河南省郑州市河南省实验中学高二数学2025-2026学年上学期期末试卷（含答案）

这是一份河南省郑州市河南省实验中学高二数学2025-2026学年上学期期末试卷（含答案），共9页。
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 若直线x+my+1=0的倾斜角的大小为π6，则实数m=（ ）.
A. 3B. 33
C. −33D. −3
2. 设等比数列{an}，a3，a7是方程x2+5x+4=0的两根，则a5的值是（ ）
A. ±2或±12
B. 2或12
C. −2
D. 12
3. 若椭圆x29+y24=1的弦AB被点P(1,1)平分，则AB所在直线的方程为（ ）
A. 4x+9y−13=0B. 9x+4y−13=0
C. x+2y−3=0D. x+3y−4=0
4. 已知四面体OABC中，OA=1，OB=2，OC=2，∠AOB=∠AOC=∠BOC=π3，空间一点M满足AM→=−12OA→+14OB→+mOC→，若A，B，C，M四点共面，则|OM→|=（ ）
A. 32B. 62
C. 2D. 3
5. 在数列{an}中，a1=2，a2=2025，an+1=2025an22025an−1+2an(n≥2)，则{an}中的最大项是（ ）
A. a1012B. a1013
C. a2024D. a2025
6. 已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点，∆ABC的三个顶点都在E上，且F为∆ABC的重心，若|FA|+|FB|的最大值为10，则p=（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
7. 直线l1:a2x+y−3a2−5=0与l2:x−a2y+3a2−5=0相交于点P，点Q在圆x2+y2=2上，则（ ）.
A. |PQ|有最大值62
B. |PQ|有最大值52
C. |PQ|有最小值32
D. |PQ|有最小值22
8. 双曲线C:x2a2−y24=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径作圆O，交C的左支于点P，连接F1P，过F2作F2Q∥F1P，交C的右支于点Q（P，Q在x轴同侧），直线l:y=k(x−3)与C的右支有两个不同的交点，若∆PQF2是等腰三角形，则实数k的取值范围为（ ）
A. 32,+∞B. −∞,−32∪32,+∞
C. −62,62D. −∞,−62∪62,+∞
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
\. 过点(3，2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为x+y−5=0
B. 圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x−y+2=0的距离都等于1
C. 圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=4
D. 已知△ABC的三边所在的方程分别是lAB:4x−3y+10=0，lBC:y=2，lAC:3x−4y=5，则∠BAC的平分线所在的直线方程为7x−7y+5=0
10. 已知数列{an}前n项和为Sn，Sn=2n2−n，则下列结论成立的有（ ）
A. 数列{an}为等差数列
B. 数列2nn的前100项和为10000
C. 若a2a3=a1ak，则k=4
D. 若1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1an−1an>833，则n的最小值为8
11. 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A、B两点（A位于第一象限），过A、B作直线y=−1的垂线，垂足分别为A1，B1，则下列结论正确的是（ ）
A. |AB|的最小值为4
B. 若直线l交x轴于点M，FA→=AM→，则|AM|=3
C. 抛物线C在点B处的切线与y=−1交于点N，则NA⊥NB
D. 记△FAA₁，△FA₁B₁，△FBB₁的面积分别为S1，S2，S3，则S22=4S1S3
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8S4=6，则S12S4=______ 。
13. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P在线段AC1上(不含端点)。若∠BPD是锐角，则线段C1P长度的取值范围为_____
14. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支与点P，已知|PF1||PF2|=12，则双曲线的离心率为_____.
四、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知线段AB的端点B的坐标是(2,1)，端点A在圆C1:(x−4)2+(y−3)2=4上运动.
（1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；
（2）设圆C1与曲线C2的交点为M，N，求线段MN的长.
16.（15分）已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点.当θ=60°时，|AB|=163.
（1）求抛物线E的方程；
（2）点M(3,0)，直线AM与E交于另一点C，直线BM与E交于另一点D，证明：∆ABM与∆CDM的面积之比为定值.
17.（15分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∆ABC是边长为2的等边三角形，CC1=2，∠C1CA=60°，D，E分别是线段AC，CC1的中点，且平面AA1C1C⊥平面ABC.
（1）求证：A1C⊥平面BDE；
（2）若点F为线段B1C1上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围.
18.（17分）{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N∗），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=an(an+1)(an+1+1)，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的值
（3）设dn={bn,n≠2kbn(lg2⁡bn+1),n=2k其中k∈N∗，求∑i=12ndi（n∈N∗）．
19.（17分）已知O为坐标原点，椭圆Ω：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左、右焦点分别为F1，F2，长半轴长为2，过F1的直线m与椭圆Ω交于C，D两点，∆F1F2C的周长为2+22．
（1）求Ω的方程；
（2）若直线l与Ω交于A，B两点，且OA→·OB→=0，求|AB|的取值范围；
（3）已知点P是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O：x2+y2=r2（r>0），使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与Ω的另一个交点），总满足|PM|=|PN|？若存在，求出圆O的半径r；若不存在，请说明理由．
河南省实验中学2025——2026学年上期期末试卷（答案）
一. 选择题（共8小题）
二. 多选题（共3小题）
三. 填空题（共3小题）
12.31
13. 0,233
14. 5
四. 解答题（共5小题）
15. 解：（1）设点P的坐标为(x,y)，点A的坐标为(x0,y0)，
由于点B的坐标为(2,1)，且点P是线段AB的中点，所以x=x0+22，y=y0+12，2分
则{x0=2x−2y0=2y−1①，
因为点A在圆C1上运动，所以(x0-4)2+(y0-3)2=4②，4分
把①代入②，得(2x−2−4)2+(2y−1−3)2=4，整理得(x−3)2+(y−2)2=1，
所以点P的轨迹C2的方程为(x-3)2+(y-2)2=1。6分
（2）将圆C1：(x−4)2+(y−3)2=4与圆C2：(x−3)2+(y−2)2=1的方程相减得：2x+2y−9=0，..9分
圆C2的圆心为(3,2)，半径为1，
则(3,2)到直线2x+2y-9=0的距离d=|6+4-9|22+22=24，11分
则|MN|=21-18=142。13分
16. （1）解：根据题意直线l的斜率不为0，
可设直线l：x=ty+p2，联立{x=ty+p2y2=2px，得y2−2pty−p2=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以Δ=4p2(t2+1)>0，y1+y2=2pt，y1y2=-p2，3分
即|AB|=1+t2|y1−y2|=1+t2(y1+y2)2−4y1y2=2p(t2+1)，
当θ=60°时，t=33，即|AB|=8p3=163，即p=2，
则抛物线E的方程为y2=4x。7分
（2）证明：设C(x3,y3)，D(x4,y4)，
直线AC的方程：x=my+3，直线BD的方程：x=ny+3，
由{x=my+3y2=4x，得y2-4my-12=0，10分
所以y1y3=−12，同理，y2y4=−12，
所以y1y2y3y4=(y1y3)(y2y4)=144，y1y2=-p2=-4，则y3y4=-36，13分
即即 S△ABMS△CDM=12|MA||MB|sin⁡∠AMB12|MC||MD|sin⁡∠CMD=|MA||MB||MC||MD|=y1y2y3y4=436=19. ____15分
17.（1）证明：连接A1C，
∆ABC是边长为2的等边三角形，D是线段AC的中点，∴BD⊥AC，
∵平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面AA1C1C，2分
又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，
∵四边形AA1C1C为平行四边形，AC=CC1=2，∴四边形AA1C1C为菱形，故A1C⊥AC1，
∵D，E分别是线段AC，CC1的中点，∴DE∥AC1，∴DE⊥A1C，4分
∵BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，∴A1C⊥平面BDE；6分
（2）解：连接C1D，∵AC=CC1=2，∠C1CA=60°，
∴∆ACC1为等边三角形，D是线段AC的中点，故C1D⊥AC，
∵平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，C1D⊂平面AA1C1C，∴C1D⊥平面ABC，
以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(0,1,0)，C1(0,0,3)，C(0,−1,0)，B(3,0,0)，B1(3,1,3)，A1(0,2,3)，分
设C1F→=λC1B1→=λ(3,1,0)=(3λ,λ,0)，00
所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m
=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=1+k22m2−21+2k2−km4km1+2k2+m2=0 ，化简得 2k2+2=3m2 ，
所以 |AB|=1+k2x1+x22−4x1x2=1+k281−m2+2k21+2k22=2631+4k21+k21+2k22 ，7分
当 k=0 时，此时 |AB|=263 ；
当 k≠0 时，此时 |AB|=2634k4+5k2+14k4+4k2+1=2631+14k2+1k2+4 ，
因为 4k2+1k2+4≥24k2⋅1k2+4=8 ，所以 0