河南省实验中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份河南省实验中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
2 已知函数 f  x   2lnx  x 2  x ，则曲线 y  f  x  在点1, f 1 处的切线方程为（）
1．“ 2x 1  5 ”．是“ x2  3 ”成立的（
）
A．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
D．充分必要条件
y  x 1
y  x 1
y  2x 1
y  1
10
已知数列a 满足 a  1 ， 1  1  2 ，则 a  （）
n13aa
n1n
11
12B． 21C．12D． 21
111
甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩 X  N ,2   0 ，乙地学生的成绩
222
Y  N ,2   0 ．下图分别是其正态分布的密度曲线，则（）（若随机变量 X  N ,2  ， 则 P  X   0.6827 ， P  2 X  2  0.9545 ，
P  3 X  3  0.9973 ）
甲地数学的平均成绩比乙地的高 B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
P(90X  94)  P(82X  90)
若2  8，则 P(92Y  124)  0.84
今年我校有 5 名新进教师，需将这 5 人全部分配到高中 3 个不同的年级，要求每个年级至少分配 1 人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（）
A．50 种B．60 种C．90 种D．150 种
已知定义域为 R 的函数 f  x 满足 f 1  e ，且 f  x   f x   0 ，则不等式 f  x 1  ex1 的解集是
（）
A． , 0
0, 
, 2
2, 
已知 a  2 ， 5a 12a  13b ，则（）
a  2  b
C． b  a  2
a  b  2
D． b  2 ，但 a 和b 的大小关系无法确定
在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1， 2 ， 3 ， 4 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一 件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打 开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现 在已知甲选择了 1 号箱，用 Ai 表示i 号箱有奖品i  1, 2, 3, 4 ，用 Bj 表示主持人打开 j 号箱子 j  2, 3, 4 ，下列结论正确的是（）
A． P  A   1
13
P B∣A   3
324
若 j  3 ，要使获奖概率更大，甲应该改选 2 号或者 4 号箱中的任意一个
若 j  3 ，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 1
3
多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
下列说法正确的是（）
若回归方程为 yˆ  5  3x ，则变量 x 与 y 正相关
运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本中心点 x , y  C．若散点图中所有点都在直线 y  0.92x  4.21上，则相关系数 r  0.92 D．若决定系数 R2 的值越接近于 1，表示回归模型的拟合效果越好
已知函数 f  x   ex  ex e  2.71828 ，则下列说法错误的是（）
x0  0 ，使得 f x0  
f  x0 
x  R ，都有 f x   f  x
y  xf  x 是偶函数D． f  x 有最小值
10921
设函数 f  x   (3x 1)9 ，且记 f  x   a x9  a x8  a x  a ，则（）
数列an 的首项为-1B．数列an  的前 10 项和为 512
数列(1)n a 的前 10 项和为49
数列 an

的前 10 项和为 0

n3n1 
填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
设集合 A   x, y ∣x  y  3  0 ， B   x, y ∣2x  y  0 ，则 A∩B  ．
已知函数 f  x  csx  ln x 
f s  t   ．
1 x2  π 在5, 5上最大值为 s ，且最小值为t ，则

4
2
平面直角坐标系中，原点O 处有一只蚂蚁，每过 1 秒，该蚂蚁都会随机的选择上、下、左、右四个方
向之一移动一个单位长度，则在第 6 秒，蚂蚁到原点O 的距离等于
的概率为．
解答题（本大题共 5 小题，15 题 13 分，16、17 题 15 分，18、19 题 17 分，共 77 分） 15．随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于 2021 年 1 月 15 日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校 80 名学生调查得到部分统计数据如表，记 A 为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”； B 为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件 A 的频率是事件 B 的频率的 2 倍．
求表中 a ， b 的值，并补全表中所缺数据；
运用独立性检验思想，判断是否有99.5% 的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
а
12
学习成绩不优秀人数
b
26
合计
2 
n(ad  bc)2
参考数据：a  bc  d a  c b  d  ，其中n  a  b  c  d ．
n
1
n
n
n1
n
已知数列a  的首项 a  1， a 的前 n 项和为 S ，且 S 2S  n 1n  N*  ．
证明数列an 1 是等比数列：
令 f  x   a x  a x 2  a xn ，求函数 f  x 在点 x  1 处的导数 f 1 ：
12n
已知函数 f  x   x2  2alnx  2  2a x  2a a  R  ．
P 2k 
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
讨论 f  x 的单调性；
若 a  0 ，关于 x 的不等式 f  x   2  2a  x  2alna  e 2 恒成立，求 a 的取值范围．
在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准．工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为1个单位，向“负方向姿态修正一次”记为-1 个单位，并且每次向正、负方向姿态修正的可能性相同．
求 6 次姿态修正后达到2 个单位的概率；
以下三种情况将导致校准流程终止：
情况 1：累计姿态偏移达到2 个单位（校准到位）； 情况 2：累计姿态偏移达到2 个单位（需紧急干预）；情况 3：完成 6 次姿态修正（能源耗尽）．
求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
设随机变量 X 表示终止时姿态修正的次数，求 E  X  ．
x  x  a , x  A
  
设 a  R ，A  a,  ，函数 f  x  
x ax , xA
，对于集合 P  R ，记 f P   f x ∣x  P．
若 a  2 ，求 f  A和 f ðR A ；
已知 a  0 ，设 B  b,  ，若 f  A  f B ，求b 的最小值；
若P  R ，都有 R f P  f  R P ，求 a ．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
A
B
D
D
A
B
C
BD
AD
ABD
12. {(1, 2)}
13. 
4
14.
75
256
解：（1）由已知得a  b  12  26  80，解得a  28 ，4 分


14
b
a  2b
补全表中所缺数据如下：
…6 分
280  (28  26 14 12)2
（2） K  9.825  7.879 ，11 分
42  38  40  40
有99.5% 的把握认为中学生使用手机对学习有影响．13 分
n
n1n
解：（1）证明：数列{an }的首项 a1  1，{an }的前 n 项和为 Sn ，且 S 2S  n 1(n  N*)，
不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
28
12
40
学习成绩不优秀人数
14
26
40
合计
42
38
80
所以 Sn  2Sn1 
（n >2)
所以an1  2an 1(n >2)  an1  1  2(an  1)(n
2) ，3 分
又 a1  1  2， S2  2S1  2 即 a2  1  2(a1  1) ，
所以数列{an  1}是公比和首项均为 2 的等比数列．6 分
（2）令 f (x)  a x  a x2  a xn，
12n
n
由（1） a  2n 1，所以 f (x)  2x  22 x2  2n xn  x  x2  xn ，所以 f (x) 1 2  2  22 x  3 23 x2  n  2n xn1 1 2x  3x2  nxn1 ，
所以 f  （1） 1 2  2  22  3 23  n  2n 1 2  3  n，9 分
设Tn 1 2  2  22  3 23  n  2n
1
所以2Tn 1 22  2  23  3 24  n  2n ，
123
nn1
2(1  2n )
n1
n1
所以Tn  2  2  2   2  n  21  2 n  2 (1  n)2 2 ，13 分
1
所以Tn  (n 1)2n  2 ，
又1  2  3  n  n(n 1) ，所以 f (1)  (n 1)2n1  2  n(n  1) ．15 分
22
解：（Ⅰ）函数 f (x) 的定义域为 (0, )，因为 f (x)  2(x 1)(x  a) ，1 分
x
当a 0 时， f (x)  0 ， f (x) 在 (0, )上单调递增；2 分
当a  0 时， x (0, a)时， f (x)  0 ， x (a, )时， f (x)  0 ，
 f (x) 在(0, a)上单调递减，在(a, ) 上单调递增；5 分
综上，当a 0 时， f (x) 在 (0, )上单调递增；
当a  0 时， f (x) 在(0, a)上单调递减，在 (a, ) 上单调递增；6 分
（Ⅱ） f (x)  (2  2a)x  2alna  e2 恒成立，即 x2  2alnx  2a  2alna  e2 恒成立，7 分
22a2(x2  a)
设h(x)  x
 2alnx  2a(x  0)， h (x)  2x ，
xx
因为a  0 ，令 h(x)  0 ，得 0  x  a ，令 h(x)  0，得 x  a ，
所以 h(x) 在(0,
单调递减，在 (
a, ) 单调递增．
min
所以h(x) a  alna ，所以a  alna  2alna  e2 ，即 a  alna  e2  0 ．10 分
当0  a 1时， a  alna  e2  e2  0 ，恒成立，不符合题意；12 分
当a  1时，设 g(x)  x  xlnx  e2 (x 1) ，则 g(x)  lnx  0，所以 g(x)在 (1, )单调递减，又因为 g(e2 )  0 ，所以 a  alna  e2  0 等价于 g （a）  g(e2 )，所以 a  e2．14 分
综上， a  e2 ，即 a 的取值范围是 (e2， )．15 分
解：（1）6 次姿态修正达到2 ，说明 4 次向正方向，2 次向负方向，
 P  C2  1 6  15 ；4 分
( )
6264
（2） (i) 记事件 A 为能源耗尽，事件 B 为校准到位，
 P(B | A) 
P( AB)
P( A)
[C1 
2

1
2 2
() ] 2
1
(1)
 2
2 1 ；9 分
4
[C1  ( )2 ]2
22
(ii)X 的所有可能取值为 2，4，6，
P( X  2)  1 2  1 2  1 ，
()()
222
P( X  4)  C1  1 2  1 2  1 2  1 ，
( ) [( )( ) ]
22224
P( X  6)  [C1  1 2 2  1 ，14 分
( ) ]
224
 X 的分布列如下：
 E( X )  2  1  4  1  6  1  7 ．17 分
2442
X
2
4
6
P
1
2
1
4
1
4
解：（1）当 a＝2 时，?(?) = &
?(? − 2)，? ≥ 2
，
?(2 − ?)，?＜2
x≥2，f（x）＝x（x﹣2）的图象对称轴为直线 x＝1，开口向上，x＜2，f（x）＝x（2﹣x）的图象对称轴为直线 x＝1，开口向下，
所以函数 f（x）在（﹣∞，1]，[2，+∞）上单调递增，在[1，2）上单调递减，且 f（1）＝1，f（2）＝0，所以函数 f（x）在[2，+∞）的值域为[0，+∞），在（﹣∞，2）上的值域为（﹣∞，1]，
所以 f[A]＝[0，+∞），f[?RA]＝（﹣∞，1]；5 分
当 a＞0 时，函数 f（x）在(−∞， 1 ?]，[?， + ∞)上单调递增，在[1 ?，?)上单调递减，
22
且 f（0）＝f（a）＝0，而 f[A]＝f[B]，因此 0≤b≤a，
所以 b 的最小值为 0；10 分
当 a＞0 时，函数 f（x）在(−∞， 1 ?]，[?， + ∞)上单调递增，在[1 ?，?)上单调递减，
22
取 P＝{0}，则?Rf[P]＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），f[?RP]＝R，因此?Rf[P]≠f[?RP]；当 a＝0 时，函数 f（x）在 R 上单调递增，?Rf[P]＝f[?RP]；
当 a＜0 时，函数 f（x）在(−∞，?)，[1 ?， + ∞)上单调递增，在[?， 1 ?]上单调递减，
22
取 P＝{0}，则?Rf[P]＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），f[?RP]＝R，因此?Rf[P]≠f[?RP]，所以∀P⊆R，都有?Rf[P]＝f[?RP]时，a＝0．17 分