初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）12.3 等腰三角形课文配套课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）12.3 等腰三角形课文配套课件ppt，共40页。PPT课件主要包含了学习目标，复习旧知，探究新知，做一做，巩固练习，°30°，3等腰三角形，第十二章全等三角形，等腰三角形的性质，∠B∠C已知等内容，欢迎下载使用。
1、了解等腰三角形、等边三角形的概念.2、掌握等腰三角形、等边三角形的性质.3、熟练应用等腰三角形及等边三角形的性质进行应用解题.
2.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 如图，AB=AC，△ABC就是等腰三角形.
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剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗?
可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.我们还可以发现∠B=∠C.
由此得到以下等腰三角形的性质:等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)
已知：如图，△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C .
证明：作顶角∠BAC的平分线AD.在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（角平分线的定义）， AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴∠B＝∠C( 全等三角形的对应角相等 ).
例1 已知:在△ABC中，AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的大小.
解: ∵ AB=AC（已知)，∴∠C=∠B=80°(等边对等角).又∵ ∠ A＋ ∠ B+ ∠ C=180°（三角形的内角和等于180°), ∴∠ A =180°- ∠ B- ∠ C（等式的性质)=180°- 80°- 80°= 20°.
从以上证明你还可以得到什么结论?
AD是等腰三角形底边上的中线，还是底边上的高线，还是顶角的角平分线
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合(简称“三线合一”)
例2 在△ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°.求：(1)∠ADC的大小；
∴AD⊥BC(等腰三角形 “三线合一”).
∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义).
解：(1) ∵AB = AC，BD=DC（已知），
(2)∵∠1 +∠B +∠ADB=180° （三角形内角和等于180°）， ∠B=30° （已知）， ∴∠1=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90° =60°.
例2 在△ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°.求：(2)∠1的大小.
思考 如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PQ，现在你能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗？
例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线
证明 如图，设AB与PQ相交于点0，连结PA、PB、 QA、PQ.在△APQ和△BPQ中， ∵AP=BP，AQ=BQ，PQ=PQ, ∴ △APQ △BPQ（SSS）. ∴∠APQ=∠BPQ（全等三角形的对应角相等）. 又∵AP=BP， ∴AO=BO且PQ⊥AB（等腰三角形的三线合一） 因此直线PQ是已知线段B的垂直平分线.
思考 如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP.当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗
比较垂线的作法示意图与垂直平分线的作法示意图，我们可以发现两者十分类似，过直线AB外一点C作AB的垂线，就相当于作线段MN的垂直平分线，那么类似于垂直平分线的证明，自然就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线.
三条边都相等的三角形是等边三角形.如图,在等边三角形中,每个角的度数是多少呢?显然，AB= AC,根据“等边对等角”,可以得到∠ B= ∠ C，同理可得∠ A = ∠ B，所以∠ A =∠B = ∠ C.而∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°，所以∠ A =∠ B = ∠ C= =60°.
也就是说:等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形.
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 . 2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长 是 .3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长 是 .
10 cm 或 11 cm
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 .
72°,72°或36°,108°
5.如图，在△ABC中，D是边BC上的一点.若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的度数为 　⁠. 
6.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，CE平分∠ACB.若AB＝AC，∠CAD＝20°，求∠AEC的度数.
12.3.2等腰三角形的判定
1.能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的 判定定理.2.能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定 理与判定定理解决有关问题.
1.等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)
2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合(简称“三线合一”)
从这里你还可以得到什么结论? 
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
画画看，你发现了什么？
已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC．
证明两条线段相等常用什么方法？
有哪些构造全等三角形的方法？
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，（角平分线的定义）
∴△ABD≌△ACD（）.
AD=AD（公共边），
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)，
∴△ABC是等腰三角形.
画∠BAC的平分线交BC于点D.
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？
等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
例4 如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°. 求证：AB=AC.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内 角和等于180°）， ∠A=40°，∠B=70°（已知）， ∴∠C=180°-∠A-∠B（等式的性质）， =180°-40°-70°=70°. ∴∠C=∠B（等量代换）. ∴AB=AC（等角对等边）.
1.三个角都相等的三角形是等边三角形吗?请说明理由.
2.有一个角等于60° 的等腰三角形是等边三角形吗?请说明理由.
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.求证： AB=AC=BC.

已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.求证： AB=AC=BC.
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
例5 如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC.
证明：∵ AB∥CD （已知）,∴ ∠B= ∠2 （两直线平行，同位角相等）.又∵ ∠1=∠2,∴ ∠B= ∠1（等量代换）.∴ AB=AC（等角对等边）.
∵ ∠ACB= ∠ A'C'B'=90°(已知），∴ ∠BC'B'= ∠ACB+∠ A'C'B'=180°.即点B、C'、B' 在同一条直线上.在△A'B'B中，AB= A'B'（已知），∴ ∠B= ∠B'（等边对等角）.在△ABC和 △A'B'C'中，∠B= ∠B'（已证），∠ACB= ∠ A'C'B'（已知），AC= A'C'（已知），∴Rt△ABC≌Rt △A'B'C'（AAS）.
例6 如图，在Rt△ABC和Rt △A'B'C'中,∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB= A'B',AC= A'C',求证： Rt△ABC≌Rt △A'B'C'.
证明：由于直角边AC= A'C',我们移动Rt△ABC使点A与点 A'重合，点C和点C'重合，且使点B和点B'分别位于A'C'两侧.
这样我们就证明了前面给出的HL判定定理
1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么?
△ABC是等腰三角形, 因为∠B=65°, ∠A=50°, 所以∠C=65°, ∠B =∠C=65°,所以△ABC是等腰三角形.
2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.
3. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为___ cm.
4.已知：AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC.则∠C＝________，∠B＝________；
5. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC于点D，E,求证：DE＝BD＋AE.
证明：∵DE∥AB，∴∠ABP＝∠DPB, ∠BAP＝∠EPA.∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，∴∠ABP＝∠DBP, ∠BAP＝∠EAP.∴∠DBP＝∠DPB, ∠EAP＝∠EPA.∴DP＝DB，EP＝EA.∴DP＋EP＝DB＋EA，即DE＝BD＋AE.
6.已知：AB＝AC，∠B=∠C=30°，AD⊥AB，AE⊥AC.求证：△ADE是等边三角形．
解：∵AD⊥AB，AE⊥AC(已知)， ∴∠BAD＝∠EAC＝90°(垂直的定义)． ∵ ∠B＝∠C＝30°(已知)， ∴∠ADB＝∠AEC＝60°(直角三角形的两个锐角互余)． ∴∠EAD=60°（三角形内角和为180°）. ∴∠ADB＝∠AEC＝∠EAD＝60°. ∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．
7.如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.