2025--2026学年云南省红河州第一中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年云南省红河州第一中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
3. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的最小正周期为（ ）
A. 4πB. 2πC. πD.
5. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 90B. 100C. 110D. 200
7. 若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（ ）
A. B. C. D.
8. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ）
A. 12B. 24C. 36D. 48
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 若，则的面积为
C. 若，则的周长为
D. 若直线：与双曲线无交点，则直线的斜率的取值范围为
11. 已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（ ）
A. 球的表面积为
B. 动点的轨迹长度为
C. 异面直线与所成角的正切值的取值范围是
D. 三棱锥的外接球球心为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则_______.
13. 已知，则的值为______.
14. 已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为，则该圆锥容器的容积的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为、、．若＝，＝，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，三角形面积，求的值．
16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
17. 某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列.
18. 已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且． 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由．
19. 若函数的定义域为，对任意，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，恒有.应用以上知识解决下列问题：
（1）判断、和在定义域上的凹凸性；（只写出结论，不需证明）
（2）判断函数，的凹凸性，并用定义证明；利用结论，在中，求的最大值；
（3）在中，角、、的对边分别为、、，记为的面积，为的周长，证明.
数学
满分150分，考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：结合数轴，由交集运算即可求解.
解答过程：在数轴上分别标出集合，所表示的范围，如图所示，
由图可知，．
2. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
答案：B
解析：
解答过程.
3. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由题设，故其虚部为.
4. 函数的最小正周期为（ ）
A. 4πB. 2πC. πD.
答案：C
解析：
思路：使用二倍角公式化简即可.
解答过程：，所以.
5. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可.
解答过程：因为，所以，
所以的图象关于原点中心对称，排除C，D，
当时，，排除B．
故选：A．
6. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 90B. 100C. 110D. 200
答案：B
解析：
思路：设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可.
解答过程：设首项为，公差为，因为，所以，
因为，所以，
联立方程组可得，解得，
则由等差数列求和公式得，故B正确.
7. 若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：求出圆心坐标与圆的半径，利用勾股定理可得出直线截圆所得的弦长，结合弦长为定值可得出关于的等式，解之即可.
解答过程：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线截圆所得的弦长为为定值，
所以，即，解得.
故选：D.
8. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ）
A. 12B. 24C. 36D. 48
答案：A
解析：
思路：确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可.
解答过程：由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，

排在位置，有种方法，
从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法，
最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法，
所以填写方格表的方法共有（种）.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：AC
解析：
思路：利用等比数列的通项公式及求和公式即可求解.
解答过程：由等比通项公式得：，
又因为，所以，
故A正确，B错误；
再由，
所以，故C正确，D错误；
故选：AC.
10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 若，则的面积为
C. 若，则的周长为
D. 若直线：与双曲线无交点，则直线的斜率的取值范围为
答案：AC
解析：
思路：根据双曲线的定义、标准方程、几何性质逐项计算判断即可.
解答过程：对于A：因为双曲线方程为，所以.
所以双曲线的离心率为，A正确；
对于B：不妨设点在双曲线右支上，则根据双曲线的定义，①，
因为，则根据勾股定理得②，
由①式取平方减去②式，可得，即得，
则的面积为，B错误；
对于C：因为，所以点在双曲线右支上，因，
建立解得，所以的周长为，C正确；
对于D：因为双曲线方程为，则其渐近线方程为.
因为直线：与双曲线无交点，则当时，；当时，；
故直线的斜率的取值范围为，故D错误.
故选：AC.
11. 已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（ ）
A. 球的表面积为
B. 动点的轨迹长度为
C. 异面直线与所成角的正切值的取值范围是
D. 三棱锥的外接球球心为，则
答案：ABD
解析：
思路：利用长方体的性质结合球的表面积公式判断A，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示并结合题意得到轨迹方程，进而求解轨迹长度判断B，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系判断C，利用球的方程求出的坐标，进而得到的长度判断D即可.
解答过程：对于A，设长方体的外接球半径为，
由长方体性质得，
由球的表面积公式得球的表面积为，故A正确，
对于B，如图，在长方体中，
以为原点建立空间直角坐标系，连接，
由题意得，，，，，
因为点为的中点，所以，
则，，设面的法向量为，
可得，令，解得，故，
因为为底面（含边界）内一个动点，
所以设，则，
因为平面，所以，
得到，化简得，
当时，，不符合题意，当，时，符合题意，
则的轨迹是点与点之间的线段，
由两点间距离公式得轨迹长度为，故B正确，
对于C，因为，所以，此时变为，
由题意得，，则，，
设异面直线与所成角为，
可得，
由同角三角函数的基本关系得，
则，令，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
而，，，可得，
即，故C错误，
对于D，由题意得是的中点，则由中点坐标公式得，
且，，，，设，半径为，
则外接球的方程为，
将代入方程，得到，
将代入方程，得到，
两式相减可得，解得，
将代入方程，可得，
此时变为，
两式相减得，解得，
将代入方程，可得，
此时变为，
两式相减可得，解得，
则，由两点间距离公式得，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则_______.
答案：
解析：
解答过程：由题意得.
13. 已知，则的值为______.
答案：
解析：
思路：根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.
解答过程：由可得，
故.
14. 已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为，则该圆锥容器的容积的最小值为________.
答案：
解析：
思路：因为正方体能在圆锥内部任意转动，所以正方体的外接球是圆锥的内切球，根据正方体棱长求出其外接球的半径的最大值，设圆锥的底面半径为r，高为h，利用圆锥内切球的性质，建立h与r的关系式，结合圆锥容积公式，将容积表示为关于单一变量r的函数，再利用求函数最值的方法（导数法）求容积的最小值.
解答过程：因为正方体在圆锥容器内部能任意转动，所以正方体的外接球在圆锥容器内部能任意转动，
又正方体的最大棱长为，所以外接球的半径的最大值，
此时正方体的外接球内切于圆锥容器，轴截面图如图所示，
设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，
由，得，则，
得，整理得，
所以圆锥容器的容积.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
故圆锥容器的容积的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为、、．若＝，＝，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，三角形面积，求的值．
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：（1）由已知条件，利用平面向量数量积的坐标运算可得，再逆用两角和的余弦公式及诱导公式化简，即可求解；
（2）由，可得，又由余弦定理可得，再利用配方法即可求解.
解答过程：解：（1）∵＝，＝，且，
∴ ，
∴，即，
∴，又，
∴；
（2）∵，
∴，
又由余弦定理得，
∴16＝，
所以．
16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
答案：（1）证明见详解
（2）解析：
思路：（1）由平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而，再由，利用线面垂直的判定定理证明；
（2）取的中点，连接，易证平面，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，易知平面的法向量为，由求解.
（1）平面平面，且平面平面，，平面，
平面，又平面，
∴，又且，平面，
平面.
（2）取的中点，连接，
，，
又平面，平面平面，平面平面，
平面，平面，
，又，，
如图建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
易知平面的法向量为，.
而二面角的平面角为锐角，故二面角的大小为.
17. 某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列.
答案：（1）甲； （2）分布列见解析.
解析：
思路：（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可；
（2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列.
（1）甲进入决赛的概率为，
乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，而，则，
所以甲进入决赛的可能性最大.
（2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率，
整理可得，解得或，而，所以.
则，
所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为，
随机变量的可能取值有0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
18. 已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且． 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由．
答案：（1）．离心率为．
（2）存在，， ．
解析：
思路：（1）根据短轴长，，，可得出的等量关系求解即可；
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零．又因为，所以．设直线的方程为，直线的方程为，联立消可得，设，得出，，表示出斜率，得出直线的方程为，即可判断恒过定点问题， 当为中点时，对与的位置关系进行分类讨论．
（1）解：由题意得：，
解得
所以椭圆的方程为．离心率为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零．
又因为，所以．
因为，
所以直线的方程为，直线的方程为．
由可得．
设，则．
所以．

同理可得：．
因为，
所以直线的方程为，
即．
所以直线过定点．
当为中点时，
因为点是过点作直线的垂线的垂足，
所以当与重合时，．
当与不重合时，根据直角三角形的性质，．
所以当为的中点时，即时，的长度为定值．
19. 若函数的定义域为，对任意，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，恒有.应用以上知识解决下列问题：
（1）判断、和在定义域上的凹凸性；（只写出结论，不需证明）
（2）判断函数，的凹凸性，并用定义证明；利用结论，在中，求的最大值；
（3）在中，角、、的对边分别为、、，记为的面积，为的周长，证明.
答案：（1）是下凸函数、是上凸函数，是下凸函数；
（2）函数在上是上凸函数，证明见解析；最大值为；
（3）证明见解析.
解析：
思路：（1）结合二次函数、对数函数及指数函数的性质和函数凹凸性的定义，即可得答案；
（2）根据函数凹凸性的定义，结合三角恒等变换及三角函数的性质，即可完成证明；利用基本不等式及三角形三个内角和为，即可求出最大值；
（3）设的半周长为，利用海伦公式，转化为证明，结合基本不等式证明即可.
（1）根据二次函数、对数函数及指数函数的性质可知：
是下凸函数、是上凸函数，是下凸函数；
（2）函数在上是上凸函数，证明如下：
任意，
又因为
则
，
因为，
所以，
所以，且，
所以，
即，
所以，
所以函数在上是上凸函数；
由题意可得，
又因为，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为；
（3）证明：设的半周长为，
因为，
所以
所以
，
因为，
所以
所以，
即，
要证明，
即证明.
即，
即，
即，
即，
由基本不等式可得，
又因为，
所以，
即，
即，
上式成立，故(当且仅当时，等号成立).0
1
2
3