山西省部分学校2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下：
则这组数据的下四分位数为（ ）
A．B．C．D．
4．若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．B．C．D．2
5．的展开式中的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）
A．84B．—84C．15D．—15
6．曲线上的点到直线的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若是第三象限角，则
C．若角的终边过点，则
D．
10．已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．
C．若，则的面积为1
D．若的面积为，则为钝角三角形
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．4是的极大值点
B．当时，
C．函数的图像是中心对称图形
D．当且时，
三、填空题
12．已知变量和的经验回归直线方程为，若时的观测值为，此时残差为__________（注：观测值减去预测值称为残差）．
13．的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________.
14．已知正项数列的前项积为，且，则使得的最小正整数的值为______．
四、解答题
15．已知数列为等差数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知函数（），当时，有极大值4．
(1)求实数，的值；
(2)求函数在区间上的最值．
17．在直三棱柱中，分别为线段，的中点.
(1)证明：平面.
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点．
（i）证明：直线的方程为过定点；
（ii）求面积的最小值．
19．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响．
(1)当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；
(2)当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值．
参考答案
1．D
【详解】由得，又，所以可取，
即，因此.
2．B
【详解】由题意，，
故复数z的虚部为
故选：B
3．B
【详解】比赛的得分升序排列为：，
由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即．
4．B
【详解】可化为，
圆心的坐标为，半径为，
则圆心到直线x＋y＝0的距离为，
所以.
5．C
【详解】因为二项式系数之和为，
所以，故，
所以，
令，则常数项为.
6．A
【详解】曲线上的点到直线的最短距离为曲线上平行于直线的切线与该直线间的距离，
即相应切点到直线的距离.
由，得，所以直线的斜率为.
由，得.
令，可得，
又，所以曲线上平行于直线的切线相应的切点为.
因为点到直线的距离为，
所以曲线上的点到直线的最短距离为.
7．A
【详解】由直线的斜率分别为，得，则，即，
又，因此，而，
于是，即，所以的离心率．
8．D
【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增.
因为，，，
所以.
又，所以.
9．ABD
【详解】对于选项A：，故A正确；
对于选项B：若是第三象限角，则，故B正确；
对于选项C：若角的终边过点，则，故C错误；
对于选项D：，故D正确.
10．ACD
【详解】双曲线：的渐近线方程为，焦点坐标为，
则由双曲线的焦点到渐近线的距离为1，可得 ，
由，则，即有，
解得，则，故双曲线的方程为；
对A：由双曲线的方程为，则渐近线方程为，故A正确；
对B：由双曲线的方程为，故，故B错误；
对C：设，，则，
由有 ，
又 ，故，
则，故C正确；
对D：由，则，
故有，解得，由对称性，不妨取，
则有 ， ，
又 ，故中最大角为，
由，故为钝角，
即为钝角三角形，故D正确.
11．ACD
【详解】对于A，定义域为：，
.
因时，，则，
，从而在上单调递增，
在上单调递减.从而是的极大值点，故A正确；
对于B，因，又注意到当时，，则时，，故B错误；
对于C，注意到，
，
则图像关于中心对称，故C正确.
对于D，因，则，又，则，
从而，又由A分析可得在上单调递增，
则，从而 ,故D正确.
12．/
【详解】把代入中，得，
所以若时的观测值为，此时残差为.
13．
【详解】的内角的对边分别为.
，
利用正弦定理可得，
由于，
所以，
所以，则或
由于，故为锐角，所以，
由，得，解得，
所以.
14．6
【详解】由为正项数列，则，
当时，，则，
当时，，由，则，
故，即，则，
即，则，又，
故数列是常数列，且，
故，则，
则，
令，即，
当时，有，
当时，有，
又在上单调递增，
故使得的最小正整数的值为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得，
由得，
解得，.
所以.
（2），则，
所以.
.
16．(1)
(2)最小值为0，最大值为4．
【详解】（1），，
当时，有极大值4，，
，，
令，可得或，
当时，，则单调递减区间为，
当或时，，则单调递增区间为，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在取得极大值，满足题意，故．
（2）由（1）可得，，
令，可得或，
当时，，则单调递减区间为，
当或时，，则单调递增区间为，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，
且，，，，
综上可知，在上的最小值为0，最大值为4．
17．(1)证明见解析
(2)
(3).
【详解】（1）由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
已知分别为线段，的中点，
则，所以.
易得为平面的一个法向量.
因为，所以，
又平面，所以平面.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
则异面直线与所成角的余弦值为.
（3）设平面的一个法向量为，
由（1）（2）知，
则，令，得.
又平面的一个法向量为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）已知焦点（）到直线的距离为2，
根据抛物线的性质可知，若标准形式为，则，
解得，故抛物线的方程为： ；
（2）
（i）设切点，抛物线，求导得切线斜率，
切线方程为：，
同理切线方程为：，因为,
所以，，
因为都满足方程，
所以直线的方程为：，
当时，，故对任意的，直线恒过定点；
（ii）将与联立，消去得：，
判别式，
则弦长，
点到直线的距离：
因此的面积： ，
由，当时，取得最小值.
故面积的最小值为.
19．(1)
(2)的分布列为：
数学期望为；
(3)
【详解】（1）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”，
则，，
所以.
（2）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率，
则，
所以的分布列为：
数学期望.
（3）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”，
其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，
则，
，
，
所以甲答对题数比乙多的概率为：
，解得，0
1
2
3
4
0
1
2
3
4