江苏省扬州市2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题

这是一份江苏省扬州市2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题，共18页。

− 3
2
3
2
−
1
2
1
2
若一组数据?1,?2,?3,⋯,??的平均数为2，方差为3，对于数据2?1−1，2?2−1，2?3−1,⋯,2??−1，下列说法正确的是()
平均数为3，方差为5B. 平均数为4，方差为11
C. 平均数为4，方差为12D. 平均数为3，方差为12
?
4
已知? ∈ 0,，则cs?−sin?的取值范围为()
A.
2 ,1
2
2
2
B. (0,1)C. (1, 2)D. 0,
4.已知向量? = ( 3,1)，? = (1, 3)，则?在?方向上的投影向量为()
3 ,
2 2
3
B.
2
3 ,
3
2
C. ( 3,3)
A.
D. (3, 3)
已知?是直线，?,?是两个不同的平面，则下列命题正确的是()
若?//?，?//?，则?//?B. 若?//?，?//?，则?//?
C. 若?//?，? ⊥ ?，则? ⊥ ?D. 若? ⊥ ?，?//?，则? ⊥ ?
如图，位于某海域?处的甲船获悉，在其正东方向相距10??的?处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西30 ∘，且与甲船相距5??的?处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线??与直线??夹角的正弦值为()
3
7
7
11
5
21
7
7
3
2?
.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球?的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为 3 的
扇形，则球?的半径等于()
​
​
D.

9 2
2
9 2
4
9 3
8
9 5
8
已知正五边形?????内接于半径为2的圆?，则?? ⋅ ?? = ()
5+ 2
4
5−
5+1
D.5−1
2
2
多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
下列关于统计量的说法正确的有()
一组数据的众数唯一B. 一组数据的平均数唯一
C. 一组数据的第60百分位数唯一D. 一组数据的方差越大，数据波动越小
?
2
已知?，? ∈ 0,，sin(2? + ?) = 3sin?，则下列说法正确的有()
A.1
?
若? = ，则tan? =
B. tan(? + ?) = 2tan?
43
4
C. ∃?，?，使得? = ?D. tan?的最大值为 2
11.如图，正四棱台????−?1?1?1?1的上、下底面中心分别为?1､?，且?? = 2?1?1 = 4，?1? =
2．?,?分别为??,??的中点，下列说法中正确的有()
?? ⊥ ??1
??1//平面?1??
二面角? −??−?的大小为?
14
若?为线段??1上的一动点，则?? + ??的最小值为6
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知事件?，?相互独立，且?(?) = 0.4,?(?) = 0.6，则?(??) = ．
13.在平行四边形????中，已知点?满足?? = 3??，若?? = ??? +???，则? + ?的值为．
14.在????中，∠? = 135 ∘，?1,?2, ⋅⋅⋅ ,?2026依次为边??上的点，且??1 = ?1?2 = ?2?3 =⋅⋅⋅= ?2025
?2026 = ?2026?，设∠???1 = ?1，∠?1??2 = ?2， ⋅⋅⋅ ，∠?2025??2026 = ?2026，∠?2026?? = ?2027，则

sin?2sin?4⋅⋅⋅sin?2026的值为．
sin?1sin?3⋅⋅⋅sin?2027
解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
??
已知0 < ? < 2，0 < ? < 2，? = cs?,sin? +3sin? ，? = sin?,−cs? +3cs? ，且?//?．
(1)求cs(? + ?)的值；
3
(2)若tan? = 4，求sin?的值．
16.(本小题15分)
如图，正方体????−?1?1?1?1中，?? ∩ ?? = ?．
若点?为棱??1的中点，求证：平面??? ⊥ 平面???1；
若点?为线段?1?1上的动点(不包括端点)，在下图中画出平面???与上表面?1?1?1?1的交线，并说明作图的理由．
17.(本小题15分)
使用次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
频率
0.1
?
0.3
?
?
某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图(以下图表中?,?,? ∈ ?,?,? ∈ ?)：
求条形图中的频数?，?；
从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2
人，求这2人使用自行车次数不同的概率；
若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30.求这50名居民一周内使用自行车次数的方差．
18.(本小题17分)
已知????的内角?，?，?的对边分别为?，?，?，满足?(2−3cs?) = 3?cs?．
?
求?的值；
(2)已知角?的平分线交??于?，?为??的中点，??与??交于点?，且?? = 4 7．
①若?? = 3 3，求角?的大小；
②求????面积的最大值．
19.(本小题17分)
如图，在等腰梯形??1??中，??//??1，?? = 3，??1 = 4．?为线段??1的中点，点?为等边????的中心．将图形沿??，??折起，使得?与?1重合，形成三棱锥?−???．
求证：?? ⊥ 平面???；
求三棱锥?−???的体积；
(3)已知?为平面???内过点?的一条直线，交??为?，设?? = ???(0 < ? < 1).是否存在直线?，使得?与??
?
所成角的正弦值为2 42？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
21
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】??
【答案】???
【答案】??
【答案】0.16
【答案】−5
4
2
【答案】2027
【答案】解：(1) ∵ ? = cs?,sin? +3sin?，? = sin?,−cs? +3cs?，且?//?，
∴ cs?−cs? +3cs? = sin?sin? +3sin?，
即 3(cs?cs?−sin?sin?) = ???2? + ???2?，整理得 3cs(? + ?) = 1，
所以cs(? + ?) = 3；
3
?
2
(2)由tan? = 3，? ∈ 0,，可得sin? = 3，即sin? = 3cs?，
4
则???2? + ???2? = 92
cs?44
234
???
16
? + ??? ? = 1，解得sin? = 5，cs? = 5，
??
∵ 0 < ? < 2，0 < ? < 2，则0 < ? + ? < ?，
1−???2(? + ?)
1−
3
3
2
6，
∴ sin(? + ?) =
== 3
∴ sin? = sin[(? + ?)−?] = sin(? + ?)cs?−cs(? + ?)sin?
= 6
4
34 6−3 3
3
3
3 × 5−× 5 =
15．
【答案】解：(1)如图，连接??，?1?，??1．
∵ 正方体????−?1?1?1?1，
∴ 四边形????为正方形，??1 ⊥ 平面????，?? ⊂ 平面????，
∴ ?? ⊥ ??且??1 ⊥ ??, ∵ ??，??1 ⊂ 平面???1?1，?? ∩ ??1 = ?，
∴ ?? ⊥ 平面???1?1．
∵ ??，?1? ⊂ 平面???1?1, ∴ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ?1?．
设正方体的棱长为2，则?? = 1，?? =2，?1?1 = 2 2，由勾股定理得?? =3，?1? =6，?1? = 3，
∴ ??2 + ?1?2 = ?1?2， ∴ ?? ⊥ ?1?．
(方法一) ∵ ?1?，?? ⊂ 平面???1，?1? ∩ ?? = ?， ∴ ?? ⊥ 平面???1，
∵ ?? ⊂ 平面???, ∴ 平面??? ⊥ 平面???1．
(方法二)由?? ⊥ ?1?得二面角?−??−?1的大小为90 ∘，所以平面??? ⊥ 平面???1．
(2)如图，连接?1?1，过点?作??//?1?1交?1?1于?，
则??为平面???与正方体????−?1?1?1?1上表面的交线．
∵ 正方体????−?1?1?1?1，
∴ 平面????//平面?1?1?1?1，??1//??1且??1 = ??1，
∴ 四边形???1?1为平行四边形， ∴ ??//?1?1，
∵ 平面??? ∩ 平面???? = ??，平面??? ∩ 平面?1?1?1?1 = ??，
∴ ??//??，
∴ ?1?1//??．
17.【答案】解：(1)由题意，总人数为50，0次频数：? = 50 × 0.1 = 5；
2次频数：50 × 0.3 = 15；3次频数：17；4次及以上频数：3； 所以1次频数：? = 50−?−15−17−3 = 50−5−15−17−3 = 10；
10
(2)用分层抽样法抽取的5人中，使用自行车1次的居民有× 5 = 2人，记为? ，? ，
10+1512
使用2次的居民有 15 × 5 = 3人，记为? ，? ，? ．
10+15
记“2人使用次数不同”为事件?，
123
样本点(?1,?2)表示“抽取的两人为?1，?2”，则样本空间：
? = (?1,?2),(?1,?1),(?1,?2),(?1,?3),(?2,?1),(?2,?2),(?2,?3),(?1,?2),(?1,?3),(?2,?3)，共10种，其中? = (?1,?1),(?1,?2),(?1,?3),(?2,?1),(?2,?2),(?2,?3)，共6种，
所以，?(?) = 63
10 = 5；
(3)记30名男性样本为?1,?2,⋯,?30，平均数为? = 3，方差为? 12 = 20；记20名女性样本为?1,?2,⋯,?20，平均数为? = 1，方差为? 22 = 30； 所有样本的总平均数为?总，方差为? 总2，样本容量为50．
?= 30 × 3 + 20 × 1 = 11(次)，
总50505
则
1
50
=30?2 + 30(?−? )2 + 20?2 + 20(?−?
)2 =
1
50
30 × 20 + 30 3−
22
11
5
11
5
+ 20 × 30 + 20 1−
1总2总
= 24.96．
18.【答案】解：(1)由?(2−3cs?) = 3?cs?，利用正弦定理得3sin?cs? = 2sin?−3cs?sin?，可得3sin?cs? + 3cs?sin? = 2sin?，
则3sin(? + ?) = 2sin?，即3sin? = 2sin?，由正弦定理得，?
= sin?
3
= 2；
?sin?
(2)①由(1)得2? = 3?，由题意知?为??的中点，故2?? = 6??，即?? = 3??，
，=，
?? = ?? ?? ??
sin∠???sin∠???sin∠???sin∠???
由于角?的平分线交??于?，故sin∠??? = sin∠???，而sin∠??? = sin∠???，
????
可得?? = ?? = 3，结合?? = 4 7，可得?? = 3 7，?? =7，
不妨设? = 2?，? = 3?,? > 0，
在????中，由余弦定理可得，??2 = ??2 +??2−2?? ⋅ ??cs∠???，即9?2 = 63 + 27−18 21cs∠???，
在????中，??2 = ??2 +??2−2?? ⋅ ??cs∠???，
即?2 = 27 + 7−6 21cs(?−∠???)，和9?2 = 63 + 27−18 21cs∠???联立，得? = 4，
则?? = 12,?? = 8,?? = 4，
在????中，cs? = ??2+??2−??2 = 144+16−1121?
2??⋅??
96= 2，? ∈ (0,?)，则? = 3；
②在????中，不妨设? = 2?，? = 2?，? = 3?，????? + ????? = ?????，
1
2
得到?? ⋅ ??sin? +
1?? ⋅ ??sin? =
2
1?? ⋅ ??sin2?，
2
可得(3? + 2?) ⋅ ?? ⋅ sin? = 3? × 2? × 2sin?cs?，即?? = 12?cs?，
5
同理在????中，?? = 3?cs?，所以?? = 5，
2
则?33
??8
1
3?2
△??? = 8?△??? = 4?△???，?△??? = 2? × 3? × sin? =
而??2 = ??2 +??2−2?? ⋅ ??cs∠???，
即112 = 9?2 + ?2−6?2cs?，?2 = 56，
5−3cs?
sin?，
2
84sin?
2sin ? cs ?
22
???2 ?+???2 ?
2tan ?
2
1+???2 ?
84tan ?84
故?△??? =
= 84 ×
2
2 ?
2 2 ? = 84 ×
2 2 ? =
? 2 =
? 1 ，
5−3cs?
???
5−3×
2 −??? 2
1−???
5−3×
4???2 +1
2
4tan +
2?
???2 ?+???2 ?
2
1+???2 ?
tan 2
4tan ? ⋅ 1
2
tan ?
2
222
?
2
?0,
，故tan? > 0，则4tan? + 1 ≥ 2
= 4，
由于? ∈ (0,?)，2 ∈
84
故?1 ≤ 21，即?
4tan +
△???
2
≤ 21，
2tan ?
2
2
2 tan ?
4
?1
363
当且仅当tan
2
= 2取得等号，则?????最大值为
× 21 = 4 ．
19.【答案】解：(1)延长??交??于?，连接??．
∵ ?? = ?? = 3，∠??? = ∠??? = 60∘，?? = 2，
??2 + ??2−2?? × ?? × cs ?
3
∴ ????≌????，?? = ?? ==7，
∵ 点?为等边????的重心， ∴ ?? ⊥ ??，?为??的中点，
∴ ?? ⊥ ??， ∵ ??,?? ⊂ 平面???，?? ∩ ?? = ?，
∴ ?? ⊥ 平面???，即?? ⊥ 平面???；
∵ 正三角形????中，?? = ?? = 3，?? = 3 33
7− 3
2
2
∵ ?? = ?? =7, ∴ ?? =
19， 2
2 ，?? = 2，
=
∵ ?? = 2， ∴ cs∠??? =
2+ 3 3 2−22
19
2
5
2 =，∠??? ∈ (0,?)，
2× 19 ×3 357
22
1−
5
57
2
57
4 21 193 3
19×3 34 23 2
8
∴ sin∠??? =
= ，?△??? = 2 × 2 × 2 × sin∠??? =
× =，
572
∴ ? = ?
+ ?
13 2 × 3 = 3 2；
?−???
?−??? = 3 × 22
作?? ⊥ ??于?，连接??．
∵ ?? ⊥ 平面???，?? ⊂ 平面???， ∴ ?? ⊥ ??，
∵ ??，?? ⊂ 平面???，?? ∩ ?? = ?， ∴ ?? ⊥ 平面???，
∵ ?? = 19，sin∠??? = 4 2, ∴ ?? = 2 2，
2 2
3
7
2
∴ sin∠??? = ?? =
??
573
=
2 42，
21
∴ ??与??所成角的正弦值为2 42，且?? = 19 × 5 = 5 3，
212
576
3 3
∵ ?? = 1 ×
32
=
2
， ∴ ?? = 2，
3
??3
过点?作??//??交??于?，所以??与??所成角的正弦值为2 42．
21
∴ ??2??44
?? = 3， ∴ ?? = 5，即? = 5．