河南省南阳市部分学校2025-2026学年八年级下学期数学期末试卷（含解析）

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1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 小明用科学记数法表示为，则□代表的数字是（ ）
A. B. 5 C. D. −6
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法可表示为的形式，其中，n 为负整数，等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）.
【详解】 解：∵ 左起第一个非零数字为2 ，其前面共有个零，
∴ ，
∴ 代表的数字为.
2. 学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 加权平均数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查不同统计量的概念，掌握各统计量的实际意义是解题关键．
【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中喜欢红色的学生人数最多，即红色是最受多数女生喜欢的颜色，符合众数代表的统计意义，
∴可以用众数解释学校选用红色的现象．
3. 如图，已知直线，，，则的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用平行线间的距离处处相等得到与△ABC 中BC 边上的高相等，利用面积即可求解．
【详解】解：如图，过点A 作，过A1作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即的高是．
4. 4月6日，“总汇运动棋弈中原”2026年河南省国际象棋（春季）等级赛在开封市青少年活动中心圆满落下帷幕．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“車”的坐标为，“馬”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 “車”的坐标建立坐标系，进而得到“炮”的坐标即可．
【详解】解：根据题意可建立如下坐标系：
∴“炮”的坐标为．
5. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分化简即可得到结果．
【详解】解：原式
．
6. 已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据为第四象限内的点，可得 ，从而得到 ，进而得到一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可求解．
【详解】解：∵为第一象限内的点，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：B
本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若△ABC 的面积为4，则k的值为（ ）
A. B. C. −6 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】过A 点作于E 点，通过中点的性质可得到，进而可求出．
【详解】解：过A 点作于E 点，
∵，
∴E 为的中点，
∴，
∵点C为的中点，△ABC 的面积为4，
∴，
∴，
又∵点A是反比例函数图像上一点，
∴，
∴，
∵反比例函数图像在第二象限，
∴．
8. 菱形周长为20，其中一条对角线长为6，则菱形面积是（ ）
A. 48B. 40C. 24D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形对角线互相垂直且平分的性质、结合勾股定理解得，继而解得AC的长，最后根据菱形的面积公式解题．
【详解】解：如图，，
∵ 菱形的周长为20，
，
∵ 四边形ABCD 是菱形，
，OA=OC ，，
由勾股定理得，则，
所以菱形的面积．
故选：C．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9. 如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（ ）
A. 本次测试的最高分是99分
B. 本次测试的平均分是79分
C. 本次测试成绩的上四分位数是88分
D. 本次测试成绩在65~88分的人数占了50%
【答案】B
【解析】
【分析】准确识别箱线图中五个关键统计量：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，同时理解四分位数间距（箱体部分）所代表的数据占比，据此逐一分析各个选项的判断即可．
【详解】A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意；
B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意；
C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意；
D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意．
10. 如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，点D 是BC 的中点，，连接DE ．若AB=6 ，，则DE 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】延长交于点F，证明，可得，从而得到，再根据DE 是的中位线，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点F，
∵AE 平分∠BAC ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D 是BC 的中点，
∴DE 是的中位线，
∴．
二、填空题（每小题3 分，共15 分）
11. 如图，的对角线AC 、BD 相交于点O ，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可）
【答案】AC=BD （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答．
【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即AC=BD ；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，即∠ABC=90° ，……．
12. 某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试（百分制），其中笔试占，面试占30% ．其中一名应试者笔试与面试成绩分别为分，80 分，则该应试者的招聘成绩是_________分．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目给出的数据，利用加权平均数的计算方法求解即可.
【详解】解：由题意可得，该应试者的招聘成绩为
（分）.
13. 如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为________．

【答案】20°
【解析】
【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，∠BEF=∠DEF，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，这样可得出∠BEF的度数，进而可求得∠AEB的度数，则∠ABE可在Rt△ABE中求得．
【详解】解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，
∴BE∥C′F，
∴∠EFC′+∠BEF=180°，
又∵∠EFC′=125°，
∴∠BEF=∠DEF=55°，
∴∠BED=110°，
∴∠AEB=180°-∠BED=70°
在Rt△ABE中，可得∠ABE=90°-∠AEB=20°．
故答案为：20°．
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
14. 为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等量关系列出分式方程即可．
【详解】解：设张老师原来平均每小时批改x道题目，
则．
15. 如图，在△ABC 中，，，AB=5 ，D为AB 上的动点，连接CD ，以AD ，CD 为边作平行四边形，则DE 长的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．首先利用勾股定理的逆定理确定△ABC 为直角三角形，∠ACB=90° ，过点C 作于点F ，利用面积法解得，根据题意可知四边形为平行四边形，连接DE ，则CE∥AD ，当DE⊥AB 时，DE 的长取最小值，此时四边形为矩形，结合矩形的性质即可获得答案．
【详解】解：∵，，AB=5 ，
∴，
∴△ABC 为直角三角形，∠ACB=90° ，
如下图，过点C 作于点F ，
∵，
∴，解得，
根据题意，D为AB 上的动点，连接CD ，以AD ，CD 为边作平行四边形，
连接DE ，如图，则CE∥AD ，
∵，
∴，
∴，
∴当DE⊥AB 时，DE 的长取最小值，
此时，
∴四边形为矩形，
∴，
∴DE 长的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算与解方程．
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）
−2
（2）
【解析】
【分析】（1）运用零指数幂、算术平方根、负整数指数幂的运算法则，按运算顺序计算即可；
(2)先将分式方程转化为整式方程求解，再检验得方程的解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
17. 某校为推进“书香校园”建设，对本校的甲、乙、丙三个班级的阅读量（单位：本）进行跟踪统计，并对三个班级10个月的阅读量数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
丙班10个月阅读量数据：3，9，8，5，9，13，10，11，9，13．
三个班10个月的阅读量信息统计表
根据以上信息回答下列问题：
（1）a 的值为_________，b 的值为_________；
（2）根据折线统计图可以判断c _________；（填“> ”“= ”或“< ”）
（3）请对该校三个班级学生10个月的阅读量的情况作出评价．（写出两条即可）
【答案】（1）9；9 （2）＞
（3）①甲乙两班阅读量的平均数相同，中位数相同，均高于丙班阅读量的平均数与中位数，说明甲乙两班阅读情况相同，都比丙班好；
②甲班阅读量的方差最小，说明甲班的阅读量比较稳定等（答案不唯一，合理即可）．
【解析】
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；
（2）根据折线统计图判断乙班阅读量的离散程度比甲班阅读量的离散程度大，根据方差的意义即可解答；
（3）分析三个班阅读量的平均数，中位数，方差进行解答即可．
【小问1详解】
解：丙班阅读量的平均数为，
即a的值为9．
将丙班阅读量从小到大排序为：3，5，8，9，9，9，10，11，13，13，
处于第5个和第6个数据为9，9，故中位数为，
即b的值为9．
【小问2详解】
解：根据折线统计图可得，乙班阅读量的离散程度比甲班阅读量的离散程度大，则乙班阅读量的方差大于甲班阅读量的方差，故．
【小问3详解】
略．
18. 如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）y＝2x+1，y＝
（2）94
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用直线的解析式求得点A坐标，利用坐标表示出线段CA，BC的长度，利用三角形的面积公式解答即可．
【小问1详解】
∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，
∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
【小问2详解】
令y＝0，则2x+1＝0，
∴x＝﹣12．
∴A（﹣12，0）．
∴OA＝12．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC＝1＝．
∴△ABC的面积＝12×AC•BC＝94．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
19. 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，AE=BF ，CE=DF ．

（1）求证：；
（2）若时，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）
证明：∵，
∴，
即AC=BD
在和中，
，
∴
∴∠A=∠B ，
∴
（2）见解析
方法一：在和中，
，
∴
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形；
方法二：∵，
∴
∴，
又，
∴四边形
是平行四边形
∵，
∴是菱形．
【解析】
【分析】（1）根据题意得出AC=BD ，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可；
（2）方法一：利用全等三角形的判定和性质得出，又，再由菱形的判定证明即可；方法二：利用（1）中结论得出，结合菱形的判定证明即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
20. 已知A，B两地相距，甲由A地出发匀速骑自行车前往B地，其与B地之间的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：）之间的关系如图所示．乙由A地出发以的速度匀速驾车前往B地．
（1）甲的速度为_________；
（2）求乙与B地之间的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：）之间的函数关系式．
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】（1）根据图中数据，利用路程、时间、速度之间的关系可得答案；
（2）先计算出乙的行驶时间，分和两段，利用待定系数法求出解析式即可．
【小问1详解】
解：甲的速度为；
【小问2详解】
解：由题意知，乙的行驶时间为：，
，
当时，乙与B地的距离，
当时，设，
将，代入，得：，
解得，
∴ 当时，
综上可知，，
21. 如图，在正方形 中，点E 是 上一点，连接 ，点M 是线段 的中点，连接，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：连接AM ，
∵正方形，
∴，，
∵点M 是线段 的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接AM ，求得，推出，得到，利用证明，即可得到；
（2）证明是等边三角形，再利用等边对等角求解即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
22. 【探究任务】关于分式有一个应用广泛的定理——等比定理：若，则．“善思小组”与“智慧小组”从两个方面来论证等比定理．
（1）善思小组用生活常识的方法来验证等比定理：
如图，调制两杯浓度相同的糖水分别为，，其中含糖量分别为， ，那么两杯糖水的浓度分别为，，则；把它们倒入同一个大烧杯，得到大烧杯糖水浓度为 = = ．
得出结论：无论多少杯浓度相同的糖水合并后，糖水浓度不变．利用这一试验就说明了等比定理成立．
（2）智慧小组用代数推理的方法来证明等比定理：
证明：设，那么，，……，．
……
请你补充完成智慧小组的证明过程；
【拓展应用】
（3）已知，求的值．
【答案】（1）；；
（2）证明见解析 （3）或2
【解析】
【分析】（1）计算大烧杯中糖水的浓度，从而得出结论；
（2）先将替换为，提取公因数后，约分即可；
（3）分类讨论，当时，由等比定理可得，即，代入求值即可；当时，则，同样代入求值即可．
【小问1详解】
解：大烧杯中，糖水总量为，含糖量为，
∵浓度不变，
∴；
【小问2详解】
证明：设，那么，，，．
∴，
∴；
【小问3详解】
解：①当时，
由等比定理可得，，
∴，
∴；
②当时，
∴，
；
综上所述，的值为或2 ．
23. 如图，在四边形 中，AB∥CD ， ，，，．动点P 从点A 出发，以的速度向终点B 运动，同时动点Q 从点B 出发，以的速度沿折线向终点D 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．
（1）填空：①PB= __________；（用含 的代数式表示）
②__________；
（2）直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？
【答案】（1）①；②13
（2）当或时，直线PQ 把四边形ABCD 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形．
【解析】
【分析】（1）①由题意得；②过点B作于H，证明四边形是矩形，结合勾股定理即可求得；
（2）只有Q点在 上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可．
【小问1详解】
解：①由题意得；
②如图，过点B作于H，
∵AB∥CD ，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，；
【小问2详解】
解： Q在 上运动时间为，
∵，
∴Q运动时间最长为，
当点Q在 上时，直线PQ 把四边形ABCD 分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形，
当时，Q在 边上，
此时，直线PQ 把四边形ABCD 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形是平行四边形，如图所示：
∵AB∥CD 即，
∴只需，
由题意得，，，，
∴，
解得；
②四边形是平行四边形，如图所示：
∵，
∴只需，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
解得．
综上所述：当或时，直线PQ 把四边形ABCD 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形．颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
学生人数
100
180
220
80
250
甲
乙
丙
平均数
10
10
a
中位数
10
10
b
方差
4.8
c
9