湖北省十堰市2025-2026学年高二下学期期末评价数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1．设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q=（ ）
A．2B．C．1或 D．2 或 −1
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有（ ）
A．15 种B．18 种C．21 种D．25 种
4．在二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．−160B．−60C．60D．160
5．已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为（ ）
A．0.25B．0.4C．0.5D．0.6
6．为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了 200 名学生，得到如下2×2列联表：
附表：
根据表中数据，得到的结论是（ ）
A．有 95% 的把握认为选科意向与性别无关
B．有 95% 的把握认为选科意向与性别有关
C．有 99% 的把握认为选科意向与性别无关
D．有 99% 的把握认为选科意向与性别有关
7．已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（ ）
A．B．80C．81D．90
8．设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设等差数列的前项和为，公差为，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知随机变量，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（ ）
A．B．
C．的图像关于点对称D．
三、填空题
12．已知离散型随机变量X的分布列为
且，则 ________.
13．已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是_______.
14．将编号为 1， 2， 3， 4， 5 的5个小球放入编号为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 个盒子中，每个盒子放入 1 个小球，则恰好有 2 个小球的编号与盒子编号相同的放法共有 ____ 种.
四、解答题
15．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．某工厂生产一批零件，其质量指标服从正态分布.现从该批零件中随机抽取9件，测得它们的质量指标分别为：（单位：分）.
(1)求样本均值和样本方差；
(2)若以样本均值作为的估计值，以样本方差作为的估计值，估计该批零件质量指标在内的概率.
（附：若，则，）
17．某奶茶店为了研究日销售额（单位：百元）与平均气温（单位：℃）之间的关系，统计了连续天的数据，如下表：
(1)求关于的线性回归方程；
(2)若某日的平均气温为，根据回归方程预测该日的销售额；
(3)计算样本相关系数（精确到 0.01），并判断销售额与平均气温的相关程度.
（附：）
（参考公式：​，）
18．甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中.已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且每轮结果相互独立，，.
(1)求甲在第一轮获胜的概率；
(2)设比赛共进行了轮（即第轮有人投中，且前轮均无人投中），求的分布列和数学期望 ；
(3)若 ，，求甲最终获胜的概率.
19．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：当时，.
选物理
选历史
合计
男生
80
30
110
女生
40
50
90
合计
120
80
200
1
2
3
12
14
16
18
20
25
29
32
34
40
参考答案
1．C
【详解】若，则，， 符合；
若，则，解得，
，代入，
得到，即得
即，因，则得，
解得.
综上可得，或.
2．A
【详解】由，
所以曲线在点处的切线的斜率为，而，
因此切线方程为.
3．B
【详解】方法一：总选法，全护士，故至少有1名医生的选法.
方法二：至少有1名医生的选法.
4．C
【详解】通项，
令 得，常数项.
5．B
【详解】设事件为“实际患病”，事件为“检测结果呈阳性”，
，，，，
所以．
6．D
【详解】零假设为选科意向与性别无关，
，
故有把握选科意向与性别有关.
7．B
【详解】因为为等差数列，，
所以数列的首项为，设其公差为，
则，
所以，
所以，，，
又因为，，成等比数列，
所以，
即，
解得或，
当时，，
当时，，
所以，为常数数列，不满足题意，故舍去;
当时，，
当时，，
所以，不是常数数列，满足题意，
所以，
所以，
所以.
8．C
【详解】由；由.
若，则恒成立，则在上不成立.
若，由；由.
由恒成立，可得：.
所以，.
设，.
则，.
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值为：.
即的最小值为.
故选：C
9．BD
【详解】等差数列的前项和为，公差为，
A选项：若，则，即，，不一定为负，可能且，故A错；
B选项：，故B正确；
C选项：，不能判断的正负，即无法判断正负，故C错；
D选项：，则，故D正确.
10．AB
【详解】由，，联立解得，，A，B正确；
，C错误；
，
，，
则，D错误.
11．ACD
【详解】解：由，令，则，
所以，正确；
由函数的图像关于点对称，令，当时，，
所以的图像关于对称，即的图像关于点对称，正确；
由，用替换得①，
又的图像关于点对称，则，
用替换得②，
①②得，所以，错误；
由，则，
由上可知，
所以，正确.
12．
【详解】由分布列的性质可知，，
由期望公式可得，即，
所以，，
故．
13．
【详解】令，得，
可得极大值为，极小值为.
的大致图象如图所示，观察图象，得当时恰有三个不同的交点.
14．
【详解】第一步，从5个盒子中选出2个盒子，使其小球编号与盒子编号相同：；
第二步，剩余3个盒子与3个小球，编号全错位（错排），有2种放法；
由分步乘法，总数为.
15．(1)；
(2).
【详解】（1）由，则，而，
所以是首项、公比均为2的等比数列，则，
所以；
（2）由（1），
所以，
所以.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）,
计算得各偏差平方和为,故.
（2）方法一:
由题意,估计,则.
因为区间即可近似看作,
方法二:
由题意，取，，则，即.
标准化变换..
结合题干给出，可估计该批零件质量指标落在内的概率约为.
17．(1)
(2)4250元
(3)，正相关
【详解】（1）由题意得：，，
计算，
，
故，
所以回归方程为；
（2）当 时，（百元），
所以预测该日的销售额为元；
（3）由题意得：，
，
表明销售额与平均气温高度正相关.
18．(1)
(2)的分布列，
(3)
【详解】（1）甲在第一轮获胜只需第一轮甲投中，所以概率为.
（2）每轮两人均未投中的概率为 ，则
即服从参数为 的几何分布，
故.
（3）甲最终获胜的事件可以在第轮甲投中，且前（）轮均无人投中：
甲获胜的概率，
代入，，得.
19．(1)当 时，在上单调递增；当时，在单调递增，在 单调递减
(2)
(3)证明：由（2）知，当时，，
即对任意 恒成立，当且仅当取等号.
令，则，所以 ，
所以，累加得 ，
又，则，
所以.
【详解】（1）的定义域为，.
当 时，，在上单调递增；
当时，令 ，即，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
综上，当 时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）若对任意恒成立，即对任意恒成立.
令，即即可.
，令，即，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，所以.
故实数的取值范围为.