外接球表面积为
三、填空题
12．若幂函数的图象经过点，则 ．
13．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
14．已知锐角的面积为，点分别在上，且对任意恒成立，则 ．
四、解答题
15．为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率．
16．已知函数的部分图象如图所示.为图象的最高点，为图象与轴的交点，点，且为正三角形．
(1)求函数的解析式及其单调递增区间；
(2)当时，求函数的最值．
17．函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．已知函数．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)求证：函数的图象关于点中心对称；
(3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围．
18．在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求；
(3)求的最小值．
19．如图，在正四棱锥中，所有棱长均为．点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为．

(1)求证：平面平面；
(2)求的值；
(3)记直线与侧面所成的角分别为，求证：为定值．
答案
1．A
【详解】由集合并集运算得到．
故选：A.
2．D
【详解】因为，所以.
故选：D
3．B
【详解】由在单调递增，所以，
当时，没有意义，所以不能推出，
所以是的必要不充分条件，
故选：B.
4．A
【详解】设圆锥的底面半径为，因圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的高的长为，母线长为，
由题意，，即，解得.
故选：A.
5．D
【详解】∵函数是偶函数，
∴，
又∵，
，
，
，
∴函数的周期为4，
∴.
故选：D.
6．B
【详解】由题意有，
故选：B.
7．A
【详解】由题得的最小正周期为，即在内，有3个周期，
又其值域为，且当时，，
在同一个坐标系内作出与的图象如图所示，
由图象知曲线与有6个交点．

故选：A.
8．B
【详解】根据题意，设，，如图所示：
则在中，由余弦定理得：，
同理可得，因为，
所以,所以，
解得或（舍），所以.
故选：B.
9．AB
【详解】对于A选项：由不等式的基本性质∵，∴，A选项正确；
对于B选项：当时，，当时，则，，B选项正确；
对于C选项：当，时，满足，此时，∵，∴，C选项错误；
对于D选项：当，时，满足，此时，，，D选项错误.
故选：AB.
10．BCD
【详解】对于A，若互斥，则，A错误；
对于B，若互斥，则，B正确；
对于C，若独立，则，C正确；
对于D，若独立，则，D正确，
故选：BCD
11．ABD
【详解】对于A选项，在正方体中，，，，
，四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
为上一动点，，
正方体的棱长为2，
，
四面体的体积为定值，故A正确；
对于B选项，当为中点时，平面，证明如下：
取的中点，的中点，连接，
分别为中点，，
平面，平面，平面，，
分别为中点，，
在正方形中，，，
，平面，
平面，平面，，
分别为中点，，
平面，平面，平面，，
分别为中点，，
在正方形中，，，
，平面，平面，
平面，，
，平面，平面，
即存在点，使平面，故B正确；
对于C选项，过作于点，过作于点，
在直角三角形中，，，，
，，
在中，，，，
，，
，，
，点与重合，
是二面角的平面角，
，故C错误；
对于D选项，取的中点，连接，
在直角三角形中，，
又由B选项中可知， 平面，平面，
，
，，，为四面体的外接球的球心，
外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】设幂函数y=xα（α∈R），其函数图象经过点（2，），
∴2α=；解得α=﹣2，∴y=f（x）=x﹣2；∴f（3）=，
故答案为．
13．/
【详解】
当时
故
14．
【详解】由题意知锐角的面积为，则，即得，
表示直线上的一点到点D的向量，
故表示直线上的一点到点D的距离，
由于对任意x∈R，AD−xAB≥DE恒成立，则的模即为D到直线的最短距离，
则，同理可得，
由于，则，即得，
由，得，
由锐角可知A为锐角，故为钝角，
故cs∠EDF=csπ−A=−csA=−1−sin2A=−1−2552=−55，
故DE⋅DF=|DE|⋅|DF|cs∠EDF=4c×12b×−55=4885−55=−65，
故
15．(1)，平均数为分，中位数为分；
(2)
【详解】（1）由已知可得，解得，
所抽取的名学生成绩的平均数为（分），
由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以，中位数，由题意可得，解得（分）.
（2）由可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为，
记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为，
则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种.
其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种.
故所求概率为.
16．(1)；单调递增区间为；
(2)最大值，最小值.
【详解】（1）为图象的最高点，点的纵坐标，即的高为，
为正三角形，，
又，.
，，
则，即，
，.
.
令，
解得，
函数的单调递增区间为.
（2）当时，，
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值.
综上，函数的最大值，最小值.
17．(1)在定义域R内单调递增，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）函数在定义域R内单调递增，证明如下：
，任取，令，
则，，，
故，
即，所以在定义域R内单调递增.
（2）证明：因为的定义域为R，
，，
有，
所以的图象关于点对称.
（3）因为，即，
由（1）可知：在定义域R内单调递增，则，
由（2）可知：，即，
可得，即，
由，得，
即，解得，
所以实数m的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)4
(3)
【详解】（1）因为，根据正弦定理得.
又因为，
所以.
又为三角形内角，所以.
（2）因为，，
所以，，
.
所以.
由正弦定理得，
又，所以，.
由余弦定理得.
所以.
（3）因为
.
由正弦定理
因为，所以，
所以，当且仅当即时取等号.
所以的最小值为.
19．(1)详见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，所以PC⊥DR,PC⊥BR，
又DR∩BR=R,DR,BR⊂平面BRD，所以 PC⊥平面BRD，
又，所以平面PBC⊥平面BRD；
（2）设，连接，则平面，
设点到平面的距离为，
因为在正四棱锥中，所有棱长均为，所以四个侧面的正三角形的面积均为12a2×sin60∘=34a2，
底面正方形的面积为，又ℎ=a2−(22a)2=22a，
依题意可得，所以VP−ABCD=VQ−PAB+VQ−PBC+VQ−PCD+VQ−PDA，
所以13a2ℎ=13S△PABd1+13S△PBCd2+13S△PCDd3+13S△PDAd4，即a2×22a=34a2(d1+d2+d3+d4)，解得d1+d2+d3+d4=263a；
（3）设平面与的交线为，P∈l,P'∈l，
过点作平面P'MN使得PP'⊥平面P'MN，（即过点作交于点、交于点，再在平面内作MP'⊥AB，连接则，又MN∩MP'=M，MN,MP'⊂平面P'MN，所以AB⊥平面P'MN,
又AB//CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD，所以AB//平面PCD，
又平面与的交线为，，所以AB//PP'，所以PP'⊥平面P'MN），
设QH=m,P'M=a2−(12a)2=32a,P'H=PO=22a,MN=a，
所以P'M⋅d1=MQ⋅P'H，即32a⋅d1=(a2−m)⋅22a，所以d1=23(a2−m)，
同理可得d3=23(a2+m)，所以d12+d32=43(a24+m2)，
设，同上方法可得d22+d42=43(a24+n2)，
所以d12+d22+d32+d42=43(a22+n2+m2)，
而PQ2=OP2+OQ2=a22+n2+m2，所以d12+d22+d32+d42=43PQ2，
又与侧面PAB,PBC,PCD,PDA所成的角分别为α,β,γ,δ，则
sinα=d1PQ,sinβ=d2PQ,sinγ=d3PQ,sinδ=d4PQ，
而sin2⁡α+sin2⁡β+sin2⁡γ+sin2⁡δ=d12+d22+d32+d42PQ2=43，
所以cs2⁡α+cs2⁡β+cs2⁡γ+cs2⁡δ=4−(sin2⁡α+sin2⁡β+sin2⁡γ+sin2⁡δ)=4−43=83.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
D
B
A
B
AB
BCD
题号
11









答案
ABD