2025--2026学年陕西省汉中市汉台中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西省汉中市汉台中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了 “为锐角”是“”的， 已知，且，则， 下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。
1. 如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期（ ）
A. 五B. 六C. 日D. 一
2. “为锐角”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）

A. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
B. 点第一次到达最高点需要20秒
C. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米
D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，且，则
10. 如图，四棱锥是所有棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 四点共面B. 平面
C. D. 平面平面
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于点对称
（第Ⅱ卷非选择题共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______.
13. 函数的值域为______
14. 若及是关于x的方程的两个实根，则实数k的值为________
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积.
（2）在正四棱台中，，求棱台的体积.
16. 计算：
（1）已知为第二象限角，，求
（2）（i）求的值
（ii）求的值
17. 若，，且，．
（1）求和；
（2）求及．
18. 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，、分别是棱、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
（3）已知正方形的边长为2，，求：
①异面直线所成角的余弦；
②直线与平面所成角的正弦．
19. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式．
（2）设函数．
（i）求的单调递减区间；
（ii）若，，恒成立，求的取值范围．
数学
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期（ ）
A. 五B. 六C. 日D. 一
答案：C
解析：
思路：根据题意得到周期为7，进而求解.
解答过程：每隔七天循环一次，，故58天后为周日.
故选：C.
2. “为锐角”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：利用充分条件和必要条件的定义求解.
解答过程：若为锐角，则，
而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角，
所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
3. （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程.
4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
答案：A
解析：
解答过程：对于A：若，，则的法向量都与平行，即的法向量平行，所以，故正确；
对于B：若，，则或者与相交，故错误；
对于C：若，，则，或者与相交，或者与异面，故错误；
对于D：若且，则，或者，或者与相交，故错误.
5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用正弦函数的单调性结合诱导公式可得出之间的大小关系.
解答过程：由题意得；
.
因为在区间上单调递增，且，
所以，即.
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由二倍角余弦公式可知，
即.
7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）

A. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
B. 点第一次到达最高点需要20秒
C. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米
D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
答案：C
解析：
思路：根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可.
解答过程：设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，
由题意，，
所以，解得，
因为，所以，
则，
当时，，所以，则，
又，则，
综上，，故A正确；
令，则，
令，得秒，故B正确；
当秒时，米，故C错误；
当秒时，米，故D正确.
故选：C.
8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．可得是函数的周期的整数倍.
即，即，
又，则，
故，
当时，，
则在上单调递减，
由，得，即，
则.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，且，则
答案：BD
解析：
思路：对于A，由二倍角公式即可得解；对于B，运用诱导公式及和角的正弦公式即可得解；对于C，运用二倍角的余弦公式即可得解；对于D，根据可解得，结合，可求得，进而可求得，即可得解．
解答过程：对于A：，故A错误.
对于B：，故B正确.
对于C：由二倍角的余弦公式，可得，故C错误.
对于D：由①两边取平方，可得，
化简得，
因，故，则，，
由，可得②，
联立①②，解得，故，故D正确．
10. 如图，四棱锥是所有棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 四点共面B. 平面
C. D. 平面平面
答案：ACD
解析：
思路：对于A，取的中点，先证平面，平面，由平面平面得四点共面，得，可证得即得；对于B，运用反证法思想进行说明，引出矛盾，排除B项，对于C，由A结论，运用线面垂直易得线线垂直，对于D，只需证明两个平面有中两组分别相交的平行线即得.
解答过程：
对于选项A：如图，取的中点，连接，，，，
依题意，可得，，，
因平面，则平面，同理平面，
又平面平面，所以四点共面，
易知，，所以四边形是平行四边形，
故，因为，所以，所以四点共面，故A正确；
对于选项B：假设平面，因平面,则，所以是菱形，
这与，矛盾，故B错误；
对于选项C：由A知平面，平面，所以，故C正确；
对于选项D：由A知，又，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
因为，平面，平面，所以平面，
又，，平面，所以平面平面，故D正确．
故选：ACD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于点对称
答案：BCD
解析：
思路：A选项，由图象可以看出函数的最小正周期，求出；B选项，将代入，结合得到；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，得到D正确.
解答过程：A选项，由图象可以看出的最小正周期为，
又故，A错误；
B选项，将代入得，解得，
因为，所以只有时，满足要求，
故，B正确；
C选项，，
的图象与轴的交点坐标为，C正确；
D选项，时，，
由于的一个对称中心为，
故函数的图象关于点对称，D正确.
故选：BCD
（第Ⅱ卷非选择题共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______.
答案：
解析：
思路：直接代入扇形公式求解即可.
解答过程：，.
13. 函数的值域为______
答案：
解析：
解答过程：，由，
得，令，则，
，函数在上单调递减，
当时，；
当时，，故函数的值域为.
14. 若及是关于x的方程的两个实根，则实数k的值为________
答案：
解析：
思路：根据韦达定理得到，结合列出关于的方程，由判别式即可求解.
解答过程：因为及是关于x的方程的两个实根，
则，，
因为且，
所以，即，
解得：或，
因为方程有两个实根，
所以，解得：或，
所以，
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积.
（2）在正四棱台中，，求棱台的体积.
答案：（1）体积，表面积为；（2）.
解析：
思路：（1）由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式和表面积公式求球的体积和表面积；
（2）根据题意求出、，则计算出、，根据棱台体积公式计算即可.
解答过程：（1）设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆，，
在中，， ，
∴球的半径，
因此球的体积，球的表面积为；
（2）如图，过作，垂足为，
易知为四棱台的高，因为，
则，，
故，则，
所以所求体积为.
16. 计算：
（1）已知为第二象限角，，求
（2）（i）求的值
（ii）求的值
答案：（1）
（2）（i）；（ii）.
解析：
思路：（1）利用同角公式列出方程求解.
（2）（i）（ii）利用齐次式法求解.
（1）由为第二象限角，得，由，得，
所以.
（2）由，得（i）；
（ii）.
17. 若，，且，．
（1）求和；
（2）求及．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据同角三角函数的平方关系求解；
（2）根据两角和的余弦公式进行计算，根据的值和的范围确定的值.
（1）因为，所以，
所以，
又，，所以，
所以；
（2），
又，所以.
18. 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，、分别是棱、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
（3）已知正方形的边长为2，，求：
①异面直线所成角的余弦；
②直线与平面所成角的正弦．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）①；②
解析：
思路：（1）根据即可证明；
（2）通过和得出平面，即可得出，进而证得；
（3）①通过题意可得∠PCB为异面直线AD，PC所成的角，求解即可；
②通过证明CD平面ABCD可得∠CPD为直线CP与平面PAD所成的角，即可求出.
（1）证明：由、分别是棱、的中点，可得：，
又平面，平面，所以平面；
（2）∵底面为正方形，，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，所以，
又由（1）得，所以；
（3）①∵底面为正方形，∴AD∥BC，BCAB，
∴∠PCB为异面直线AD，PC所成的角，
∵平面，，，
因为，所以BC平面PBC，所以，
因为正方形的边长为2，，
所以，，
所以；
②∵底面为正方形，∴CDAD，
∵平面，CD平面ABCD，∴CDPA，
因为，所以CD平面ABCD，
∴∠CPD为直线CP与平面PAD所成的角，∴.
19. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式．
（2）设函数．
（i）求的单调递减区间；
（ii）若，，恒成立，求的取值范围．
答案：（1）
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）由图可知，根据周期求出，根据函数的最大值求出，将代入求出，即可得到答案；
（2）（i）根据两角和的正弦公式及辅助角公式求出，结合正弦函数的单调性，整体代入求解即可得答案；（ii）求出函数在上的最大值和最小值，进而得到的最大值，即在上恒成立，结合一次函数的性质列不等式组即可求出答案.
（1）设的最小正周期为，则，解得，
所以，解得.
由题意知，所以，
又，
所以，即，
又，所以，
所以.
（2）（i）
，
由，解得，
故的单调递减区间为.
（ii）设，
因为，所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，，
当，即时，，
故在上的最大值和最小值分别为和.
因为，，
所以恒成立，
所以
解得，所以的取值范围为.