2025--2026学年重庆市江津中学高二下册第一阶段（月考）数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年重庆市江津中学高二下册第一阶段（月考）数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8.小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 等于（ ）
A. 21B. 35C. 210D. 73
2. 定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 某班元旦晚会安排4个节目：唱歌、舞蹈、小品、魔术，其中魔术节目不能安排在第一个和第四个表演，则不同的节目顺序有（ ）
A. 8种B. 10种C. 12种D. 16种
4. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
6. 已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A. 若自由放置，共有3125种不同的放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有240种放法
C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种
D. 将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种
11. 已知，（ ）
A. 当时，既有极大值，又有极小值.
B. 若在处取到极大值，则实数a的取值范围为
C. 当时，在区间内取到最小值，则实数的取值范围为
D. 不存在实数a，使得在区间内既有最大值又有最小值
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是可导函数，且，则__________.
13. 除以7的余数为__________．
14. 如下图是重庆的网红打卡点—解放碑，五一节即将来临，为了迎接来自全国各地的游客，计划把重庆解放碑周围圆环形花台5个区域种花（不含中间小圆区域），现有红、橙、黄、蓝4种颜色的花可供选择，要求相邻区域不能种植同种颜色的花，则总的种植方案有__________种（用数字作答）
四、解答题：本题共5题，共77分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 江津中学举办校园艺术节文艺汇演，节目单中有7个节目，其中舞蹈类节目4个，歌唱类节目3个，各类节目内部也分别不同.要求对这7个节目进行排序，回答下列问题：
（1）若要求3个歌唱类节目必须排在一起，共有多少种不同的节目排序方法？
（2）若要求3个歌唱类节目两两不能相邻，共有多少种不同的节目排序方法？
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值（结果用数字表示）.
17. 已知函数在处取得极大值
（1）求a，b的值；
（2）证明：时．
18. 紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为．
（1）求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率；
（2）已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率；
（注：贝叶斯公式）
（3）小明为了更好的通关，现有两种方案：
方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取；
方案二：第二次从另一个机器中抓取．
比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大．
19. 已知函数．
（1）若在定义域内不单调，求实数a的取值范围；
（2）当时，若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围；
（3）若存在两个不同的极值点，，，且，求实数m的取值范围．
数学
满分150分，考试时间120分钟，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都。
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8.小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 等于（ ）
A. 21B. 35C. 210D. 73
答案：B
解析：
解答过程.
2. 定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：
解答过程：由图知，的图象在区间上依次单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，
结合极值点的定义知，共有4个极值点.
3. 某班元旦晚会安排4个节目：唱歌、舞蹈、小品、魔术，其中魔术节目不能安排在第一个和第四个表演，则不同的节目顺序有（ ）
A. 8种B. 10种C. 12种D. 16种
答案：C
解析：
解答过程：先排魔术节目，有种选择，再将其他节目排列，共有种排序方法.
4. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据近视情况分为超过和低于两种可能，利用全概率公式计算可得．
解答过程：某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过，
超过近视率约为，不超过近视率约为，
所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是．
故选：C．
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
答案：B
解析：
解答过程：由的展开式通项为，，
所以时，，时，，
可得展开式中的系数为.
6. 已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：
求导得，直线斜率为，
当直线与曲线的切线平行时，最小，此时，解得，
故切点为，
则的最小值为切点到直线的距离，
即．
7. 甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可.
解答过程：比三场，甲赢的概率为；
比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为；
比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为;
所以甲赢的概率为，
所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为.
8. 关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：依题意将“方程恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线与函数的图象在恰好有两个不同的交点”，根据导数与最值的关系得到，解之即可.
解答过程：由题意得，，因为，则，
即，，也即.
令，则，
则方程恰好有4个实数根可转化为直线与函数的图象在恰好有两个不同的交点，
，令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，当时，，
所以需使，即.
故实数的取值范围为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：BC
解析：
解答过程：是常数，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
10. 现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A. 若自由放置，共有3125种不同的放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有240种放法
C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种
D. 将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种
答案：ACD
解析：
思路：结合组合数、排列数由分步乘法计算原理逐项计算即可求解；
解答过程：对于选项A：每个小球都有5种选择，所有共有种，故A正确；
对于选项B：第一步，选择一个盒子不放球，由,
第二步，5个小球分成4组，分别放入4个盒子有：，
所以共有种，故B错误；
对于选项C：第一步选择两个盒子使得编号与小球相同，有，
第二步，剩下3个球，3个盒子使得盒子编号与小球编号不相同共有2种，
所以共有20种，故C正确；
对于选项D：第一步，确定哪个盒子不放球，有，
第二步，剩下四个盒子确定哪个盒子放两个球，即可；
所有共有20种，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知，（ ）
A. 当时，既有极大值，又有极小值.
B. 若在处取到极大值，则实数a的取值范围为
C. 当时，在区间内取到最小值，则实数的取值范围为
D. 不存在实数a，使得在区间内既有最大值又有最小值
答案：AD
解析：
思路：先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可.
解答过程.
当，即时，由，得或，由，得.
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时在处取极大值，在处取极小值.
当，即时，由，得或，由，得.
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时在处取极大值，在处取极小值.
当，即时，，则在上单调递增，此时无极值.
对于A：当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确.
对于B：若在处取到极大值，则，故B错误.
对于C：当时，在处取极大值，在处取极小值.
又，要使在区间内取到最小值，则，
解得，故C错误.
对于D：若，若使在区间内既有最大值又有最小值，
则需，，，
即，，，
整理得，，
当时，，故，此时不存在的值.
若，若使在区间内既有最大值又有最小值，
则需，，，
整理得，，
则，故，此时不存在的值.
若，在区间内无最值.
综上，不存在实数a，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是可导函数，且，则__________.
答案：1
解析：
思路：根据导数的定义即可求解.
解答过程.
13. 除以7的余数为__________．
答案：2
解析：
解答过程：余2，余4，余1，余2，
余数的周期为3，
余1，
除以7的余数等于除以7的余数，即为2．
14. 如下图是重庆的网红打卡点—解放碑，五一节即将来临，为了迎接来自全国各地的游客，计划把重庆解放碑周围圆环形花台5个区域种花（不含中间小圆区域），现有红、橙、黄、蓝4种颜色的花可供选择，要求相邻区域不能种植同种颜色的花，则总的种植方案有__________种（用数字作答）
答案：240
解析：
思路：根据分步分类计数原理，结合种植花的不同颜色分类讨论求解即可.
解答过程：区域1：4种选择；区域2：3种选择；
区域3：分2种情况，
情况1：区域3和区域1相同，此时区域4有3种选择，区域5有2种选择，
共有（种）；
情况2：区域3和区域1不同，此时区域 3有2种选择，
当区域4和区域1相同，区域5有3种选择，当区域4和区域1不同，区域4有2种选择，区域5有2种选择，
共有（种）.
综上，总种植方案数：（种）.
四、解答题：本题共5题，共77分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 江津中学举办校园艺术节文艺汇演，节目单中有7个节目，其中舞蹈类节目4个，歌唱类节目3个，各类节目内部也分别不同.要求对这7个节目进行排序，回答下列问题：
（1）若要求3个歌唱类节目必须排在一起，共有多少种不同的节目排序方法？
（2）若要求3个歌唱类节目两两不能相邻，共有多少种不同的节目排序方法？
答案：（1）720 （2）1440
解析：
（1）因为3个歌唱类节目必须排在一起，用捆绑法，
将歌唱类节目捆绑在一起，共有
（2）因为3个歌唱类节目不能相邻，用插空法，
先将舞蹈类节目进行排列共有种，
形成五个空，选三个空将歌唱类节目排列，共有种，
所以一共有
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值（结果用数字表示）.
答案：（1）10 （2）
（3）1485
解析：
思路：（1）根据题目条件，令，化简可得的值.
（2）根据题目条件，令，结合等比数列的前项和化简可得结果.
（3）结合二项式展开式通项公式可得，结合组合数性质求值可得结果.
（1）令，则原式可化为，解得.
（2）令，则原式可化为，
所以
.
（3）是中的系数，
中的系数为，
所以.
17. 已知函数在处取得极大值
（1）求a，b的值；
（2）证明：时．
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）对函数求导，利用极值点处导数为0结合已知条件构造方程组，解方程组求a，b的值；
（2）利用（1）结论转化结论为，构造函数，求导并分析函数单调性，由函数单调递增得出，进而证明结论．
（1）函数求导得，
已知函数在处取得极大值，
，解得．
此时，令，解得或，
当时，，单调递增；
当或时，，单调递减；
在处取得极大值，极大值为，符合题意，
．
（2）由（1）知，则需证明，
令，
求导得，
当时，，则，故在单调递增，
，
，即，
，命题得证．
18. 紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为．
（1）求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率；
（2）已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率；
（注：贝叶斯公式）
（3）小明为了更好的通关，现有两种方案：
方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取；
方案二：第二次从另一个机器中抓取．
比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大．
答案：（1）
（2） （3）方案二
解析：
思路：（1）把“首次抓取抓到良品”拆分成两个互斥事件，分别求出对应机器及相应机器抓取良品的概率，再利用全概率公式计算求解；
（2）先计算总的通关概率，再计算首次选乙机器且通过的概率，再代入贝叶斯公式得出条件概率；
（3）分别计算方案一和方案二的概率，再通过比较得出结论．
（1）设选取甲机器为事件，则，选取乙机器为事件，则，
抓到良品娃娃为事件，则，，
由全概率公式．
（2）两次选机器、抓取均互相独立，则两次抓取良品概率相同：
；
首次选乙，第一次抓到良品，第二次独立选机器抓良品的概率为：
；
由贝叶斯公式计算条件概率得：．
（3）方案一：两次选取同一机器，抓取相互独立，概率为：
，
方案二：两次选取不同机器，抓取相互独立，概率为：
，
，
，故方案二的通关概率更大．
19. 已知函数．
（1）若在定义域内不单调，求实数a的取值范围；
（2）当时，若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围；
（3）若存在两个不同的极值点，，，且，求实数m的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）对函数求导得，结合定义域得出分母恒大于0，的符号由分子决定，根据在定义域内不单调，得出的最小值小于0，从而得出实数a的取值范围；
（2）代入化简不等式为，变形得，构造函数，结合单调性化简原不等式得，构造函数，通过单调性分析得出最大值为，从而得出实数b的取值范围；
（3）存在两个不同的极值点，等价于在
上有两个不同的实数根，结合判别式和定义域得出的取值范围，利用韦达定理得出的关系，进而化简，转化不等式为，即，通过换元法构造新函数，求导并分析函数单调性，求出的取值范围，进而求实数m的取值范围．
（1）函数的定义域为，
求导得，
，则，的符号由决定，
已知在定义域内不单调，等价于在内不恒非负，
令，函数开口向上，对称轴为，
则最小值为，
当时，在恒成立，，在定义域内单调递增；
当时，的最小值小于0，在定义域内有正有负，在定义域内不单调；
综上可得，实数a的取值范围为．
（2）当时，，代入不等式化简得
，
不等式两边加得，，
令，则，在上单调递增，
不等式等价于，则，即，
令，求导得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得极大值，即为最大值，最大值为，
结合有意义得，
．
（3）存在两个不同的极值点，等价于在
上有两个不同的实数根，则需满足：
，解得，
，
，
已知，由韦达定理得，
，且，，
，
，
原不等式，而，不等式化为，
即，
令，则，不等式化为，
令，，求导得
，
当时，，
，即在上单调递减，
在上的取值范围为，
要使不等式对所有满足条件的极值点恒成立，则需满足，
综上可得，实数m的取值范围为．