新高考物理一轮复习精讲精练第58讲 带电粒子在立体空间中的运动-（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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考点一 复合场中的摆线问题
基础过关
1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。
2.配速法
(1)定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
(2)配速法处理叠加场中的摆线类问题
3.用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题
假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为＋q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。
沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx＝qvyB
Fy＝qvxB
两个方向分别列动量定理
－qvyBΔt＝mΔvx
qvxBΔt＝mΔvy
即－qBΔy＝mΔvx
qBΔx＝mΔvy
两边累加得－qBy＝mvx1－mvx0
qBx＝mvy1－mvy0。
使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。
【例1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，空间中有平面直角坐标系，水平匀强电场E平行于x轴（图中未画出），垂直于平面向里的匀强磁场的磁感应强度为B，带正电的微粒以速度从坐标原点进入磁场后，沿与x轴成角做匀速运动，已知微粒质量，电量，重力加速度g取，，，不计空气阻力，求：
(1)电场强度和磁感应强度的大小；
(2)若微粒通过原点时突然撤去磁场，微粒通过x轴的坐标及时间；
(3)若微粒通过原点时突然撤去电场，微粒运动过程中最大、最小速度及与x轴的最远距离。
【答案】(1)，
(2)，
(3)，，
【详解】（1）微粒匀速通过坐标原点，电场强度方向沿轴正方向，由受力平衡有
解得
由
得
（2）若微粒通过原点时突然撤去磁场，微粒做类平抛运动如图所示
设时间通过轴上坐标为，微粒加速度
由，
得，
（3）若微粒通过原点时突然撤去电场，将微粒速度分解为沿轴方向速度
微粒方向所受洛伦兹力大小
即沿正方向做匀速直线运动。
微粒沿轴方向速度
其洛伦兹力使其做匀速圆周运动，由
得
作出图示如图，
当微粒转动圆周最高点时其速度最小
当微粒转动圆周最低点时其速度最大
微粒距轴的最远距离
【例2】（2025·湖北·模拟预测）积分可以看作一种累积的过程。在物理中，有很多累积量的例子。比如，如果速度是时间的函数，那么位移就是速度在时间上的累积。如图所示，一倾角为37°的足够长的光滑绝缘斜面固定于水平地面上，所在空间存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。可视为质点的小球质量为m，带正电，电荷量为q，mg=qE，以平行于斜面的初速度从斜面底端向上滑行，经过时间t，小球恰好离开斜面。已知sin37°=0.6，整个运动过程中小球带电量保持不变，以地面为零势能面。下列说法正确的是（ ）
A．小球到达斜面最远的距离
B．
C．小球离开斜面之前的过程中斜面对小球的弹力的冲量大小为
D．小球离开斜面后的电势能最大值为
【答案】CD
【详解】A．小球沿斜面上升的过程中，加速度
且一直做匀减速运动至速度为0，所以
故A错误；
B．小球沿斜面上升过程中，所用时间为
当小球向下运动时，加速至速度时离开斜面，此过程中小球向下的加速度
而分离时应满足
解得
则下滑过程中所用时间
总时间
故B错误；
C．上升过程由平衡条件可得
此过程中弹力的冲量为
同理可得下行过程弹力冲量为
全程弹力的冲量为
又由匀变速直线运动规律可得
联立得
故C正确；
D．微元累加法：小球离开斜面后做摆线运动，从离开斜面至到达最高点的过程中，以向上为正方向，以向左为正方向，则有
整理得
解得
离开斜面时，小球离底边高度
故
故D正确。
故选CD。
【例3】（2025·山西·模拟预测）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，水平边界a、b间有方向竖直向下的匀强电场。I，电场强度大小为E，在水平边界b下方有垂直于纸面向外的水平匀强磁场，在水平边界c的下方还有斜向右下、与水平方向成的匀强电场Ⅱ，a、b、c三边界相邻间距均为d，调节电场和磁场大小，可控制飞出的带电粒子的速度大小及方向，现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子经电场Ⅰ加速、磁场偏转，从边界c上的Q点（图中未标出）以垂直电场Ⅱ的方向进入边界c下方区域，粒子在该区域中恰好做直线运动，不计粒子重力，求：
(1)粒子经电场Ⅰ加速后经过边界b时的速度大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小，匀强电场Ⅱ的电场强度大小；
(3)若将电场Ⅰ的电场强度减半，同时改变磁场的磁感应强度大小，使粒子从P点由静止释放后仍从Q点进入边界c下方区域，粒子在c下方区域运动，当粒子速度大小再次等于粒子在Q点的速度大小时，粒子离Q点的距离为多少。
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）设粒子经电场加速后的速度大小为，根据动能定理有
解得
（2）根据题意可知，粒子经过边界时的速度与边界的夹角为，根据几何关系可知，
粒子在磁场中做圆周运动的半径
根据牛顿第二定律有
解得
粒子在边界以下区域做直线运动，设电场的电场强度为，则有
解得
（3）将电场的电场强度减半，结合上述可知，粒子到达点的速度大小为
匀强磁场的磁感应强度大小变为
根据配速法，给粒子在点各配一个与速度同向和反向、速度大小为的速度，
且有
解得
因此在边界下方区域的运动可以分解为以速度的匀速直线运动，和以的匀速圆周运动，匀速圆周运动的周期
当粒子速度大小再次等于粒子在点的速度大小时，粒子离点的距离为
【例4】（2025·辽宁沈阳·三模）如图所示，空间某区域存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为；匀强磁场与电场方向垂直，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点以初速度水平向右射入，恰好沿直线经过点，a、b两点间距为。不计粒子重力，电场与磁场的范围足够大，下列说法正确的是（ ）
A．仅改变粒子的电性，粒子无法沿直线经过点
B．仅改变粒子入射方向（从点水平向左射入），粒子仍可沿直线经过点
C．仅改变粒子初速度的大小，粒子一定无法经过点
D．仅改变粒子初速度的大小，若，粒子一定经过点
【答案】D
【详解】A．正电粒子受到竖直向下的电场力和竖直向上的洛伦兹力，粒子在复合场中做匀速直线运动，有
仅改变粒子电性，则所受的电场力方向向上，洛伦兹力向下，但仍满足
故仅改变粒子的电性，粒子仍沿直线经过点，A错误；
B．从点水平向左射入，粒子所受的电场力向下，由左手定则可知洛伦兹力向下，故粒子所受的合外力竖直向下，故粒子不可能可沿直线经过点，B错误；
CD．若只改变粒子速度大小，则电场力与洛伦兹力不再等大，故粒子不在做匀速直线运动，设粒子速度变为，可将速度分解为，满足
则可将粒子的速度所对应的洛伦兹力分力平衡电场力而做匀速直线运动，另一个分速度产生的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
匀速圆周运动的周期为
联立解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
即粒子一边做圆周运动，一边沿方向以做匀速直线运动，则当满足
时粒子仍从b点离开，联立解得当时粒子仍从b点离开，C错误；D正确。
故选D。
【例5】（2025·甘肃白银·三模）如图所示，平面内轴右侧直线上方存在方向沿轴负方向的匀强电场，下方存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，轴左侧存在电场和磁场组成的复合场，电场强度与磁感应强度分别与右侧电场和磁场的相同。从轴负半轴上的处以大小为的速度发射质量为、带电荷量为的甲粒子，甲粒子沿轴匀速运动至坐标原点处，与静止在坐标原点的质量为的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半的电荷量转移给乙粒子，碰撞后乙粒子第一次穿越直线时，经点从磁场进入电场区域，不计粒子重力及碰后粒子间的作用力。
(1)求磁场的磁感应强度大小和电场的电场强度大小；
(2)求碰撞后乙粒子第二次穿越直线时速度的大小与方向；
(3)从乙粒子第二次穿越直线后开始，再经过多长时间甲粒子第二次穿越该直线？
【答案】(1)；
(2)；速度方向与直线成角斜向右下方
(3)
【详解】（1）甲粒子做匀速直线运动，有
由动量守恒定律，有
两粒子发生弹性正碰，根据能量守恒，有
解得，
粒子运动轨迹如图所示
由几何关系知乙粒子在磁场中做圆周运动的半径
对乙粒子，根据牛顿第二定律，有
联立解得磁感应强度为
电场强度为
（2）乙粒子第一次穿越直线后在电场中运动，平行直线方向的分速度
加速度大小
乙粒子垂直直线方向的分速度
加速度大小
乙粒子在电场中运动的时间
第二次穿越直线时，平行于直线方向的速度
垂直于直线方向的速度大小不变，方向与第一次穿越直线时的相反，即大小仍为，所求速度大小
解得
速度方向与直线的夹角，即速度方向与直线成角斜向右下方。
（3）乙粒子碰后在磁场中运动的时间
甲粒子碰后在磁场中运动时，有
解得
甲碰后在磁场中运动的时间
甲在电场中运动的时间
由牛顿第二定律，有
所求时间间隔
解得。
考点二 带电粒子在立体空间中的运动
基础过关
1．空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
【例6】（24-25高三下·天津和平·期末）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，立体空间内有沿轴高度为、沿轴足够长的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小为，磁场方向与轴平行且指向轴正方向区域Ⅱ同时存在指向轴负方向的匀强电场。位于处有一离子源，离子源释放出质量为、电荷量为、速度方向平行于平面与轴正方向夹角的正离子束。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
(1)若离子源释放离子速度大小判断离子能否进入区域 Ⅱ；
(2)若离子源释放离子速度大小，求离子进入区域Ⅱ时与区域Ⅱ上边界的夹角；
(3)在（2）的情况下，离子继续在区域Ⅱ运动，已知离子进入区域Ⅱ瞬间电场力做功瞬时功率是离子离开区域Ⅱ瞬间电场力做功的瞬时功率的3倍，求电场强度的大小。
【答案】(1)离子不能进入区域 Ⅱ
(2)
(3)
【详解】（1）该离子进入磁场和电场区域时，可看作在xz平面的运动，如图甲所示，当离子的运动轨迹与边界相切时
则由几何关系
解得
根据
解得
离子速度大小，离子不能进入区域 Ⅱ
（2））粒子进入区域Ⅰ，运动轨迹如图乙
由
解得
圆心到Ⅱ区域边界的距离
联立解得
进入区域Ⅱ速度夹角为 θ1 = 37°
（3）离子进入区域Ⅱ瞬间电场力做功瞬时功率
离子离开区域Ⅱ瞬间电场力做功的瞬时功率
离子离开区域Ⅱ时，x轴方向的速度为，y 方向的速度，在区域Ⅱ任意 Δt 时间，由动量定理可得
qvyBΔt = mΔvx
两边累和得
由动能定理得
解得
【例7】（24-25高二下·湖北·期中）如图所示，、、为相互垂直的坐标轴，轴为竖直方向，整个空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小。现有一质量、电量的小球从坐标原点以速度沿轴正方向抛出。不计空气阻力，重力加速度大小。
(1)若在整个空间加一匀强电场，使小球在平面内做匀速圆周运动，求场强的大小及方向；
(2)若在整个空间加一匀强电场，使小球在平面内做加速度大小为且加速度方向沿轴负方向的匀变速曲线运动，求的大小；
(3)若在整个空间加一沿轴正方向的匀强电场，电场强度为，求该小球从坐标原点抛出后，经过轴时的坐标和动能。
【答案】(1)，方向沿y轴正向（竖直向上）
(2)
(3)，
【详解】（1）由于小球在磁场中做匀速圆周运动，则有
解得
方向沿轴正向（竖直向上） ；
（2）小球要做匀变速曲线运动，则在轴需受力平衡，则有
加速度沿轴向下，则有
则
代入数据可得
（3）小球在复合场中做螺旋运动，可以分解成水平面内的匀速圆周运动和沿轴方向的匀加速运动。
做匀加速运动的加速度
做匀速圆周运动的周期
从原点到经过轴时，经历的时间

解得
由动能定理，得
解得
【例8】（2025·河南·三模）在如图所示的长方体空间中，存在沿轴正方向的匀强电场和匀强磁场，，。某时刻一带正电的粒子以速度大小，方向平行于平面且与轴正方向的夹角，从左边界区域中心射入，该粒子比荷为，不计粒子重力，，。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子在该区域运动过程中，加速度大小不变
B．若磁感应强度，则粒子会从面射出
C．若磁感应强度，则粒子会从面射出
D．若磁感应强度，则粒子可能从面射出
【答案】AC
【详解】A．粒子在该区域受到向右电场力F=Eq
将v0分解为竖直向上v0z和水平向右v0y，则有
由左手定则知F洛=Bqv0z，方向向里，在xz平面做匀速圆周运动，由于F洛不做功。v0z不变，故F洛大小不变。而电场力是恒力， y方向虽加速，但不影响洛伦兹力。所以合力
大小不变，则加速度大小不变，故A正确；
BC．若磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
AA1B1B的侧视图如图
可得
由图可知当时，圆周运动顶点刚好在ADD1A1面上。水平向右做匀加速运动、故刚能从DCC1D1面上射出。根据可知B越大，r越小，故时，则粒子会从DCC1D1面射出，故C正确，B错误；
D．若时，根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
则圆心在A1D1C1B1面上，则粒子从ADD1A1面射出，故D错误。
故选AC。
【例9】（2025·陕西·三模）如图所示，直角坐标系所在的空间内，在的范围内分布着沿轴负方向的匀强电场，在的范围内分布着沿轴负方向的匀强磁场。质量为、电荷量为的带正电的甲粒子在轴上坐标为（0，0，）的点以沿轴正方向的初速度开始运动，并从轴上的点以速度进入磁场，速度的方向与轴正方向的夹角，甲粒子从磁场第一次回到电场并运动到与轴相距为的位置时与轴的距离为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
(1)求匀强电场的电场强度大小；
(2)求匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)在甲粒子开始运动时，另一与甲粒子相同的乙粒子在的空间中的点（未画出）沿轴正方向以速度开始运动，甲、乙两粒子均在第二次进入磁场后相遇，相遇点处于的空间且在各自轨迹的最低点。求两粒子相遇前乙粒子运动的时间。
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）对甲粒子在电场中由到的过程，由动能定理得
解得
（2）设点的轴坐标为，对甲粒子在电场中由运动到的过程，沿轴方向有
沿轴方向，有
解得
若甲粒子从磁场第一次回到电场并运动到与轴的距离为的点在轴右侧，轨迹如图中实线a所示，由几何知识得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
在磁场中，粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
解得
若甲粒子从磁场第一次回到电场并运动到与轴的距离为的点在轴左侧，轨迹如图中虚线b（图中未画完整）所示，由几何知识得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
在磁场中，粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
解得
（3）经分析知，当磁场的磁感应强度的大小时，两粒子能在的空间相遇，乙粒子运动的时间即甲粒子运动的时间；甲粒子在电场中运动的时间
甲粒子与乙粒子在磁场中相遇前，两次在磁场中偏转的圆心角分别为240°和120°，故甲粒子在磁场中运动的时间
故两粒子相遇前乙粒子运动的时间
【例10】（2025·辽宁大连·一模）如图，空间直角坐标系Oxyz中有一与xOz面平行的界面M将空间分为I、II两个区域，界面M与y轴交点的坐标为（0，L，0）且界面M上有一足够大的接收屏。在O点存在一粒子发射源，仅在xOy面内向各个方向均匀发射速度大小为v₀、电荷量为q，质量为m的带正电粒子。区域I存在沿z轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求粒子在I区域做匀速圆周运动的半径r和周期T；
(2)若在I区域再加一个沿z轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上z坐标最大值点和z坐标最小值点的空间坐标。
(3)若O点发射源只向x轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面M上c点（未画出）进入区域Ⅱ，区域Ⅱ存在沿x轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域Ⅱ运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k（k为常量）。粒子进入区域Ⅱ后速度方向第一次沿z轴正方向时达到d点（未画出），d点的z坐标为，求d点的空间坐标和粒子在d点的速度大小vd。
【答案】(1)r=L；
(2)（-L，L,）和（0，L，）
(3)坐标为（，，）；速度大小为
【详解】（1）由牛顿第二定律
可得
解得r=L
解得
（2）粒子沿z轴方向做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，由牛顿第二定律，qE=ma，
解得
粒子在垂直z轴的平面上做半径为L的匀速圆周运动，如图初速度方向沿y轴负方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最长，
对应z坐标有最大值
由几何知识可得该点x坐标为-L，其对应的坐标为（-L，L，）
初速度沿y轴正方向偏向x轴负方向30°角方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最短
由几何知识可得该点x坐标为0，对应z坐标有最小值
其对应的坐标为（0，L，）
（3）粒子从c点至d点过程，沿y轴方向由动量定理有，，
解得
所以d点坐标为（，，）
粒子从c点至d点过程，沿z轴方向由动量定理有，
解得
核心考点
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc17773" 考点一 复合场中的摆线问题 PAGEREF _Tc17773 \h 1
\l "_Tc6725" 考点二 带电粒子在立体空间中的运动 PAGEREF _Tc6725 \h 13
常见情况
处理方法
BG摆线：初速度为0，有重力
把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。
BE摆线：初速度为0，不计重力
把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。
BEG摆线：初速度为0，有重力
把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。
BGv摆线：初速度为v0，有重力
把初速度v0分解为速度v1和速度v2。